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1. 阅读材料，回答下列问题.
【问题驱动】
如何验证勾股定理及探究勾股数？
【活动操作】
小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形$ABEFG$.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形$ABEFG$的面积,并写出得到等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的过程.
(2)如果满足等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的$a、b、c$是三个正整数,我们称$a、b、c$为勾股数.已知$m、n$是正整数且$m＞n$,求证:$2mn、m^{2}-n^{2}、m^{2}+n^{2}$是勾股数.
【灵活运用】
(3)在如图所示的五边形$ABEFG$中,若$a=4,b=8$,则空白部分的面积为
(4)请写出任意一组含有85的勾股数：
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^{2}+4n+4$($n$为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是
【问题驱动】
如何验证勾股定理及探究勾股数？
【活动操作】
小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形$ABEFG$.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形$ABEFG$的面积,并写出得到等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的过程.
(2)如果满足等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的$a、b、c$是三个正整数,我们称$a、b、c$为勾股数.已知$m、n$是正整数且$m＞n$,求证:$2mn、m^{2}-n^{2}、m^{2}+n^{2}$是勾股数.
【灵活运用】
(3)在如图所示的五边形$ABEFG$中,若$a=4,b=8$,则空白部分的面积为
48
.(4)请写出任意一组含有85的勾股数：
85、3 612、3 613(答案不唯一)
.(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^{2}+4n+4$($n$为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是
$2n^{2}+4n$
、$4n+4$
.答案
1. (1) 方法一：$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△ MFG}+S_{△ ANG}=b^{2}+a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^{2}+b^{2}+ab$；方法二：$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ ABC}+S_{△ CEF}=c^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^{2}+ab$，$\therefore a^{2}+b^{2}+ab=c^{2}+ab$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2) 证明：$\because (2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$，$(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}$，$\therefore (2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=4m^{2}n^{2}+m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}$.$\because m、n$是正整数且$m＞n$，$\therefore 2mn、m^{2}-n^{2}、m^{2}+n^{2}$都是正整数，$\therefore 2mn、m^{2}-n^{2}、m^{2}+n^{2}$是勾股数.
(3) 48 解析：$\because a=4,b=8$，$\therefore S_{空白部分}=S_{五边形ABEFG}-4S_{△ ABC}=a^{2}+b^{2}+ab-4×\frac{1}{2}ab=4^{2}+8^{2}+4×8-4×\frac{1}{2}×4×8=48$，$\therefore$图中空白部分的面积为48.
(4) 85、3 612、3 613(答案不唯一) 解析：不妨假设$m^{2}-n^{2}=85$，$m、n$是正整数且$m＞n$，$\therefore (m+n)(m-n)=85=1×85$. 当$\begin{cases}m+n=85\\m-n=1\end{cases}$时，解得$\begin{cases}m=43\\n=42\end{cases}$，$\therefore 2mn=3\ 612$，$m^{2}+n^{2}=3\ 613$，$\therefore 85、3\ 612、3\ 613$是一组勾股数.
(5) $2n^{2}+4n$、$4n+4$ 解析：$(2n^{2}+4n+4)^{2}=4n^{4}+16n^{2}+16+16n^{3}+16n^{2}+32n=(4n^{4}+16n^{3}+16n^{2})+(16n^{2}+32n+16)=(2n^{2}+4n)^{2}+(4n+4)^{2}$，$\therefore$另两个数的表达式分别为$2n^{2}+4n$、$4n+4$.
(2) 证明：$\because (2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$，$(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}$，$\therefore (2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=4m^{2}n^{2}+m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}$.$\because m、n$是正整数且$m＞n$，$\therefore 2mn、m^{2}-n^{2}、m^{2}+n^{2}$都是正整数，$\therefore 2mn、m^{2}-n^{2}、m^{2}+n^{2}$是勾股数.
(3) 48 解析：$\because a=4,b=8$，$\therefore S_{空白部分}=S_{五边形ABEFG}-4S_{△ ABC}=a^{2}+b^{2}+ab-4×\frac{1}{2}ab=4^{2}+8^{2}+4×8-4×\frac{1}{2}×4×8=48$，$\therefore$图中空白部分的面积为48.
(4) 85、3 612、3 613(答案不唯一) 解析：不妨假设$m^{2}-n^{2}=85$，$m、n$是正整数且$m＞n$，$\therefore (m+n)(m-n)=85=1×85$. 当$\begin{cases}m+n=85\\m-n=1\end{cases}$时，解得$\begin{cases}m=43\\n=42\end{cases}$，$\therefore 2mn=3\ 612$，$m^{2}+n^{2}=3\ 613$，$\therefore 85、3\ 612、3\ 613$是一组勾股数.
(5) $2n^{2}+4n$、$4n+4$ 解析：$(2n^{2}+4n+4)^{2}=4n^{4}+16n^{2}+16+16n^{3}+16n^{2}+32n=(4n^{4}+16n^{3}+16n^{2})+(16n^{2}+32n+16)=(2n^{2}+4n)^{2}+(4n+4)^{2}$，$\therefore$另两个数的表达式分别为$2n^{2}+4n$、$4n+4$.
解析
【分析】
(1) 采用面积法验证勾股定理，思路是用两种不同的拆分方式计算同一个五边形的面积，利用面积相等建立等式，化简后即可得到勾股定理表达式。拆分方式一：将五边形拆分为两个正方形和两个全等的小直角三角形；拆分方式二：将五边形拆分为边长为c的正方形和两个全等的小直角三角形。
(2) 证明三个数是勾股数需满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，分别验证这两个条件即可。
(3) 空白部分面积等于五边形总面积减去4个全等直角三角形的面积，代入a、b的数值计算即可。
(4) 利用勾股数的构造公式，将85作为其中一个勾股数，通过分解因数求解m、n的值，即可得到另外两个勾股数，答案不唯一。
(5) 将给出的最大勾股数展开平方，再拆分整理为两个整式的平方和的形式，即可得到另外两个勾股数的表达式。
【解析】
(1) 方法一：将五边形ABEFG拆分为边长为b的正方形、边长为a的正方形和2个全等的直角三角形，因此：
$S_{五边形ABEFG}=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$
方法二：将五边形ABEFG拆分为边长为c的正方形和2个全等的直角三角形，因此：
$S_{五边形ABEFG}=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^2+ab$
因为两种方法计算的是同一图形面积，因此$a^2+b^2+ab=c^2+ab$，两边消去ab可得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 证明：先计算两个较小数的平方和：
$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=m^4+2m^2n^2+n^4$
而$(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$，因此$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=(m^2+n^2)^2$
又因为m、n是正整数且$m＞n$，因此$2mn、m^2-n^2、m^2+n^2$均为正整数，故三者是勾股数。
(3) 空白面积=五边形面积-4个全等直角三角形的面积，代入$a=4,b=8$：
$S_{空白}=a^2+b^2+ab-4×\frac{1}{2}ab=4^2+8^2+4×8-4×\frac{1}{2}×4×8=16+64+32-64=48$
(4) 假设$m^2-n^2=85$，即$(m+n)(m-n)=85=1×85$，列方程组$\begin{cases}m+n=85\\m-n=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=43\\n=42\end{cases}$
因此$2mn=2×43×42=3612$，$m^2+n^2=43^2+42^2=3613$，得到一组勾股数85、3612、3613（答案不唯一）。
(5) 展开最大数的平方：
$(2n^2+4n+4)^2=4n^4+16n^3+32n^2+32n+16$
拆分可得：$(2n^2+4n)^2+(4n+4)^2=4n^4+16n^3+16n^2+16n^2+32n+16$，与上式相等，因此另外两个数为$2n^2+4n$、$4n+4$。
【答案】
(1) 推导过程见解析，可得$a^2+b^2=c^2$；
(2) 证明见解析；
(3) $\boxed{48}$；
(4) $\boxed{85,3612,3613}$（答案不唯一）；
(5) $\boxed{2n^2+4n}$；$\boxed{4n+4}$
【知识点】
勾股定理的验证；勾股数的判定；面积法求面积
【点评】
本题结合几何图形推导和代数运算，既考查了用面积法验证勾股定理的几何方法，也考查了勾股数的构造和整式运算能力，题型梯度合理，能够全面考查勾股相关知识的掌握和运用水平。
【难度系数】
0.6
(1) 采用面积法验证勾股定理，思路是用两种不同的拆分方式计算同一个五边形的面积，利用面积相等建立等式，化简后即可得到勾股定理表达式。拆分方式一：将五边形拆分为两个正方形和两个全等的小直角三角形；拆分方式二：将五边形拆分为边长为c的正方形和两个全等的小直角三角形。
(2) 证明三个数是勾股数需满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，分别验证这两个条件即可。
(3) 空白部分面积等于五边形总面积减去4个全等直角三角形的面积，代入a、b的数值计算即可。
(4) 利用勾股数的构造公式，将85作为其中一个勾股数，通过分解因数求解m、n的值，即可得到另外两个勾股数，答案不唯一。
(5) 将给出的最大勾股数展开平方，再拆分整理为两个整式的平方和的形式，即可得到另外两个勾股数的表达式。
【解析】
(1) 方法一：将五边形ABEFG拆分为边长为b的正方形、边长为a的正方形和2个全等的直角三角形，因此：
$S_{五边形ABEFG}=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$
方法二：将五边形ABEFG拆分为边长为c的正方形和2个全等的直角三角形，因此：
$S_{五边形ABEFG}=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^2+ab$
因为两种方法计算的是同一图形面积，因此$a^2+b^2+ab=c^2+ab$，两边消去ab可得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 证明：先计算两个较小数的平方和：
$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=m^4+2m^2n^2+n^4$
而$(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$，因此$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=(m^2+n^2)^2$
又因为m、n是正整数且$m＞n$，因此$2mn、m^2-n^2、m^2+n^2$均为正整数，故三者是勾股数。
(3) 空白面积=五边形面积-4个全等直角三角形的面积，代入$a=4,b=8$：
$S_{空白}=a^2+b^2+ab-4×\frac{1}{2}ab=4^2+8^2+4×8-4×\frac{1}{2}×4×8=16+64+32-64=48$
(4) 假设$m^2-n^2=85$，即$(m+n)(m-n)=85=1×85$，列方程组$\begin{cases}m+n=85\\m-n=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=43\\n=42\end{cases}$
因此$2mn=2×43×42=3612$，$m^2+n^2=43^2+42^2=3613$，得到一组勾股数85、3612、3613（答案不唯一）。
(5) 展开最大数的平方：
$(2n^2+4n+4)^2=4n^4+16n^3+32n^2+32n+16$
拆分可得：$(2n^2+4n)^2+(4n+4)^2=4n^4+16n^3+16n^2+16n^2+32n+16$，与上式相等，因此另外两个数为$2n^2+4n$、$4n+4$。
【答案】
(1) 推导过程见解析，可得$a^2+b^2=c^2$；
(2) 证明见解析；
(3) $\boxed{48}$；
(4) $\boxed{85,3612,3613}$（答案不唯一）；
(5) $\boxed{2n^2+4n}$；$\boxed{4n+4}$
【知识点】
勾股定理的验证；勾股数的判定；面积法求面积
【点评】
本题结合几何图形推导和代数运算，既考查了用面积法验证勾股定理的几何方法，也考查了勾股数的构造和整式运算能力，题型梯度合理，能够全面考查勾股相关知识的掌握和运用水平。
【难度系数】
0.6
