10. 下列方程一定是关于 $ x $ 的一元二次方程的是().

A.$ 2ax^2 - ax + 1 = 0 $
B.$ ax^2 + bx + c = 0 $
C.$ m^2x - 4 = 0 $
D.$ (k^2 + 1)x^2 - 2x + k = 0 $

10. D

【分析】
要判断一个方程是不是关于$x$的一元二次方程，首先要明确一元二次方程的核心判定条件：①是整式方程；②只含有一个未知数$x$；③未知数$x$的最高次数为2；④二次项的系数不能为0。解题时我们逐个对照条件分析每个选项即可，重点要注意二次项系数含参数时，要确认参数取任意值时二次项系数都不为0，才符合“一定是”的要求。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定标准：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0的整式方程。
对各选项逐一分析：
A. 方程$2ax^2 - ax + 1 = 0$中，若$a=0$，则二次项消失，方程变为$1=0$，不成立也不是一元二次方程，因此不一定是一元二次方程；
B. 方程$ax^2 + bx + c = 0$中，若$a=0$，则方程变为$bx + c = 0$，属于一元一次方程，因此不一定是一元二次方程；
C. 方程$m^2x - 4 = 0$中，未知数$x$的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
D. 方程$(k^2 + 1)x^2 - 2x + k = 0$中，因为$k^2 ≥ 0$，所以$k^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，二次项系数恒不为0，且方程只含$x$一个未知数，$x$的最高次数为2，是整式方程，因此一定是关于$x$的一元二次方程。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的判定；非负数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的识别，解题关键是牢记一元二次方程的定义，尤其要注意二次项系数不为0这个隐含前提，遇到系数含参数的情况时，要判断参数的取值是否会导致二次项系数为0，避免误选。
【难度系数】
0.7

11. 解下列方程：
(1) $(x + 2)^2 - 10(x + 2) + 25 = 0$；
(2) $(x + 1)(x - 1) + 2(x + 3) = 8$；
(3) $(2x - 5)^2 - (x + 4)^2 = 0$。

11. (1) $x_1=x_2=3$ (2) $x_1=1, x_2=-3$ (3) $x_1=\dfrac{1}{3}, x_2=9$

【分析】
这三道均为一元二次方程求解问题，可根据方程特征选择简便的因式分解法求解，降低计算量：
（1）将$(x+2)$看作整体，方程左边符合完全平方公式结构，先因式分解再求解；
（2）先展开方程左边、合并同类项整理为一元二次方程一般式，再用十字相乘法因式分解求解；
（3）方程左边为两个平方的差，符合平方差公式结构，先因式分解再求解。
【解析】
(1) 原方程利用完全平方公式变形：
$[(x+2)-5]^2=0$，即$(x-3)^2=0$
开平方得$x-3=0$，解得$x_1=x_2=3$。
(2) 先展开整理方程：
左边展开得$x^2-1+2x+6=8$，合并同类项得$x^2+2x+5=8$
移项整理为一般式：$x^2+2x-3=0$
十字相乘法因式分解得$(x+3)(x-1)=0$
即$x+3=0$或$x-1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
(3) 原方程利用平方差公式变形：
$[(2x-5)+(x+4)][(2x-5)-(x+4)]=0$
化简括号内的式子得$(3x-1)(x-9)=0$
即$3x-1=0$或$x-9=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{3}$，$x_2=9$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=3$；(2) $x_1=1, x_2=-3$；(3) $x_1=\dfrac{1}{3}, x_2=9$
【知识点】
一元二次方程解法，因式分解法，乘法公式应用
【点评】
本题考查一元二次方程的灵活求解，解题时优先观察方程结构特征，选择匹配的因式分解法可大幅简化计算，需熟练掌握完全平方公式、平方差公式及十字相乘法的使用。
【难度系数】
0.8