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1. 如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别是5 cm、3 cm和1 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是多少?
答案
∵三级台阶平面展开图为长方形,宽为5 cm,长为(3+1)×3=12(cm),
∴蚂蚁从点A处沿台阶面爬行到点B的最短路程即为AB的长,AB=√(5²+12²)=13(cm),即蚂蚁从点A处沿着台阶面爬到点B的最短路程是13 cm。
解析
【分析】
解决立体图形表面的最短路径问题，需先将立体表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径为展开后两点的连线，再结合勾股定理计算路径长度。本题中先将三级台阶的侧面展开得到长方形，再确定长方形的长和宽，最后用勾股定理计算A、B两点的距离即可。
【解析】
首先将三级台阶的平面展开，得到一个长方形：
长方形的宽等于台阶的长，为5 cm；
长方形的长为三级台阶的（宽+高）之和，即$(3+1)×3=12\ \mathrm{cm}$。
蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程就是这个长方形对角线AB的长度，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
【答案】
∵三级台阶平面展开图为长方形,宽为5 cm,长为(3+1)×3=12(cm),
∴蚂蚁从点A处沿台阶面爬行到点B的最短路程即为AB的长,AB=√(5²+12²)=13(cm),即蚂蚁从点A处沿着台阶面爬到点B的最短路程是13 cm。
【知识点】
最短路径问题；立体图形展开；勾股定理
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，解题关键是掌握“化立体为平面”的转化思想，展开图形时要准确计算对应边长，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
解决立体图形表面的最短路径问题，需先将立体表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径为展开后两点的连线，再结合勾股定理计算路径长度。本题中先将三级台阶的侧面展开得到长方形，再确定长方形的长和宽，最后用勾股定理计算A、B两点的距离即可。
【解析】
首先将三级台阶的平面展开，得到一个长方形：
长方形的宽等于台阶的长，为5 cm；
长方形的长为三级台阶的（宽+高）之和，即$(3+1)×3=12\ \mathrm{cm}$。
蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程就是这个长方形对角线AB的长度，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
【答案】
∵三级台阶平面展开图为长方形,宽为5 cm,长为(3+1)×3=12(cm),
∴蚂蚁从点A处沿台阶面爬行到点B的最短路程即为AB的长,AB=√(5²+12²)=13(cm),即蚂蚁从点A处沿着台阶面爬到点B的最短路程是13 cm。
【知识点】
最短路径问题；立体图形展开；勾股定理
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，解题关键是掌握“化立体为平面”的转化思想，展开图形时要准确计算对应边长，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
2. 直四棱柱的上下底面是正方形,底面边长为3 cm,高为10 cm.在其侧面从点A开始,绕侧面两周,嵌入装饰彩条至点B停止.求彩条的最短长度.
答案
如图,将长方体的侧面沿AB展开,取AB的中点C',取A'B'的中点C,连接B'C'、AC,则AC+B'C'为所求的最短彩条长.由题意可知,A'C=B'C=5 cm,AA'=12 cm,
∴AC=√(A'A²+A'C²)=√(12²+5²)=13(cm),同理可得B'C'=13 cm,
∴AC+B'C'=26(cm),即所用彩条的最短长度是26 cm。
解析
【分析】
要解决立体侧面上绕多周的最短路径问题，核心思路是将立体侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为求线段长度。本题中彩条绕侧面两周，我们可以将直四棱柱的侧面沿AB展开，把两周的路径对应到展开图中：首先求出底面正方形的周长，即侧面展开后绕一周的水平长度，再结合总高度，利用勾股定理计算最短路径的总长度即可。
【解析】
解：将直四棱柱的侧面沿AB展开，取AB的中点C'，A'B'的中点C，连接AC、B'C'，则AC+B'C'即为所求的最短彩条长度。
∵直四棱柱底面是边长为3cm的正方形，
∴侧面展开后水平长度$ AA' = 4×3 = 12\ \mathrm{cm} $，
已知直四棱柱高为10cm，绕侧面两周，因此每段路径对应的竖直高度为$ 10÷2 = 5\ \mathrm{cm} $，即$ A'C = 5\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ AA'C $中，由勾股定理得：
$ AC = \sqrt{AA'^2 + A'C^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm} $
同理可得$ B'C' = 13\ \mathrm{cm} $，
∴彩条最短长度为$ AC + B'C' = 13 + 13 = 26\ \mathrm{cm} $。
【答案】
所用彩条的最短长度是26 cm。
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题核心是将立体表面的路径问题转化为平面内的线段长度问题，解题关键是正确处理“绕两周”的展开要求，通过合理拆分路径或对应展开多周的侧面长度，结合勾股定理即可求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要解决立体侧面上绕多周的最短路径问题，核心思路是将立体侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为求线段长度。本题中彩条绕侧面两周，我们可以将直四棱柱的侧面沿AB展开，把两周的路径对应到展开图中：首先求出底面正方形的周长，即侧面展开后绕一周的水平长度，再结合总高度，利用勾股定理计算最短路径的总长度即可。
【解析】
解：将直四棱柱的侧面沿AB展开，取AB的中点C'，A'B'的中点C，连接AC、B'C'，则AC+B'C'即为所求的最短彩条长度。
∵直四棱柱底面是边长为3cm的正方形，
∴侧面展开后水平长度$ AA' = 4×3 = 12\ \mathrm{cm} $，
已知直四棱柱高为10cm，绕侧面两周，因此每段路径对应的竖直高度为$ 10÷2 = 5\ \mathrm{cm} $，即$ A'C = 5\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ AA'C $中，由勾股定理得：
$ AC = \sqrt{AA'^2 + A'C^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm} $
同理可得$ B'C' = 13\ \mathrm{cm} $，
∴彩条最短长度为$ AC + B'C' = 13 + 13 = 26\ \mathrm{cm} $。
【答案】
所用彩条的最短长度是26 cm。
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题核心是将立体表面的路径问题转化为平面内的线段长度问题，解题关键是正确处理“绕两周”的展开要求，通过合理拆分路径或对应展开多周的侧面长度，结合勾股定理即可求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
3. 如图,长方体的高为 5 cm,底面长为 4 cm,宽为 1 cm.
(1)求点 $ A_1 $ 到点 $ C_2 $ 之间的距离.
(2)若一只蚂蚁从长方体表面的点 $ A_2 $ 爬到点 $ C_1 $,则蚂蚁爬行的最短路程为 ______ cm.
(1)求点 $ A_1 $ 到点 $ C_2 $ 之间的距离.
(2)若一只蚂蚁从长方体表面的点 $ A_2 $ 爬到点 $ C_1 $,则蚂蚁爬行的最短路程为 ______ cm.
答案
(1)如图1,连接A₂C₂、A₁C₂.在Rt△A₂B₂C₂中,∠A₂B₂C₂=90°,
∴A₂C₂=√(A₂B₂²+B₂C₂²)=√(1²+4²)=√17 (cm),在Rt△A₁A₂C₂中,∠A₁A₂C₂=90°,
∴A₁C₂=√(A₁A₂²+A₂C₂²)=√(5²+(√17)²)=√42 (cm),
∴点A₁到点C₂的距离为√42 cm.
(2)5√2 解析:如图2,A₂C₁=√(5²+5²)=5√2(cm);如图3,A₂C₁=√(9²+1²)=√82 (cm);如图4,A₂C₁=√(6²+4²)=2√13(cm).
∵5√2＜2√13＜√82,
∴一只蚂蚁从点A₂爬到点C₁,爬行的最短路程是5√2 cm。
解析
【分析】
(1) 求点$A_1$到$C_2$的距离时，可利用长方体棱互相垂直的性质，分两步用勾股定理计算：先在底面长方形中算出底面对角线$A_2C_2$的长度，再结合竖直棱$A_1A_2$与$A_2C_2$垂直的特性，在直角三角形$A_1A_2C_2$中用勾股定理算出$A_1C_2$的长度即可。
(2) 蚂蚁在长方体表面爬行的最短路径问题，需将长方体相邻的两个面展开成同一平面，根据“两点之间线段最短”，此时$A_2$和$C_1$的连线长度就是该种展开方式下的路径长。共有3种不同的展开方式，分别计算3种方式的路径长后比较大小，最小的数值就是最短路程。
【解析】
(1) 如图1，连接$A_2C_2$、$A_1C_2$。
在$\mathrm{Rt}△ A_2B_2C_2$中，$∠ A_2B_2C_2=90°$，$A_2B_2=1\ \mathrm{cm}$，$B_2C_2=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$A_2C_2=\sqrt{A_2B_2^2 + B_2C_2^2}=\sqrt{1^2 + 4^2}=\sqrt{17}\ (\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ A_1A_2C_2$中，$∠ A_1A_2C_2=90°$，$A_1A_2=5\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$A_1C_2=\sqrt{A_1A_2^2 + A_2C_2^2}=\sqrt{5^2 + (\sqrt{17})^2}=\sqrt{42}\ (\mathrm{cm})$。
(2) 将长方体相邻面展开，分三种情况计算路径长：
① 如图2，展开后$A_2$到$C_1$的水平总距离为$1+4=5\ \mathrm{cm}$，竖直距离为$5\ \mathrm{cm}$，
则$A_2C_1=\sqrt{5^2 + 5^2}=5\sqrt{2}\ (\mathrm{cm})$；
② 如图3，展开后$A_2$到$C_1$的水平距离为$1\ \mathrm{cm}$，竖直总距离为$5+4=9\ \mathrm{cm}$，
则$A_2C_1=\sqrt{9^2 + 1^2}=\sqrt{82}\ (\mathrm{cm})$；
③ 如图4，展开后$A_2$到$C_1$的水平距离为$4\ \mathrm{cm}$，竖直总距离为$5+1=6\ \mathrm{cm}$，
则$A_2C_1=\sqrt{6^2 + 4^2}=2\sqrt{13}\ (\mathrm{cm})$。
比较大小得$5\sqrt{2}＜2\sqrt{13}＜\sqrt{82}$，因此蚂蚁爬行的最短路程为$5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 点$A_1$到点$C_2$的距离为$\sqrt{42}\ \mathrm{cm}$；
(2) $\boldsymbol{5\sqrt{2}}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 长方体表面最短路径计算
3. 两点之间线段最短
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，第一问考查空间两点距离的计算，利用长方体的垂直特性两次运用勾股定理即可求解；第二问的核心是将立体图形展开为平面图形，把曲面路径转化为直线段求解，解题时要注意分类讨论所有可能的展开方式，避免遗漏情况得到错误结果。
【难度系数】
0.6
(1) 求点$A_1$到$C_2$的距离时，可利用长方体棱互相垂直的性质，分两步用勾股定理计算：先在底面长方形中算出底面对角线$A_2C_2$的长度，再结合竖直棱$A_1A_2$与$A_2C_2$垂直的特性，在直角三角形$A_1A_2C_2$中用勾股定理算出$A_1C_2$的长度即可。
(2) 蚂蚁在长方体表面爬行的最短路径问题，需将长方体相邻的两个面展开成同一平面，根据“两点之间线段最短”，此时$A_2$和$C_1$的连线长度就是该种展开方式下的路径长。共有3种不同的展开方式，分别计算3种方式的路径长后比较大小，最小的数值就是最短路程。
【解析】
(1) 如图1，连接$A_2C_2$、$A_1C_2$。
在$\mathrm{Rt}△ A_2B_2C_2$中，$∠ A_2B_2C_2=90°$，$A_2B_2=1\ \mathrm{cm}$，$B_2C_2=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$A_2C_2=\sqrt{A_2B_2^2 + B_2C_2^2}=\sqrt{1^2 + 4^2}=\sqrt{17}\ (\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ A_1A_2C_2$中，$∠ A_1A_2C_2=90°$，$A_1A_2=5\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$A_1C_2=\sqrt{A_1A_2^2 + A_2C_2^2}=\sqrt{5^2 + (\sqrt{17})^2}=\sqrt{42}\ (\mathrm{cm})$。
(2) 将长方体相邻面展开，分三种情况计算路径长：
① 如图2，展开后$A_2$到$C_1$的水平总距离为$1+4=5\ \mathrm{cm}$，竖直距离为$5\ \mathrm{cm}$，
则$A_2C_1=\sqrt{5^2 + 5^2}=5\sqrt{2}\ (\mathrm{cm})$；
② 如图3，展开后$A_2$到$C_1$的水平距离为$1\ \mathrm{cm}$，竖直总距离为$5+4=9\ \mathrm{cm}$，
则$A_2C_1=\sqrt{9^2 + 1^2}=\sqrt{82}\ (\mathrm{cm})$；
③ 如图4，展开后$A_2$到$C_1$的水平距离为$4\ \mathrm{cm}$，竖直总距离为$5+1=6\ \mathrm{cm}$，
则$A_2C_1=\sqrt{6^2 + 4^2}=2\sqrt{13}\ (\mathrm{cm})$。
比较大小得$5\sqrt{2}＜2\sqrt{13}＜\sqrt{82}$，因此蚂蚁爬行的最短路程为$5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 点$A_1$到点$C_2$的距离为$\sqrt{42}\ \mathrm{cm}$；
(2) $\boldsymbol{5\sqrt{2}}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 长方体表面最短路径计算
3. 两点之间线段最短
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，第一问考查空间两点距离的计算，利用长方体的垂直特性两次运用勾股定理即可求解；第二问的核心是将立体图形展开为平面图形，把曲面路径转化为直线段求解，解题时要注意分类讨论所有可能的展开方式，避免遗漏情况得到错误结果。
【难度系数】
0.6
4. 如图,透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 15 cm,底面周长为 8 cm,在容器内壁离容器底部 6 cm 的 A 处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在与点 A 处相对的玻璃杯外壁,且距离容器顶部 1 cm 的点 B 处,求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度.
答案
如图,将容器侧面展开,作点A关于EF对称的点A',连接A'B,则A'B即为最短距离,由题意可知,A'D=1/2×8=4(cm),A'E=AE=15-6=9(cm),BD=9+1=10(cm),
∴A'B=√(A'D²+BD²)=√(4²+10²)=2√29 (cm),即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是2√29 cm。
解析
【分析】
要解决圆柱表面蚂蚁爬行的最短路径问题，首先需将立体的圆柱侧面展开为平面长方形，把曲面路径转化为平面路径，利用“两点之间线段最短”确定最短路径。由于饭粒在容器内壁、蚂蚁在容器外壁，路径需要经过容器上沿，因此可通过作对称点将跨内外侧的路径转化为同一平面内两点的连线，最后构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：将圆柱容器侧面展开为长方形，作点A关于容器上沿对应的水平线EF的对称点A'，连接A'B，根据两点之间线段最短，A'B即为蚂蚁爬行的最短路径。
由题意得：
展开后水平方向A'到B的水平距离为底面周长的一半，即$A'D = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$，
A点距离容器底部6cm，因此A到EF的距离为$15 - 6 = 9\ \mathrm{cm}$，由轴对称性质得$A'E = AE = 9\ \mathrm{cm}$，
B点距离容器顶部1cm，因此A'到B的垂直距离为$A'E + 1 = 9 + 1 = 10\ \mathrm{cm}$，即$BD = 10\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ A'DB$中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'D^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 10^2} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是$2\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题考查曲面最短路径的求解，解题关键是将立体图形展开为平面图形，结合轴对称将跨侧面的路径转化为平面内两点的连线，再利用勾股定理计算，解题时要注意准确提取题干中的长度条件，正确计算直角边的长度。
【难度系数】
0.6
要解决圆柱表面蚂蚁爬行的最短路径问题，首先需将立体的圆柱侧面展开为平面长方形，把曲面路径转化为平面路径，利用“两点之间线段最短”确定最短路径。由于饭粒在容器内壁、蚂蚁在容器外壁，路径需要经过容器上沿，因此可通过作对称点将跨内外侧的路径转化为同一平面内两点的连线，最后构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：将圆柱容器侧面展开为长方形，作点A关于容器上沿对应的水平线EF的对称点A'，连接A'B，根据两点之间线段最短，A'B即为蚂蚁爬行的最短路径。
由题意得：
展开后水平方向A'到B的水平距离为底面周长的一半，即$A'D = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$，
A点距离容器底部6cm，因此A到EF的距离为$15 - 6 = 9\ \mathrm{cm}$，由轴对称性质得$A'E = AE = 9\ \mathrm{cm}$，
B点距离容器顶部1cm，因此A'到B的垂直距离为$A'E + 1 = 9 + 1 = 10\ \mathrm{cm}$，即$BD = 10\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ A'DB$中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'D^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 10^2} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是$2\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题考查曲面最短路径的求解，解题关键是将立体图形展开为平面图形，结合轴对称将跨侧面的路径转化为平面内两点的连线，再利用勾股定理计算，解题时要注意准确提取题干中的长度条件，正确计算直角边的长度。
【难度系数】
0.6
