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5. 如图,小区 A 与公路 l 的距离 $AC=200 \mathrm{~m}$,小区 B 与公路 l 的距离 $BD=400 \mathrm{~m}$,已知 $CD=800 \mathrm{~m}$.
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台 Q,使站台 Q 到 A、B 两小区的路程相等,求 CQ的长.
(2)现要在公路旁建造一家利民超市 P,使 P 到 A、B 两小区的路程之和最短,求 $PA+PB$的最小值.
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台 Q,使站台 Q 到 A、B 两小区的路程相等,求 CQ的长.
(2)现要在公路旁建造一家利民超市 P,使 P 到 A、B 两小区的路程之和最短,求 $PA+PB$的最小值.
答案
(1)如图1,
∵AQ=BQ,设CQ=x m,则DQ=(800-x)m,
∴200²+x²=400²+(800-x)²,解得x=475,即CQ=475 m.
(2)如图2,作点A关于直线l对称的点A',连接A'B,交直线l于点P,则AP=A'P,
∴AP+BP=A'P+BP=A'B,
∴PA+PB的最小值为A'B,过点A'作A'E⊥BD于点E,则A'E=CD=800 m,BE=BD+DE=BD+CA'=BD+AC=400+200=600(m),
∴A'B=√(A'E²+BE²)=√(800²+600²)=1000(m),
∴PA+PB的最小值为1000 m。
解析
【分析】
(1) 要求站台Q到A、B两小区路程相等，即AQ=BQ。观察可知△ACQ和△BDQ均为直角三角形，AQ、BQ分别是两个直角三角形的斜边，因此可设CQ的长度为x m，用含x的式子表示DQ的长度，再根据勾股定理分别表示AQ²和BQ²，利用AQ=BQ即AQ²=BQ²列方程即可求解。
(2) 要求P到A、B的路程之和最短，属于典型的“将军饮马”最短路径问题，解题核心是利用轴对称的性质，将其中一条线段等量转化，把两条线段的和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短），再构造直角三角形用勾股定理计算该线段长度，即可得到最小值。
【解析】
(1) 设CQ=x m，则DQ=(800-x)m，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACQ=∠BDQ=90°，
由勾股定理可得：$AQ^2=AC^2+CQ^2$，$BQ^2=BD^2+DQ^2$，
∵AQ=BQ，
∴$AQ^2=BQ^2$，
代入数据得：$200^2 + x^2 = 400^2 + (800-x)^2$，
展开计算得：$40000 + x^2 = 160000 + 640000 - 1600x + x^2$，
消去$x^2$后移项计算得：$1600x=760000$，解得$x=475$。
(2) 作点A关于直线l的对称点$A'$，连接$A'B$交直线l于点P，根据轴对称的性质可知$PA=PA'$，
∴$PA+PB=PA'+PB$，根据两点之间线段最短，此时$PA+PB$的最小值为线段$A'B$的长度。
过点$A'$作$A'E⊥BD$，交BD的延长线于点E，
则四边形$A'CDE$是矩形，因此$A'E=CD=800\mathrm{~m}$，$DE=A'C=AC=200\mathrm{~m}$，
∴$BE=BD+DE=400+200=600\mathrm{~m}$，
在$Rt△A'BE$中，由勾股定理得：$A'B=\sqrt{A'E^2+BE^2}=\sqrt{800^2+600^2}=1000\mathrm{~m}$。
【答案】
(1) $CQ=475\mathrm{~m}$；
(2) $PA+PB$的最小值为$1000\mathrm{~m}$。
【知识点】
勾股定理，轴对称最短路径，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，第一问通过方程思想结合勾股定理求解线段长度，第二问需要掌握“将军饮马”模型的构造方法，将最短路径问题转化为两点间线段长度求解，是平面几何中非常典型的应用类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要求站台Q到A、B两小区路程相等，即AQ=BQ。观察可知△ACQ和△BDQ均为直角三角形，AQ、BQ分别是两个直角三角形的斜边，因此可设CQ的长度为x m，用含x的式子表示DQ的长度，再根据勾股定理分别表示AQ²和BQ²，利用AQ=BQ即AQ²=BQ²列方程即可求解。
(2) 要求P到A、B的路程之和最短，属于典型的“将军饮马”最短路径问题，解题核心是利用轴对称的性质，将其中一条线段等量转化，把两条线段的和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短），再构造直角三角形用勾股定理计算该线段长度，即可得到最小值。
【解析】
(1) 设CQ=x m，则DQ=(800-x)m，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACQ=∠BDQ=90°，
由勾股定理可得：$AQ^2=AC^2+CQ^2$，$BQ^2=BD^2+DQ^2$，
∵AQ=BQ，
∴$AQ^2=BQ^2$，
代入数据得：$200^2 + x^2 = 400^2 + (800-x)^2$，
展开计算得：$40000 + x^2 = 160000 + 640000 - 1600x + x^2$，
消去$x^2$后移项计算得：$1600x=760000$，解得$x=475$。
(2) 作点A关于直线l的对称点$A'$，连接$A'B$交直线l于点P，根据轴对称的性质可知$PA=PA'$，
∴$PA+PB=PA'+PB$，根据两点之间线段最短，此时$PA+PB$的最小值为线段$A'B$的长度。
过点$A'$作$A'E⊥BD$，交BD的延长线于点E，
则四边形$A'CDE$是矩形，因此$A'E=CD=800\mathrm{~m}$，$DE=A'C=AC=200\mathrm{~m}$，
∴$BE=BD+DE=400+200=600\mathrm{~m}$，
在$Rt△A'BE$中，由勾股定理得：$A'B=\sqrt{A'E^2+BE^2}=\sqrt{800^2+600^2}=1000\mathrm{~m}$。
【答案】
(1) $CQ=475\mathrm{~m}$；
(2) $PA+PB$的最小值为$1000\mathrm{~m}$。
【知识点】
勾股定理，轴对称最短路径，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，第一问通过方程思想结合勾股定理求解线段长度，第二问需要掌握“将军饮马”模型的构造方法，将最短路径问题转化为两点间线段长度求解，是平面几何中非常典型的应用类题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,正方形ABCD的边长为12,点M在DC上,且DM=7,N是AC上一动点,求DN+MN的最小值.
答案
如图,连接BN、BM.
∵四边形ABCD为正方形,
∴点B与点D关于AC对称,
∴NB=DN,
∴DN+MN=BN+MN≥BM,
∴DN+MN的最小值为BM的长.在Rt△BMC中,CM=CD-DM=12-7=5,
∴BM=√(BC²+CM²)=√(12²+5²)=13,即DN+MN的最小值为13。
解析
【分析】
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 识别模型：动点N在定直线AC上，求两条线段DN、MN的和的最小值，首先考虑用轴对称转化线段，将同侧线段转化为异侧，利用“两点之间线段最短”求解。2. 找对称点：正方形的对角线AC所在直线是正方形的对称轴，点D关于AC的对称点为点B，因此DN和BN长度相等，可将DN+MN转化为BN+MN。3. 求最小值：BN+MN的最小值就是点B到点M的线段长度，最后在直角△BMC中用勾股定理计算BM的长度即可得到答案。
【解析】
解：如图，连接BN、BM。
∵四边形ABCD为正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴NB=DN，
∴DN+MN=BN+MN≥BM，即DN+MN的最小值为BM的长。
在Rt△BMC中，CM=CD-DM=12-7=5，
∴BM=√(BC²+CM²)=√(12²+5²)=13。
【答案】
DN+MN的最小值为13。
【知识点】
最短路径问题，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质在最短路径问题中的典型应用，解题关键是利用正方形的对称性将待求线段和进行转化，再结合勾股定理计算长度，能有效考查对几何图形性质和最短路径模型的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 识别模型：动点N在定直线AC上，求两条线段DN、MN的和的最小值，首先考虑用轴对称转化线段，将同侧线段转化为异侧，利用“两点之间线段最短”求解。2. 找对称点：正方形的对角线AC所在直线是正方形的对称轴，点D关于AC的对称点为点B，因此DN和BN长度相等，可将DN+MN转化为BN+MN。3. 求最小值：BN+MN的最小值就是点B到点M的线段长度，最后在直角△BMC中用勾股定理计算BM的长度即可得到答案。
【解析】
解：如图，连接BN、BM。
∵四边形ABCD为正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴NB=DN，
∴DN+MN=BN+MN≥BM，即DN+MN的最小值为BM的长。
在Rt△BMC中，CM=CD-DM=12-7=5，
∴BM=√(BC²+CM²)=√(12²+5²)=13。
【答案】
DN+MN的最小值为13。
【知识点】
最短路径问题，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质在最短路径问题中的典型应用，解题关键是利用正方形的对称性将待求线段和进行转化，再结合勾股定理计算长度，能有效考查对几何图形性质和最短路径模型的掌握程度。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AB=5$,$S_{△ ABC}=6$,$E、D$ 分别是$AB、BC$上的动点,求$AD+DE$的最小值.
答案
如图,作点A关于BC对称的点A',过点A'作A'E⊥AB,交BC于点D,则AD=A'D,
∴AD+DE=A'D+DE≥A'E,即AD+DE的最小值为A'E的长.
∵S△AA'B=2S△ABC=2×6=12,
∴A'E=2×12/5=24/5,即AD+DE的最小值为24/5。
解析
【分析】
本题为折线和的最小值问题，遵循“化折为直”的思路求解：首先利用轴对称性质，作点A关于BC的对称点A'，可得BC上任意点D满足AD=A'D，即可将AD+DE转化为A'D+DE；再根据“垂线段最短”，可知A'到AB的垂线段长度就是A'D+DE的最小值，即A'E的长；最后结合三角形面积的计算方法求出A'E的长度即可。
【解析】
作点A关于BC对称的点A'，过点A'作A'E⊥AB，分别交BC、AB于点D、E。
由轴对称的性质可得：AD=A'D，因此$AD+DE = A'D + DE$。
根据垂线段最短可知，$A'D + DE ≥ A'E$，当且仅当A'、D、E三点共线且A'E⊥AB时，等号成立，即AD+DE的最小值为A'E的长度。
∵点A与A'关于BC对称，
∴$S_{△ AA'B} = 2S_{△ ABC} = 2×6 = 12$。
又
∵$S_{△ AA'B} = \frac{1}{2} × AB × A'E$，且AB=5，
代入得$\frac{1}{2} × 5 × A'E = 12$，解得$A'E = \frac{24}{5}$。
即AD+DE的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
轴对称的性质、垂线段最短、三角形面积计算
【点评】
本题是典型的将军饮马类最值问题，通过作对称点将折线和的最值问题转化为点到直线的距离问题，结合面积法计算最值，考查了几何转化思想，对最短路径模型的掌握要求较高。
【难度系数】
0.6
本题为折线和的最小值问题，遵循“化折为直”的思路求解：首先利用轴对称性质，作点A关于BC的对称点A'，可得BC上任意点D满足AD=A'D，即可将AD+DE转化为A'D+DE；再根据“垂线段最短”，可知A'到AB的垂线段长度就是A'D+DE的最小值，即A'E的长；最后结合三角形面积的计算方法求出A'E的长度即可。
【解析】
作点A关于BC对称的点A'，过点A'作A'E⊥AB，分别交BC、AB于点D、E。
由轴对称的性质可得：AD=A'D，因此$AD+DE = A'D + DE$。
根据垂线段最短可知，$A'D + DE ≥ A'E$，当且仅当A'、D、E三点共线且A'E⊥AB时，等号成立，即AD+DE的最小值为A'E的长度。
∵点A与A'关于BC对称，
∴$S_{△ AA'B} = 2S_{△ ABC} = 2×6 = 12$。
又
∵$S_{△ AA'B} = \frac{1}{2} × AB × A'E$，且AB=5，
代入得$\frac{1}{2} × 5 × A'E = 12$，解得$A'E = \frac{24}{5}$。
即AD+DE的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
轴对称的性质、垂线段最短、三角形面积计算
【点评】
本题是典型的将军饮马类最值问题，通过作对称点将折线和的最值问题转化为点到直线的距离问题，结合面积法计算最值，考查了几何转化思想，对最短路径模型的掌握要求较高。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$BC=4$,$BD$平分$∠ ABC$,交$AC$于点$D$,$E$为$BC$上一点,且$BE=1$,$M$为$BD$上一动点,求$CM+EM$的最小值.
答案
如图,作点C关于BD对称的点C'.
∵BD平分∠ABC,
∴直线BC和直线AB关于BD对称,则点C'在AB上,且CM=C'M,BC=BC',
∴CM+EM=C'M+EM,当C'、M、E三点共线时,CM+EM最小,最小值为C'E的长.过点C'作C'F⊥BC,垂足为F,
∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=60°,
∵BC'=BC=4,
∴BF=1/2 BC'=2,
∴C'F=2√3.
∵BE=1,
∴EF=1,
∴C'E=√(EF²+C'F²)=√13,即CM+EM的最小值为√13。
解析
【分析】
本题属于将军饮马类最短路径问题，解题思路如下：1. 观察到动点M在角平分线BD上，根据角平分线的对称性，作点C关于BD的对称点C'，利用轴对称性质可将CM转化为C'M，就把求CM+EM的最小值转化为求C'M+EM的最小值；2. 根据两点之间线段最短，当C'、M、E三点共线时，C'M+EM的取值最小，最小值为线段C'E的长度；3. 最后结合直角三角形的相关性质计算出C'E的长度即可。
【解析】
解：作点C关于BD对称的点C'。
∵BD平分∠ABC，
∴直线BC和直线AB关于BD对称，因此点C'落在AB上，由轴对称性质可得：$CM=C'M$，$BC'=BC=4$。
∴$CM+EM=C'M+EM$，根据两点之间线段最短，当$C'$、$M$、$E$三点共线时，$CM+EM$取得最小值，最小值为线段$C'E$的长。
过点$C'$作$C'F⊥BC$，垂足为$F$，
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，
∴$∠ABC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△BC'F$中，$∠BC'F=90°-∠ABC=30°$，
∴$BF=\frac{1}{2}BC'=\frac{1}{2}×4=2$，
由勾股定理得：$C'F=\sqrt{BC'^2 - BF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∵$BE=1$，
∴$EF=BF - BE=2 - 1=1$，
在$\mathrm{Rt}△C'EF$中，由勾股定理得：
$C'E=\sqrt{EF^2 + C'F^2}=\sqrt{1^2 + (2\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+12}=\sqrt{13}$。
【答案】
$CM+EM$的最小值为$\sqrt{13}$。
【知识点】
轴对称的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题的核心是利用角平分线的对称性作对称点，将两条折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合直角三角形的性质计算求解，掌握将军饮马模型的转化思路是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.65
本题属于将军饮马类最短路径问题，解题思路如下：1. 观察到动点M在角平分线BD上，根据角平分线的对称性，作点C关于BD的对称点C'，利用轴对称性质可将CM转化为C'M，就把求CM+EM的最小值转化为求C'M+EM的最小值；2. 根据两点之间线段最短，当C'、M、E三点共线时，C'M+EM的取值最小，最小值为线段C'E的长度；3. 最后结合直角三角形的相关性质计算出C'E的长度即可。
【解析】
解：作点C关于BD对称的点C'。
∵BD平分∠ABC，
∴直线BC和直线AB关于BD对称，因此点C'落在AB上，由轴对称性质可得：$CM=C'M$，$BC'=BC=4$。
∴$CM+EM=C'M+EM$，根据两点之间线段最短，当$C'$、$M$、$E$三点共线时，$CM+EM$取得最小值，最小值为线段$C'E$的长。
过点$C'$作$C'F⊥BC$，垂足为$F$，
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，
∴$∠ABC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△BC'F$中，$∠BC'F=90°-∠ABC=30°$，
∴$BF=\frac{1}{2}BC'=\frac{1}{2}×4=2$，
由勾股定理得：$C'F=\sqrt{BC'^2 - BF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∵$BE=1$，
∴$EF=BF - BE=2 - 1=1$，
在$\mathrm{Rt}△C'EF$中，由勾股定理得：
$C'E=\sqrt{EF^2 + C'F^2}=\sqrt{1^2 + (2\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+12}=\sqrt{13}$。
【答案】
$CM+EM$的最小值为$\sqrt{13}$。
【知识点】
轴对称的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题的核心是利用角平分线的对称性作对称点，将两条折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合直角三角形的性质计算求解，掌握将军饮马模型的转化思路是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.65
