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2. 阅读材料，回答下列问题.
【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，可以用来证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于$ c^2 $，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$ \frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2 $，从而得到等式$ c^2 = \frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2 $，化简便得结论$ a^2 + b^2 = c^2 $. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
【方法运用】
人们对勾股定理的证明孜孜以求、不懈探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形（$ △ ABC $和$ △ EDA $）如图2放置，其三边长分别为$ a、b、c $，$ ∠ BAC = ∠ DEA = 90° $，显然$ BC ⊥ AD $.
(1)请用$ a、b、c $分别表示出四边形ABDC、梯形AEDC、$ △ EBD $的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$ a^2 + b^2 = c^2 $.
【方法迁移】
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，连接其中三个格点，可得$ △ ABC $，则边AB上的高为
(3)如图4，在$ △ ABC $中，AD是边BC上的高，$ AB = 4 $，$ AC = 5 $，$ BC = 6 $. 设$ BD = x $，求$ x $的值.
【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，可以用来证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于$ c^2 $，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$ \frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2 $，从而得到等式$ c^2 = \frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2 $，化简便得结论$ a^2 + b^2 = c^2 $. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
【方法运用】
人们对勾股定理的证明孜孜以求、不懈探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形（$ △ ABC $和$ △ EDA $）如图2放置，其三边长分别为$ a、b、c $，$ ∠ BAC = ∠ DEA = 90° $，显然$ BC ⊥ AD $.
(1)请用$ a、b、c $分别表示出四边形ABDC、梯形AEDC、$ △ EBD $的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$ a^2 + b^2 = c^2 $.
【方法迁移】
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，连接其中三个格点，可得$ △ ABC $，则边AB上的高为
$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
.(3)如图4，在$ △ ABC $中，AD是边BC上的高，$ AB = 4 $，$ AC = 5 $，$ BC = 6 $. 设$ BD = x $，求$ x $的值.
答案
2. (1)证明：$\because BC⊥ AD,BC=AD=c$，$\therefore S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}c^{2}$.$\because S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(AC+ED)· AE=\frac{1}{2}b(b+a)$，$S_{△ BED}=\frac{1}{2}BE· ED=\frac{1}{2}a(a-b)$，$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△ BED}$，$\therefore \frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}b(b+a)+\frac{1}{2}a(a-b)$，$\therefore \frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ 解析：设边AB上的高为h.$\because S_{△ ABC}=4×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×2=6$，$AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB× h=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}h=6$，$\therefore h=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，即边AB上的高是$\frac{6\sqrt{5}}{5}$.
(3) $\because BD+CD=BC=6$，$\therefore CD=BC-BD=6-x$. 在$Rt△ ABD$中，$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=4^{2}-x^{2}$；在$Rt△ ACD$中，$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}$.$\therefore 4^{2}-x^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}$，$\therefore x=\frac{9}{4}$.
(2) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ 解析：设边AB上的高为h.$\because S_{△ ABC}=4×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×2=6$，$AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB× h=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}h=6$，$\therefore h=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，即边AB上的高是$\frac{6\sqrt{5}}{5}$.
(3) $\because BD+CD=BC=6$，$\therefore CD=BC-BD=6-x$. 在$Rt△ ABD$中，$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=4^{2}-x^{2}$；在$Rt△ ACD$中，$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}$.$\therefore 4^{2}-x^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}$，$\therefore x=\frac{9}{4}$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：根据“双求法”核心，找同一个图形面积的两种表达方式。首先四边形ABDC的对角线BC、AD互相垂直且长度均为c，可直接计算其面积；其次四边形ABDC可拆分为梯形AEDC和△EBD，分别计算两者面积求和，令两种面积表达式相等，化简即可证明勾股定理。
(2) 解题思路：求AB边上的高，先用割补法，用包含△ABC的大正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，得到△ABC的面积；再用勾股定理算出AB的长度；最后根据三角形面积公式，以AB为底列等式，即可解出AB边上的高。
(3) 解题思路：AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共直角边，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，两个表达式相等即可列出关于x的一元一次方程，解方程得到x的值。
【解析】
(1) 证明：
$\because BC⊥ AD，BC=AD=c$，
$\therefore S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}c^{2}$。
$\because$ 梯形AEDC的上底$AC=b$，下底$ED=a$，高$AE=b$，
$\therefore S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(AC+ED)· AE=\frac{1}{2}b(b+a)$。
$\because$ △EBD中，$BE=a-b$，$ED=a$，$∠ BED=90°$，
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}BE· ED=\frac{1}{2}a(a-b)$。
由图形可得$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△ BED}$，
$\therefore \frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}b(b+a)+\frac{1}{2}a(a-b)$，
化简得$\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab$，
即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，勾股定理得证。
(2) 解：设边AB上的高为h。
用割补法求△ABC面积：
$S_{△ ABC}=4×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×2=6$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB× h$，
代入得$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}h=6$，解得$h=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
(3) 解：$\because BD+CD=BC=6$，$\therefore CD=6-x$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=4^{2}-x^{2}$；
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}$。
$\therefore 4^{2}-x^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}$，
展开化简得$12x=27$，解得$x=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 证明见解析，得$a^2+b^2=c^2$；
(2) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
(3) $x=\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 面积法
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题以“双求法”为核心线索，串联了勾股定理证明、网格内线段长求解、三角形边长计算三类问题，考查学生对等量转化的理解与应用能力，解题关键是找准同一量的两种不同表达形式建立等式，能有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：根据“双求法”核心，找同一个图形面积的两种表达方式。首先四边形ABDC的对角线BC、AD互相垂直且长度均为c，可直接计算其面积；其次四边形ABDC可拆分为梯形AEDC和△EBD，分别计算两者面积求和，令两种面积表达式相等，化简即可证明勾股定理。
(2) 解题思路：求AB边上的高，先用割补法，用包含△ABC的大正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，得到△ABC的面积；再用勾股定理算出AB的长度；最后根据三角形面积公式，以AB为底列等式，即可解出AB边上的高。
(3) 解题思路：AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共直角边，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，两个表达式相等即可列出关于x的一元一次方程，解方程得到x的值。
【解析】
(1) 证明：
$\because BC⊥ AD，BC=AD=c$，
$\therefore S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}c^{2}$。
$\because$ 梯形AEDC的上底$AC=b$，下底$ED=a$，高$AE=b$，
$\therefore S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(AC+ED)· AE=\frac{1}{2}b(b+a)$。
$\because$ △EBD中，$BE=a-b$，$ED=a$，$∠ BED=90°$，
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}BE· ED=\frac{1}{2}a(a-b)$。
由图形可得$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△ BED}$，
$\therefore \frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}b(b+a)+\frac{1}{2}a(a-b)$，
化简得$\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab$，
即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，勾股定理得证。
(2) 解：设边AB上的高为h。
用割补法求△ABC面积：
$S_{△ ABC}=4×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×2=6$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB× h$，
代入得$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}h=6$，解得$h=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
(3) 解：$\because BD+CD=BC=6$，$\therefore CD=6-x$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=4^{2}-x^{2}$；
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}$。
$\therefore 4^{2}-x^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}$，
展开化简得$12x=27$，解得$x=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 证明见解析，得$a^2+b^2=c^2$；
(2) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
(3) $x=\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 面积法
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题以“双求法”为核心线索，串联了勾股定理证明、网格内线段长求解、三角形边长计算三类问题，考查学生对等量转化的理解与应用能力，解题关键是找准同一量的两种不同表达形式建立等式，能有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
