7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=24°$，在$△ DEF$中，$∠ F=66°$，$BC$，$EF$边上的高相等，若$AC=DF$，则$∠ B$的度数为 （）

A.$30°$
B.$42°$
C.$45°$
D.$60°$

7.B

【分析】
要解这道题，首先需要利用题目中“BC、EF边上的高相等”和“AC=DF”的条件，通过作高构造直角三角形，借助HL判定定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，再结合三角形外角的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
解：分别过点A作AG⊥BC，交BC的延长线于点G，过点D作DH⊥EF于点H，
∴ $∠ G = ∠ DHF = 90°$。
∵ BC、EF边上的高相等，
∴ $AG = DH$。
在$\mathrm{Rt}△ AGC$和$\mathrm{Rt}△ DHF$中：
$\begin{cases}AC = DF \\AG = DH\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AGC ≌ \mathrm{Rt}△ DHF$（HL），
∴ $∠ ACG = ∠ F = 66°$。
∵ $∠ ACG$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ ACG = ∠ B + ∠ A$，
将$∠ A=24°$代入得：
$∠ B = ∠ ACG - ∠ A = 66° - 24° = 42°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等的判定；三角形外角的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将已知的高相等、边相等的条件转化为全等的判定条件，再结合三角形外角性质求解，考查了学生的辅助线构造能力和全等性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图，$∠ C=90°$，$D$为$AB$上一点，且$BD=BC$，过点$D$作$DE⊥ AB$交$AC$于点$E$，若$DE=2$，$AC=5$，则$AE$的长为________.

8.3

【分析】
解题时首先观察已知条件：∠C=90°、DE⊥AB可得两个直角，又已知BD=BC，我们可以通过连接BE构造两个共斜边的直角三角形，利用HL判定两个直角三角形全等，得到CE与DE的等量关系，再结合AC的长度，用AC减去CE即可求出AE的长。
【解析】
连接BE，
∵ DE⊥AB，∠C=90°，
∴ ∠EDB=∠C=90°，即△BCE和△BDE均为直角三角形。
在Rt△BCE和Rt△BDE中：
$\{\begin{array}{l} BC=BD\\ BE=BE\end{array} $
∴ Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴ CE=DE=2，
又
∵ AC=5，
∴ AE=AC-CE=5-2=3。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形全等判定（HL）；全等三角形的性质
【点评】
本题核心是利用辅助线构造全等直角三角形，重点考查HL判定定理的应用，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.7

9. 如图，$CA⊥ AB$，垂足为$A$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，射线$BM⊥ AB$，垂足为$B$，一动点$E$从点$A$出发，以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$AN$运动，$D$为射线$BM$上一动点，其随着点$E$的运动而运动，且始终保持$ED=CB$。当点$E$离开点$A$后，运动$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{s}$时，$△ DEB$与$△ BCA$全等。

9.2或6或8

【分析】
本题是动点结合直角三角形全等的问题，解题核心是利用直角三角形全等的HL判定方法分析：已知两个直角三角形斜边ED=CB，因此只需满足一组直角边对应相等即可判定全等。解题时需先根据动点E的位置（在线段AB上、在线段AB外的射线BN上）分别表示出EB的长度，再分两种直角边对应相等的情况列方程求解，同时注意排除点E未离开A点的不符合题意的解。
【解析】
解：由题意得$CA⊥ AB$，$BM⊥ AB$，$\therefore ∠ A=∠ EBD=90°$，$△ DEB$和$△ BCA$均为直角三角形。
设点$E$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$AE=2t\ \mathrm{cm}$。
分两类情况讨论：
1. 当点$E$在线段$AB$上时，$EB=AB-AE=(8-2t)\ \mathrm{cm}$：
要使$\mathrm{Rt}△ DEB≌ \mathrm{Rt}△ BCA$，已有斜边$ED=CB$，只需直角边对应相等：
① 若$EB=AC$，则$8-2t=4$，解得$t=2$，符合题意；
② 若$EB=AB$，则$8-2t=8$，解得$t=0$，此时点$E$未离开$A$点，不符合要求，舍去。
2. 当点$E$在射线$BN$上（点$B$右侧）时，$EB=AE-AB=(2t-8)\ \mathrm{cm}$：
同样结合HL判定，分两种情况：
① 若$EB=AC$，则$2t-8=4$，解得$t=6$，符合题意；
② 若$EB=AB$，则$2t-8=8$，解得$t=8$，符合题意。
综上，运动时间为$2$或$6$或$8\ \mathrm{s}$。
【答案】
2或6或8
【知识点】
直角三角形全等判定；动点问题；分类讨论
【点评】
解题时要注意动点位置的多样性，以及全等三角形对应边的两种可能，避免漏解，同时要结合题干限制条件排除不符合的解。
【难度系数】
0.6

10. 如图，$AB=CD$，$BF⊥ AC$，$DE⊥ AC$，$AE=CF$. 求证：$EO=FO$.

10. 证明:$\because AE=CF,$
$\therefore AE+EF=CF+EF$,即 $AF=CE.$
在$\mathrm{Rt}△ ABF$ 和$\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD,\\ AF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}),\therefore DE=BF.$
在$△ DEO$ 和$△ BFO$ 中,$\begin{cases} ∠ EOD=∠ FOB,\\ ∠ DEO=∠ BFO=90°,\\ DE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ DEO≌△ BFO(\mathrm{AAS}),\therefore EO=FO.$

【分析】
要证明$EO=FO$，可通过证明两条线段所在的$△ DEO$和$△ BFO$全等实现。观察两个三角形，由$DE⊥ AC$、$BF⊥ AC$可得$∠ DEO=∠ BFO=90°$，又有对顶角$∠ EOD=∠ FOB$，还缺少一组对应边相等的条件，因此需要先证明$DE=BF$。要证$DE=BF$，可证明两条边所在的$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$全等，已知$AB=CD$，再由$AE=CF$，两边同时加公共线段$EF$即可得到$AF=CE$，满足直角三角形全等的HL判定条件，证得两个直角三角形全等后可得到$DE=BF$，进而可证$△ DEO≌△ BFO$，最终得到$EO=FO$。
【解析】
证明:
$\because AE=CF,$
$\therefore AE+EF=CF+EF$,即 $AF=CE.$
在$\mathrm{Rt}△ ABF$ 和$\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD,\\ AF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}),\therefore DE=BF.$
在$△ DEO$ 和$△ BFO$ 中,$\begin{cases} ∠ EOD=∠ FOB,\\ ∠ DEO=∠ BFO=90°,\\ DE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ DEO≌△ BFO(\mathrm{AAS}),\therefore EO=FO.$
【答案】
证明过程如上，最终得证$EO=FO$。
【知识点】
1. 直角三角形全等的HL判定
2. 三角形全等的AAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是典型的两次全等证明类几何题，解题核心是从待证结论出发倒推所需条件，结合已知信息逐步推导得到全等判定的要素，综合考察了全等三角形判定与性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$DE$是过点$A$的直线,$BD⊥ DE$于点$D$,$CE⊥ DE$于点$E$.
(1)若点$B$,$C$在$DE$的同侧(如图①所示)且$AD=CE$.求证:$AB⊥ AC$.
(2)若点$B$,$C$在$DE$的两侧(如图②所示),且$AD=CE$,其他条件不变,$AB$与$AC$仍垂直吗?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.

11.(1)证明:$\because BD⊥ DE,CE⊥ DE,$
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 和$\mathrm{Rt}△ CAE$ 中,$\begin{cases} AB=CA,\\ AD=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CAE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ DAB=∠ ECA.$
$\because ∠ EAC+∠ ACE=90°,$
$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=90°,$
$\therefore ∠ BAC=180°-(∠ BAD+∠ CAE)=90°,$
$\therefore AB⊥ AC.$
(2)解:$AB⊥ AC$.证明如下:
同(1)可证得 $\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CAE,$
$\therefore ∠ DAB=∠ ECA.$
$\because ∠ CAE+∠ ECA=90°,$
$\therefore ∠ CAE+∠ BAD=90°$,即$∠ BAC=90°,\therefore AB⊥ AC.$

【分析】
(1)要证明$AB⊥AC$，本质是证明$∠ BAC=90°$。首先由$BD⊥ DE$、$CE⊥ DE$可得$△ ABD$和$△ CAE$都是直角三角形，结合已知的$AB=AC$、$AD=CE$，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的特点，将角进行等量代换，推导出$∠ BAD+∠ CAE=90°$，最后根据平角为$180°$即可求出$∠ BAC=90°$，得证垂直。
(2)第二问中点$B$、$C$在$DE$两侧，证明思路和第一问一致，仍先证$\mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△CAE$，再通过角的等量代换推导$∠ BAC=90°$，即可判断$AB$与$AC$仍垂直。
【解析】
(1)证明:$\because BD⊥ DE,CE⊥ DE,$
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 和$\mathrm{Rt}△ CAE$ 中,$\begin{cases} AB=CA,\\ AD=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CAE(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ DAB=∠ ECA.$
$\because ∠ EAC+∠ ACE=90°,$
$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=90°,$
$\therefore ∠ BAC=180°-(∠ BAD+∠ CAE)=90°,$
$\therefore AB⊥ AC.$
(2)解:$AB⊥ AC$.证明如下:
同(1)可证得 $\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CAE,$
$\therefore ∠ DAB=∠ ECA.$
$\because ∠ CAE+∠ ECA=90°,$
$\therefore ∠ CAE+∠ BAD=90°$,即$∠ BAC=90°,\therefore AB⊥ AC.$
【答案】
(1)$AB⊥AC$，证明成立；
(2)$AB$仍与$AC$垂直，证明成立。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查直角三角形全等的判定及性质的应用，解题关键是通过全等实现角的等量代换，进而推导角度关系判断垂直。两种图形位置的证明思路一致，考查了图形变化下的逻辑推理能力，解题时注意角之间的转化即可。
【难度系数】
0.7