1. 如图，$AB=DE$，$AC=DF$，$BE=CF$。
求证:(1)$△ ABC≌△ DEF$；
(2)$AB// DE$。

1.证明:(1)
∵BE=CF,
∴BE+CE=CF+EC,
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
$\begin{cases} AB=DE,\\ AC=DF,\\ BC=EF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)
∵△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠DEF,
∴AB//DE.

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DEF，已知两组对应边AB=DE、AC=DF，还需证明第三组对应边BC=EF。由已知BE=CF，在等式两边同时加上公共线段EC，即可推得BC=EF，满足三边对应相等的全等判定条件，即可用SSS定理证明两个三角形全等。
(2) 要证明AB//DE，可通过证明同位角∠B和∠DEF相等推导。由(1)的全等结论，根据全等三角形对应角相等的性质，可直接得到∠B=∠DEF，再结合同位角相等、两直线平行的判定定理，即可证得AB//DE。
【解析】
(1)
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+EC，
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ AC=DF,\\ BC=EF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)
∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB//DE.
【答案】
(1) △ABC≌△DEF，证明见解析；
(2) AB//DE，证明见解析。
【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形相关的基础题型，解题核心是先通过线段的和差关系得到相等的对应边，再结合已知条件完成全等证明，进而利用全等的性质推导角的关系证明平行，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85

2. 如图,在$△ ABC$中,$AC＞AB$,射线$AD$平分$∠ BAC$,交$BC$于点$E$,点$F$在边$AB$的延长线上,$AF=AC$,连接$EF$.
(1)求证:$△ AEC≌△ AEF$;
(2)若$∠ AEB=50°$,求$∠ BEF$的度数.

2.(1)证明:
∵射线AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠FAE.
在△AEC和△AEF中,$\begin{cases} AC=AF,\\ ∠CAE=∠FAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AEC≌△AEF(SAS).
(2)解:
∵△AEC≌△AEF,
∴∠C=∠F.
∵∠AEB=∠CAE+∠C=50°,
∴∠FAE+∠F=50°.
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°,
∴∠BEF=80°.

【分析】
(1) 要证明△AEC≌△AEF，先梳理已知条件：AD是∠BAC的角平分线，可得一组对应角相等；已知AC=AF，同时AE是两个三角形的公共边，满足SAS全等判定的三个条件，即可完成证明。
(2) 求∠BEF的度数，首先利用第一问的全等结论得到对应角相等，再结合三角形外角的性质，将已知的∠AEB的度数转化为△AEF中两个内角的和，最后利用三角形内角和或者角度和差关系即可求出∠BEF的度数。
【解析】
(1) 证明:
∵射线AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠FAE.
在△AEC和△AEF中,$\begin{cases} AC=AF,\\ ∠CAE=∠FAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AEC≌△AEF(SAS).
(2) 解:
∵△AEC≌△AEF,
∴∠C=∠F.
∵∠AEB=∠CAE+∠C=50°,
∴∠FAE+∠F=50°.
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°,
∴∠BEF=180°-50°-50°=80°.
【答案】
(1) 已证△AEC≌△AEF；
(2) $\boldsymbol{80°}$
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题，第一问考查全等三角形SAS判定定理的直接应用，第二问结合全等性质与三角形角度关系求解，解题核心是准确找到全等的对应条件，熟练运用相关性质进行角度转化。
【难度系数】
0.8

3. 已知∠ABC=90°, FA⊥AB于点A,D是直线AB上的点,AD=BC,AF=BD,连接DC,DF,CF.
(1)如图①,AF,BC在AB的同侧,点D在线段AB上,DF与DC的数量关系为,位置关系为;
(2)如图②,点D在线段AB的延长线上,AF,BC在AB的异侧,(1)中结论是否成立?请说明理由.

3.(1)相等(或DF=DC) 垂直(或DF⊥DC)
(2)解:成立,理由:
∵AF⊥AB,
∴∠DAF=90°.
∵∠ABC=90°,
∴∠CBD=90°,
∴∠DAF=∠CBD.
在△ADF和△BCD中,
$\begin{cases} AF=DB,\\ ∠DAF=∠CBD,\\ AD=BC, \end{cases}$
∴△ADF≌△BCD(SAS),
∴DF=CD,∠ADF=∠BCD.
∵∠BCD+∠CDB=90°,
∴∠ADF+∠CDB=90°,
即∠CDF=90°,
∴CD⊥DF.

【分析】
(1)要判断DF和DC的数量与位置关系，首先观察已知条件：给出了两组边相等（AD=BC、AF=BD），且∠A和∠B均为直角，可先通过SAS证明△ADF和△BCD全等，利用全等的性质得到边的数量关系，再通过角的和差关系推导得到垂直的位置关系。(2)当点D位置发生变化时，依然先找△ADF和△BCD的全等条件：由AF⊥AB可得∠DAF=90°，由∠ABC=90°可得∠CBD=90°，结合题干给出的边相等条件，仍然可通过SAS证明两个三角形全等，再仿照(1)的角转化思路推导垂直关系，即可判断原有结论是否成立。
【解析】
(1) 解：
∵FA⊥AB，∠ABC=90°，
∴∠A=∠B=90°，
在△ADF和△BCD中，
$\begin{cases} AF=BD,\\ ∠A=∠B,\\ AD=BC, \end{cases}$
∴△ADF≌△BCD(SAS)，
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD。
∵∠BCD+∠CDB=90°，
∴∠ADF+∠CDB=90°，
∴∠FDC=180°-(∠ADF+∠CDB)=90°，即DF⊥DC。
(2) 解：成立，理由如下：
∵AF⊥AB，
∴∠DAF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD=90°，
∴∠DAF=∠CBD，
在△ADF和△BCD中，
$\begin{cases} AF=DB,\\ ∠DAF=∠CBD,\\ AD=BC, \end{cases}$
∴△ADF≌△BCD(SAS)，
∴DF=CD，∠ADF=∠BCD。
∵∠BCD+∠CDB=90°，
∴∠ADF+∠CDB=90°，
即∠CDF=90°，
∴CD⊥DF。
【答案】
(1) 相等（或DF=DC）；垂直（或DF⊥DC）
(2) 成立，理由见解析。
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题型，核心是结合图形特征找到待证线段所在的全等三角形，利用全等性质解决线段的数量关系，再通过角的和差转化推导位置关系，图形变化类设问需要关注不变的边、角条件，有助于提升逻辑推理和识图分析能力。
【难度系数】
0.7