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12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2(m + 1)x^2 + 4mx + 3m = 2 $。
（1）若方程有两个相等的实数根，求 $ m $ 的值；
（2）若方程有两个互为相反数的实数根，求 $ m $ 的值；
（3）若方程有一个根为 0，求 $ m $ 的值。
（1）若方程有两个相等的实数根，求 $ m $ 的值；
（2）若方程有两个互为相反数的实数根，求 $ m $ 的值；
（3）若方程有一个根为 0，求 $ m $ 的值。
答案
12. $\Delta=16m^2 -8(m+1)(3m-2)=-8(m^2+m-2).$
（1）$\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=0.$ 解得$m_1=-2, m_2=1$
（2）$\because$ 方程有两个互为相反数的实数根，$\therefore$ 两根之和为0且 $\Delta≥ 0.$
$\therefore -\dfrac{4m}{2(m+1)}=0, -8(m^2+m-2)≥0.$则$m=0$
（3）$\because$ 方程有一个根为0，$\therefore 3m-2=0.$则$m=\dfrac{2}{3}$
（1）$\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=0.$ 解得$m_1=-2, m_2=1$
（2）$\because$ 方程有两个互为相反数的实数根，$\therefore$ 两根之和为0且 $\Delta≥ 0.$
$\therefore -\dfrac{4m}{2(m+1)}=0, -8(m^2+m-2)≥0.$则$m=0$
（3）$\because$ 方程有一个根为0，$\therefore 3m-2=0.$则$m=\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
解题前先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的隐含条件：二次项系数不为0，即$m≠ -1$，再计算根的判别式$\Delta$，之后结合三个小问的不同条件分别求解：
（1）方程有两个相等的实数根，对应判别式$\Delta=0$，列方程求解$m$即可；
（2）方程有两个互为相反数的实根，首先根据根与系数的关系，两根之和为0，且要保证方程有两个实根即$\Delta≥0$，结合两个条件求解$m$；
（3）方程有一个根为0，将$x=0$代入原方程即可得到关于$m$的方程，求解后验证是否符合二次项系数不为0的条件。
【解析】
先将原方程整理为一般形式：$2(m + 1)x^2 + 4mx + 3m - 2 = 0$，
$\because$ 该方程为一元二次方程，$\therefore 2(m+1)≠ 0$，即$m≠ -1$，
计算根的判别式：
$\Delta=(4m)^2 - 4× 2(m+1)(3m-2)=16m^2 -8(m+1)(3m-2)=-8(m^2+m-2)$
（1）$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=0$，即$-8(m^2+m-2)=0$，
化简得$m^2+m-2=0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m_1=-2$，$m_2=1$，均满足$m≠ -1$，符合要求。
（2）$\because$ 方程有两个互为相反数的实数根，
$\therefore$ 两根之和为0，且$\Delta≥ 0$，
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{4m}{2(m+1)}=0$，
则$4m=0$且$m+1≠ 0$，解得$m=0$，
将$m=0$代入$\Delta$得：$\Delta=-8(0+0-2)=16≥ 0$，满足有两个实根的条件，故$m=0$。
（3）$\because$ 方程有一个根为0，
$\therefore$ 将$x=0$代入原方程得：$3m-2=0$，
解得$m=\frac{2}{3}$，代入二次项系数得$2(\frac{2}{3}+1)=\frac{10}{3}≠ 0$，符合要求。
【答案】
（1）$m=-2$或$m=1$；（2）$m=0$；（3）$m=\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；一元二次方程的解的定义
【点评】
本题围绕一元二次方程根的性质设置问题，解题时需注意先抓住一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，再结合不同根的特征对应的代数关系列式求解，求出结果后要注意验证是否符合前提条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
解题前先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的隐含条件：二次项系数不为0，即$m≠ -1$，再计算根的判别式$\Delta$，之后结合三个小问的不同条件分别求解：
（1）方程有两个相等的实数根，对应判别式$\Delta=0$，列方程求解$m$即可；
（2）方程有两个互为相反数的实根，首先根据根与系数的关系，两根之和为0，且要保证方程有两个实根即$\Delta≥0$，结合两个条件求解$m$；
（3）方程有一个根为0，将$x=0$代入原方程即可得到关于$m$的方程，求解后验证是否符合二次项系数不为0的条件。
【解析】
先将原方程整理为一般形式：$2(m + 1)x^2 + 4mx + 3m - 2 = 0$，
$\because$ 该方程为一元二次方程，$\therefore 2(m+1)≠ 0$，即$m≠ -1$，
计算根的判别式：
$\Delta=(4m)^2 - 4× 2(m+1)(3m-2)=16m^2 -8(m+1)(3m-2)=-8(m^2+m-2)$
（1）$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=0$，即$-8(m^2+m-2)=0$，
化简得$m^2+m-2=0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m_1=-2$，$m_2=1$，均满足$m≠ -1$，符合要求。
（2）$\because$ 方程有两个互为相反数的实数根，
$\therefore$ 两根之和为0，且$\Delta≥ 0$，
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{4m}{2(m+1)}=0$，
则$4m=0$且$m+1≠ 0$，解得$m=0$，
将$m=0$代入$\Delta$得：$\Delta=-8(0+0-2)=16≥ 0$，满足有两个实根的条件，故$m=0$。
（3）$\because$ 方程有一个根为0，
$\therefore$ 将$x=0$代入原方程得：$3m-2=0$，
解得$m=\frac{2}{3}$，代入二次项系数得$2(\frac{2}{3}+1)=\frac{10}{3}≠ 0$，符合要求。
【答案】
（1）$m=-2$或$m=1$；（2）$m=0$；（3）$m=\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；一元二次方程的解的定义
【点评】
本题围绕一元二次方程根的性质设置问题，解题时需注意先抓住一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，再结合不同根的特征对应的代数关系列式求解，求出结果后要注意验证是否符合前提条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
13. 是否存在实数 $ k $ 使关于 $ x $ 的方程 $(k - 1)x^2 - (k + 2)x + 4 = 0$ 有两个相等的正整数根？若存在，求出 $ k $ 的值；若不存在，请说明理由。
答案
13. 存在，$k=2$
解析
【分析】
要解决这个问题，可按以下思路思考：①方程有两个相等的根，说明它是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②一元二次方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ=0，据此列方程可求出k的可能取值；③将求出的k值代回原方程，解方程得到根，验证根是否为正整数，符合条件的k就是所求值。
【解析】
解：假设存在满足条件的实数$k$。
∵ 方程有两个相等的实根，
∴ 该方程为一元二次方程，即 $k-1≠0$，得 $k≠1$，
且根的判别式 $\Delta=0$，
即 $[-(k+2)]^2 - 4×(k-1)×4 = 0$，
展开整理得：$k^2 +4k +4 -16k +16 = 0$，
即 $k^2 -12k +20 = 0$，
因式分解得：$(k-2)(k-10)=0$，
解得 $k_1=2$，$k_2=10$。
接下来验证根是否为正整数：
① 当 $k=2$ 时，原方程为 $x^2 -4x +4 = 0$，
解得 $x_1=x_2=2$，是正整数，符合要求；
② 当 $k=10$ 时，原方程为 $9x^2 -12x +4 = 0$，
解得 $x_1=x_2=\frac{2}{3}$，不是正整数，不符合要求，舍去。
综上，存在满足条件的$k$。
【答案】存在，$k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的综合应用类题目，解题时需注意两个易错点：一是忽略二次项系数不为0的前提条件，误将一次方程的情况计入；二是求出k值后忘记验证根是否符合正整数的要求，导致多解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，可按以下思路思考：①方程有两个相等的根，说明它是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②一元二次方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ=0，据此列方程可求出k的可能取值；③将求出的k值代回原方程，解方程得到根，验证根是否为正整数，符合条件的k就是所求值。
【解析】
解：假设存在满足条件的实数$k$。
∵ 方程有两个相等的实根，
∴ 该方程为一元二次方程，即 $k-1≠0$，得 $k≠1$，
且根的判别式 $\Delta=0$，
即 $[-(k+2)]^2 - 4×(k-1)×4 = 0$，
展开整理得：$k^2 +4k +4 -16k +16 = 0$，
即 $k^2 -12k +20 = 0$，
因式分解得：$(k-2)(k-10)=0$，
解得 $k_1=2$，$k_2=10$。
接下来验证根是否为正整数：
① 当 $k=2$ 时，原方程为 $x^2 -4x +4 = 0$，
解得 $x_1=x_2=2$，是正整数，符合要求；
② 当 $k=10$ 时，原方程为 $9x^2 -12x +4 = 0$，
解得 $x_1=x_2=\frac{2}{3}$，不是正整数，不符合要求，舍去。
综上，存在满足条件的$k$。
【答案】存在，$k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的综合应用类题目，解题时需注意两个易错点：一是忽略二次项系数不为0的前提条件，误将一次方程的情况计入；二是求出k值后忘记验证根是否符合正整数的要求，导致多解。
【难度系数】
0.6
