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4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$P$是$BC$边上的一个动点.
(1)如图①，若点$P$与点$D$重合，连接$AP$，则$AP$与$BC$的位置关系是________；
(2)如图②，若点$P$在线段$BD$上，过点$B$作$BE⊥ AP$，交$AP$的延长线于点$E$，过点$C$作$CF⊥ AP$于点$F$，则$CF$，$BE$和$EF$这三条线段之间的数量关系是________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若$BE$的延长线交$AD$的延长线于点$M$，找出图中与$CP$相等的线段，并加以证明；
(4)如图④，$BC=4$，$AD=2$，若点$P$从点$B$出发沿着$BC$向点$C$运动，过点$B$作$BE⊥$直线$AP$于点$E$，过点$C$作$CF⊥$直线$AP$于点$F$，设线段$BE$的长度为$d_1$，线段$CF$的长度为$d_2$，试求出在点$P$的运动过程中，$d_1+d_2$的最大值.
(1)如图①，若点$P$与点$D$重合，连接$AP$，则$AP$与$BC$的位置关系是________；
(2)如图②，若点$P$在线段$BD$上，过点$B$作$BE⊥ AP$，交$AP$的延长线于点$E$，过点$C$作$CF⊥ AP$于点$F$，则$CF$，$BE$和$EF$这三条线段之间的数量关系是________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若$BE$的延长线交$AD$的延长线于点$M$，找出图中与$CP$相等的线段，并加以证明；
(4)如图④，$BC=4$，$AD=2$，若点$P$从点$B$出发沿着$BC$向点$C$运动，过点$B$作$BE⊥$直线$AP$于点$E$，过点$C$作$CF⊥$直线$AP$于点$F$，设线段$BE$的长度为$d_1$，线段$CF$的长度为$d_2$，试求出在点$P$的运动过程中，$d_1+d_2$的最大值.
答案
4.(1)AP⊥BC
(2)CF=BE+EF
(3)解:CP=AM.
证明:
∵BE⊥AP,CF⊥AP,
∴∠BEA=∠AFC,
∴∠BAE+∠CAP=90°,∠ACF+∠CAP=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
∵AB=CA,
∴△BAE≌△ACF,
∴AE=CF.
又易知∠BAD=∠ACD=45°,
∴∠EAM=∠FCP.
在△CFP和△AEM中,$\begin{cases} ∠FCP=∠EAM,\\ CF=AE,\\ ∠CFP=∠AEM, \end{cases}$
∴△CFP≌△AEM,
∴CP=AM.
(4)解:$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=4$,
由图形可知,$S_{△ ABC}=S_{△ APB}+S_{△ APC}=\frac{1}{2}×AP×BE+\frac{1}{2}×AP×CF=\frac{1}{2}×AP×(d_1+d_2)$,
∴$d_1+d_2=\frac{2×4}{AP}$,
当AP⊥BC时,AP最小,则$d_1+d_2$最大,此时AP=2,
∴$d_1+d_2$的最大值为$\frac{2×4}{2}=4$.
(2)CF=BE+EF
(3)解:CP=AM.
证明:
∵BE⊥AP,CF⊥AP,
∴∠BEA=∠AFC,
∴∠BAE+∠CAP=90°,∠ACF+∠CAP=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
∵AB=CA,
∴△BAE≌△ACF,
∴AE=CF.
又易知∠BAD=∠ACD=45°,
∴∠EAM=∠FCP.
在△CFP和△AEM中,$\begin{cases} ∠FCP=∠EAM,\\ CF=AE,\\ ∠CFP=∠AEM, \end{cases}$
∴△CFP≌△AEM,
∴CP=AM.
(4)解:$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=4$,
由图形可知,$S_{△ ABC}=S_{△ APB}+S_{△ APC}=\frac{1}{2}×AP×BE+\frac{1}{2}×AP×CF=\frac{1}{2}×AP×(d_1+d_2)$,
∴$d_1+d_2=\frac{2×4}{AP}$,
当AP⊥BC时,AP最小,则$d_1+d_2$最大,此时AP=2,
∴$d_1+d_2$的最大值为$\frac{2×4}{2}=4$.
解析
【分析】
(1) 已知△ABC是等腰直角三角形，D为BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可直接判断AP与BC的位置关系；
(2) 先由同角的余角相等推出∠ABE=∠CAF，结合AB=AC、两组直角相等，证明△ABE≌△CAF，得到BE=AF、CF=AE，再通过线段和的关系等量代换即可得到三条线段的数量关系；
(3) 先借助(2)的全等结论得到AE=CF，再结合等腰直角三角形的底角为45°，推出∠EAM=∠FCP，结合直角相等证明△AEM≌△CFP，即可得到与CP相等的线段；
(4) 先计算△ABC的面积，再将△ABC的面积拆分为△APB和△APC的面积和，用AP、d₁、d₂表示面积，进而推出d₁+d₂与AP成反比，根据垂线段最短找到AP的最小值，代入即可得到d₁+d₂的最大值。
【解析】
(1)
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，
∵P与D重合，
∴AP⊥BC。
(2)
∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠E=∠AFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，又
∵∠BAE+∠CAF=∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠CAF。
在△ABE和△CAF中：
$\begin{cases} ∠E=∠AFC \\ ∠ABE=∠CAF \\ AB=AC \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴BE=AF，CF=AE。
∵AE=AF+EF，
∴CF=BE+EF。
(3) 与CP相等的线段是AM，证明如下：
由(2)的全等结论可得AE=CF。
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠ACD=45°。
∵∠EAM=∠BAD-∠BAE，∠FCP=∠ACD-∠ACF，且由(2)知∠BAE=∠ACF，
∴∠EAM=∠FCP。
在△AEM和△CFP中：
$\begin{cases} ∠EAM=∠FCP \\ AE=CF \\ ∠AEM=∠CFP=90° \end{cases}$
∴△AEM≌△CFP(ASA)，
∴CP=AM。
(4) 首先计算△ABC的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×4×2=4$
∵$S_{△ABC}=S_{△APB}+S_{△APC}$，且$S_{△APB}=\frac{1}{2}·AP·BE=\frac{1}{2}AP·d_1$，$S_{△APC}=\frac{1}{2}·AP·CF=\frac{1}{2}AP·d_2$
∴$4=\frac{1}{2}·AP·(d_1+d_2)$，整理得$d_1+d_2=\frac{8}{AP}$
要使$d_1+d_2$最大，需AP取最小值，根据垂线段最短，当AP⊥BC时AP最小，此时AP=AD=2
∴$d_1+d_2$的最大值为$\frac{8}{2}=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AP⊥ BC}$
(2) $\boldsymbol{CF=BE+EF}$
(3) 与CP相等的线段是$\boldsymbol{AM}$，证明见解析
(4) $d_1+d_2$的最大值为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定与性质，面积法求最值
【点评】
本题由易到难层层递进，以等腰直角三角形为背景，综合考查了全等三角形证明、线段关系推导及最值求解，解题时要注意利用同角的余角相等找等角，掌握面积转化的思路，可有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知△ABC是等腰直角三角形，D为BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可直接判断AP与BC的位置关系；
(2) 先由同角的余角相等推出∠ABE=∠CAF，结合AB=AC、两组直角相等，证明△ABE≌△CAF，得到BE=AF、CF=AE，再通过线段和的关系等量代换即可得到三条线段的数量关系；
(3) 先借助(2)的全等结论得到AE=CF，再结合等腰直角三角形的底角为45°，推出∠EAM=∠FCP，结合直角相等证明△AEM≌△CFP，即可得到与CP相等的线段；
(4) 先计算△ABC的面积，再将△ABC的面积拆分为△APB和△APC的面积和，用AP、d₁、d₂表示面积，进而推出d₁+d₂与AP成反比，根据垂线段最短找到AP的最小值，代入即可得到d₁+d₂的最大值。
【解析】
(1)
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，
∵P与D重合，
∴AP⊥BC。
(2)
∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠E=∠AFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，又
∵∠BAE+∠CAF=∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠CAF。
在△ABE和△CAF中：
$\begin{cases} ∠E=∠AFC \\ ∠ABE=∠CAF \\ AB=AC \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴BE=AF，CF=AE。
∵AE=AF+EF，
∴CF=BE+EF。
(3) 与CP相等的线段是AM，证明如下：
由(2)的全等结论可得AE=CF。
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠ACD=45°。
∵∠EAM=∠BAD-∠BAE，∠FCP=∠ACD-∠ACF，且由(2)知∠BAE=∠ACF，
∴∠EAM=∠FCP。
在△AEM和△CFP中：
$\begin{cases} ∠EAM=∠FCP \\ AE=CF \\ ∠AEM=∠CFP=90° \end{cases}$
∴△AEM≌△CFP(ASA)，
∴CP=AM。
(4) 首先计算△ABC的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×4×2=4$
∵$S_{△ABC}=S_{△APB}+S_{△APC}$，且$S_{△APB}=\frac{1}{2}·AP·BE=\frac{1}{2}AP·d_1$，$S_{△APC}=\frac{1}{2}·AP·CF=\frac{1}{2}AP·d_2$
∴$4=\frac{1}{2}·AP·(d_1+d_2)$，整理得$d_1+d_2=\frac{8}{AP}$
要使$d_1+d_2$最大，需AP取最小值，根据垂线段最短，当AP⊥BC时AP最小，此时AP=AD=2
∴$d_1+d_2$的最大值为$\frac{8}{2}=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AP⊥ BC}$
(2) $\boldsymbol{CF=BE+EF}$
(3) 与CP相等的线段是$\boldsymbol{AM}$，证明见解析
(4) $d_1+d_2$的最大值为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定与性质，面积法求最值
【点评】
本题由易到难层层递进，以等腰直角三角形为背景，综合考查了全等三角形证明、线段关系推导及最值求解，解题时要注意利用同角的余角相等找等角，掌握面积转化的思路，可有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC,AD=AE,∠ BAC=∠ DAE=90°$,连接$BD,CE$.
(1)当点$D$在$AC$上时,如图①,线段$BD,CE$有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由;
(2)将图①中的$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转$α(0°＜α＜90°)$,如图②,线段$BD,CE$有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.
(1)当点$D$在$AC$上时,如图①,线段$BD,CE$有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由;
(2)将图①中的$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转$α(0°＜α＜90°)$,如图②,线段$BD,CE$有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.
答案
5.解:(1)BD=CE,BD⊥CE.
理由:如答图①,延长BD交CE于点F.
在△EAC和△DAB中,$\begin{cases} AE=AD,\\ ∠EAC=∠DAB,\\ AC=AB, \end{cases}$
∴△EAC≌△DAB(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=90°,
∴∠ABD+∠AEC=90°,
∴∠BFE=180°-(∠ABD+∠AEC)=180°-90°=90°,
即BD⊥CE.
(2)BD=CE,BD⊥CE.
理由:如答图②,延长BD交CE于点F.
∵∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠EAC=90°,
∴∠BAD=∠EAC.
在△DAB和△EAC中,$\begin{cases} AD=AE,\\ ∠BAD=∠EAC,\\ AB=AC, \end{cases}$
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°,
∴∠BFC=180°-(∠CBF+∠BCF)=180°-90°=90°,
即BD⊥CE.
解析
【分析】
本题属于共顶点等腰直角三角形的手拉手全等模型题，解题思路如下：
(1) 先猜测BD与CE数量相等、互相垂直：首先找到包含BD、CE的△DAB和△EAC，已知两组对应边相等，且夹角均为90°，可通过SAS判定两三角形全等，得到边相等的结论；再利用全等的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导两条线段的夹角为90°，证明垂直。
(2) 旋转后图形位置改变，但△ABC和△ADE仍为共顶点的等腰直角三角形：先利用同角的余角相等证明两个三角形的夹角相等，仍然通过SAS证明全等得到边相等；再通过角的等量代换，结合三角形内角和证明两条线段夹角为90°，得到垂直关系。
【解析】
(1) BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
如答图①，延长BD交CE于点F。
在△EAC和△DAB中，
$\begin{cases} AE=AD,\\ ∠EAC=∠DAB=90°,\\ AC=AB, \end{cases}$
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
∵在Rt△EAC中，∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠AEC=90°，
在△BEF中，∠BFE=180°-(∠ABD+∠AEC)=180°-90°=90°，
即BD⊥CE。
(2) BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
如答图②，延长BD交CE于点F。
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°，
∴∠BAD=∠EAC（同角的余角相等）。
在△DAB和△EAC中，
$\begin{cases} AD=AE,\\ ∠BAD=∠EAC,\\ AB=AC, \end{cases}$
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
∵在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=∠ABC+∠ACB=90°，
在△BFC中，∠BFC=180°-(∠CBF+∠BCF)=180°-90°=90°，
即BD⊥CE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=CE}$，$\boldsymbol{BD⊥ CE}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{BD=CE}$，$\boldsymbol{BD⊥ CE}$，理由见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是典型的“手拉手”全等模型应用题，核心是抓住共顶点的等线段、等角条件证明三角形全等，再利用全等的性质推导边和角的关系。解题时要注意图形旋转后线段和角的等量关系不变，学会通过角的等量代换推导垂直关系。
【难度系数】
0.6
本题属于共顶点等腰直角三角形的手拉手全等模型题，解题思路如下：
(1) 先猜测BD与CE数量相等、互相垂直：首先找到包含BD、CE的△DAB和△EAC，已知两组对应边相等，且夹角均为90°，可通过SAS判定两三角形全等，得到边相等的结论；再利用全等的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导两条线段的夹角为90°，证明垂直。
(2) 旋转后图形位置改变，但△ABC和△ADE仍为共顶点的等腰直角三角形：先利用同角的余角相等证明两个三角形的夹角相等，仍然通过SAS证明全等得到边相等；再通过角的等量代换，结合三角形内角和证明两条线段夹角为90°，得到垂直关系。
【解析】
(1) BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
如答图①，延长BD交CE于点F。
在△EAC和△DAB中，
$\begin{cases} AE=AD,\\ ∠EAC=∠DAB=90°,\\ AC=AB, \end{cases}$
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
∵在Rt△EAC中，∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠AEC=90°，
在△BEF中，∠BFE=180°-(∠ABD+∠AEC)=180°-90°=90°，
即BD⊥CE。
(2) BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
如答图②，延长BD交CE于点F。
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°，
∴∠BAD=∠EAC（同角的余角相等）。
在△DAB和△EAC中，
$\begin{cases} AD=AE,\\ ∠BAD=∠EAC,\\ AB=AC, \end{cases}$
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
∵在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=∠ABC+∠ACB=90°，
在△BFC中，∠BFC=180°-(∠CBF+∠BCF)=180°-90°=90°，
即BD⊥CE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=CE}$，$\boldsymbol{BD⊥ CE}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{BD=CE}$，$\boldsymbol{BD⊥ CE}$，理由见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是典型的“手拉手”全等模型应用题，核心是抓住共顶点的等线段、等角条件证明三角形全等，再利用全等的性质推导边和角的关系。解题时要注意图形旋转后线段和角的等量关系不变，学会通过角的等量代换推导垂直关系。
【难度系数】
0.6
