三、解答题
11. 已知$△ ABC$，求作点$P$，使得点$P$与$△ ABC$三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

11. 解析:如图,点 P 即为所求.

【分析】
要解决这个问题，首先明确题目要求：点P与△ABC任意两个顶点组成的三角形都是等腰三角形，即需要满足PA=PB=PC，该情况能同时保证三个三角形都是等腰三角形，是最易作图的情况。根据线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需作出△ABC任意两条边的垂直平分线，它们的交点到三个顶点的距离都相等，即为所求的点P。
【解析】
要使点P满足与△ABC任意两个顶点构成等腰三角形，需保证点P到A、B、C三点的距离相等：
1. 分别作边BC、边AC的垂直平分线；
2. 两条垂直平分线的交点即为所求的点P，作图时保留垂直平分线的尺规作图痕迹即可。
【答案】

【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形判定；尺规作图
【点评】
本题是几何尺规作图的基础应用类题目，核心是将“与任意两点构成等腰三角形”的要求转化为“到三个顶点距离相等”的条件，再结合垂直平分线的性质找到作图方法，解题时要注意保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.7

12. 某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费$ y $（单位：元）与用水量$ x $（单位：t）之间关系的图象如图所示，根据图象回答：
(1) 该市自来水收费时，每户使用不超过5 t时，每吨收费元；超过5 t时，每吨收费元.
(2) 求该户居民每月应交水费$ y $（单位：元）与用水量$ x $（单位：t）之间的关系式.
(3) 若某户居民某月交水费17元，该户居民用水多少吨？

12. (1)2 3.5 解析:
∵$10÷5=2$(元/吨),
∴不超过 5 吨时,每吨收费 2 元;
∵$(20.5-10)÷3=3.5$(元/吨),
∴超过 5 吨时,每吨收费 3.5 元.
(2) 当$0≤ x≤ 5$时,由图象得$y=2x$;当$x＞5$时,设$y=kx+b$,把$(5,10)$、$(8,20.5)$代入,得$\begin{cases} 5k+b=10,\\ 8k+b=20.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=3.5,\\ b=-7.5, \end{cases}$$∴y=3.5x-7.5$,综上所述,
$y$与$x$之间的关系式为$y=\begin{cases} 2x(0≤ x≤ 5),\\ 3.5x-7.5(x＞5). \end{cases}$
(3)
∵$17＞10$,
∴用水量超过 5 吨,满足$y=3.5x-7.5$,令$y=17$,得$3.5x-7.5=17$,解得$x=7$.
∴该户居民用水 7 吨.

【分析】
第(1)问：观察图像可得，5t水对应水费10元，用总费用除以用水量即可得到不超过5t时的每吨单价；8t水对应水费20.5元，先计算超出5t的水量和对应增加的费用，两者相除即可得到超出部分的每吨单价。
第(2)问：本题是分段计费问题，分两段讨论：①当$0≤x≤5$时，水费=单价×用水量，可直接写出解析式；②当$x＞5$时，水费是一次函数关系，设解析式为$y=kx+b$，将已知点$(5,10)$和$(8,20.5)$代入，用待定系数法求解参数，即可得到该段解析式，最终综合两段结果写出分段函数。
第(3)问：先判断17元大于5t对应的最高水费10元，说明用水量超过5t，将$y=17$代入$x＞5$对应的解析式，解方程即可得到用水量。
【解析】
(1) 不超过5t时，每吨收费为$10÷5=2$元；
超过5t时，超出的水量为$8-5=3\ \mathrm{t}$，对应增加的费用为$20.5-10=10.5$元，故每吨收费为$10.5÷3=3.5$元。
(2) 分两种情况讨论：
①当$0≤x≤5$时，每吨收费2元，因此$y=2x$；
②当$x＞5$时，设解析式为$y=kx+b$，将$(5,10)$、$(8,20.5)$代入得：
$\begin{cases} 5k+b=10\\ 8k+b=20.5 \end{cases}$
两式相减得$3k=10.5$，解得$k=3.5$，将$k=3.5$代入$5k+b=10$，解得$b=-7.5$，因此该段解析式为$y=3.5x-7.5$。
综上，$y$与$x$的关系式为：
$y=\begin{cases} 2x&(0≤ x≤ 5)\\ 3.5x-7.5&(x＞5) \end{cases}$
(3) 因为$17＞10$，所以该户用水量超过5t，将$y=17$代入$y=3.5x-7.5$得：
$3.5x-7.5=17$
解得$x=7$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{3.5}$
(2) $\boxed{y=\begin{cases} 2x(0≤ x≤ 5)\\ 3.5x-7.5(x＞5) \end{cases}}$
(3) $\boxed{7}$吨
【知识点】
一次函数实际应用，分段函数，待定系数法
【点评】
本题结合生活中水费分段计费的实际场景，考查了从函数图像提取信息、分析解决问题的能力，解题时需注意不同用水量区间对应不同的收费标准，代入求值前要先判断自变量所属区间，避免代错解析式。
【难度系数】
0.7

13. 在等边三角形ABC中,点E在边AB上,点D在CB的延长线上,且$DE=EC$.
(1)如图1,当E为AB的中点时,求证:$BC=2BD$.
(2)如图2,若$AB=12$,$AE=2$,求CD的长.

13. (1)
∵$△ABC$为等边三角形,$∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°$,
∵E 为 AB 的中点,$∴CE⊥AB$,CE 是$∠ACB$的平分线,$∴∠BEC=90°$,$∠BCE=30°$,$∴BC=2EB$,
∵$ED=EC$,$∴∠EDC=∠ECD=30°$,$∴∠DEB=60°-30°=30°$,$∴BD=BE$,$∴BC=2BD$.
(2)如图,过点 E 作$EF//BC$,交 AC 于点 F,则$∠FEC=∠ECB$.
∵$△ABC$为等边三角形,$∴AB=BC=12$,$∠AFE=∠ACB=∠ABC=∠A=60°$,$∴△AEF$为等边三角形,$∴∠EFC=∠EBD=120°$,$EF=AE$,
∵$ED=EC$,$∴∠EDB=∠ECB$,
∵$∠ECB=∠FEC$,$∴∠EDB=∠FEC$.在$△BDE$和$△FEC$中,$\begin{cases} ∠EBD=∠CFE,\\ ∠EDB=∠CEF,\\ DE=EC, \end{cases}$$∴△BDE≌△FEC(AAS)$,$∴BD=EF$,$∴BD=AE=2$,$∴CD=BC+BD=12+2=14$.

【分析】
(1) 要证$BC=2BD$，可先利用等边三角形三线合一的性质：E为AB中点时，CE既是∠ACB的角平分线也是AB边上的高，可得$∠BCE=30°$、$BC=2BE$；再结合$DE=EC$的等腰三角形性质推导出$∠EDC=30°$，进一步得到$BD=BE$，等量代换即可证明结论。
(2) 求CD的长时，已知等边△ABC边长为12，即$BC=12$，只需算出BD的长度即可。通过过E作$EF// BC$构造辅助线，先证△AEF是等边三角形得到$EF=AE$，再证明△BDE和△FEC全等，即可推出$BD=AE$，最后代入$CD=BC+BD$计算得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵$△ ABC$为等边三角形，$\therefore ∠ABC=∠A=∠ACB=60°$，
∵E为AB的中点，$\therefore CE⊥AB$，CE是$∠ACB$的平分线，
$\therefore ∠BEC=90°$，$∠BCE=30°$，$\therefore BC=2EB$，
∵$ED=EC$，$\therefore ∠EDC=∠ECD=30°$，
$\therefore ∠DEB=∠ABC-∠EDC=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠EDC=∠DEB$，$\therefore BD=BE$，
$\therefore BC=2BD$。
(2) 解：
过点E作$EF//BC$，交AC于点F，则$∠FEC=∠ECB$。
∵$△ ABC$为等边三角形，$\therefore AB=BC=12$，$∠AFE=∠ACB=∠ABC=∠A=60°$，
$\therefore △ AEF$为等边三角形，$\therefore ∠EFC=180°-∠AFE=120°$，$∠EBD=180°-∠ABC=120°$，即$∠EFC=∠EBD$，且$EF=AE$，
∵$ED=EC$，$\therefore ∠EDB=∠ECB$，
∵$∠ECB=∠FEC$，$\therefore ∠EDB=∠FEC$。
在$△ BDE$和$△ FEC$中，
$\begin{cases} ∠EBD=∠CFE,\\ ∠EDB=∠CEF,\\ DE=EC, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ FEC(AAS)$，
$\therefore BD=EF$，$\therefore BD=AE=2$，
$\therefore CD=BC+BD=12+2=14$。
【答案】
(1) 证明成立，$BC=2BD$；
(2) $CD$的长为14。

【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题第一问较为基础，直接运用等边三角形三线合一、等腰三角形等角对等边的性质即可推导；第二问的解题关键是通过作平行线构造全等三角形，将未知线段BD转化为已知长度的AE，能较好考查学生的几何辅助线构造能力和三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6