13. 在探究证明“三角形的内角和是$180°$”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是$180°$”的是 （）


A.如图1，过点$C$作$EF// AB$
B.如图2，过点$B$作$BG// AC$
C.如图3，过点$C$作$CD$平分$∠ ACB$，交$AB$于点$D$
D.如图4，过$AB$边上的点$P$作$PM// CB$，$PN// AC$

13.C

【分析】
证明三角形内角和为180°的核心思路是借助平行线的性质，把三角形的三个内角转化为一个平角，或转化为一组互补的同旁内角，利用平角为180°、同旁内角互补的性质推导结论。我们只需逐一分析每个选项的辅助线能否实现上述角的转化，即可判断是否能证明三角形内角和是180°。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 如图1，过C作$EF// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ A=∠ ECA$，$∠ B=∠ FCB$。因为$∠ ECA+∠ ACB+∠ FCB$是平角，和为$180°$，因此$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可以证明，不符合题意。
B. 如图2，过B作$BG// AC$，根据“两直线平行，内错角相等”得$∠ C=∠ CBG$，根据“两直线平行，同旁内角互补”得$∠ A+∠ ABG=180°$。而$∠ ABG=∠ ABC+∠ CBG$，代入得$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，可以证明，不符合题意。
C. 如图3，CD平分$∠ ACB$，仅能得到$∠ ACD=∠ BCD$，没有平行线构造角的转化，无法将三个内角凑成和为$180°$的角，不能证明三角形内角和是$180°$，符合题意。
D. 如图4，过P作$PM// CB$、$PN// AC$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ MPA=∠ B$，$∠ NPB=∠ A$；再由$PN// AC$得$∠ MPN=∠ PMA$，由$PM// CB$得$∠ PMA=∠ C$，因此$∠ MPN=∠ C$。因为$∠ MPA+∠ MPN+∠ NPB$是平角，和为$180°$，因此$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，可以证明，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内角和定理的证明设计，关键是理解“利用平行线进行角的转移，将三个内角凑成和为$180°$的角”的核心思路，能帮助学生加深对定理推导过程的理解。
【难度系数】
0.8

14. 如图，$∠ D=∠ E=∠ ACB=90°$，下列条件中，能保证$\mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ CEB$成立的条件有 （）
①$∠ ABC=45°$；②$AD=CE$；③$AC=2AD$；④$CD=BE$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

14.C

【分析】要判断两个直角三角形是否全等，首先先推导两个三角形的角的等量关系：已知$∠ D=∠ E=∠ ACB=90°$，可得$∠ DAC+∠ ACD=90°$，$∠ BCE+∠ ACD=90°$，因此$∠ DAC=∠ BCE$，同理可推$∠ ACD=∠ CBE$，即两个三角形已满足两组角对应相等，只需再添加一组对应边相等即可判定全等，接下来逐个验证4个条件即可。
【解析】
先推导角的等量关系：
$\because ∠ D=∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD = 90°$，$∠ BCE + ∠ ACD = 180° - ∠ ACB = 90°$
$\therefore ∠ DAC = ∠ BCE$，同理可得$∠ ACD = ∠ CBE$
逐个判断条件：
①当$∠ ABC=45°$时，$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore △ ACB$为等腰直角三角形，$AC=BC$
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ E\\∠ DAC=∠ ECB\\AC=CB\end{array} $
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB$（AAS），故①符合要求；
②当$AD=CE$时，在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ E\\AD=CE\\∠ DAC=∠ ECB\end{array} $
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB$（ASA），故②符合要求；
③当$AC=2AD$时，仅能推出$\mathrm{Rt}△ ADC$中$∠ ACD=30°$，无对应边相等的条件，无法证明两三角形全等，故③不符合要求；
④当$CD=BE$时，在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ E\\∠ ACD=∠ CBE\\CD=BE\end{array} $
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB$（AAS），故④符合要求。
综上，①②④共3个条件可保证全等。
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题关键是先推导出两个三角形已有的相等角，再结合全等判定定理逐一验证条件，注意要准确识别对应角、对应边的关系。
【难度系数】0.7

15. [模型观念]如图所示的是某种落地灯的简易示意图,已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等,且$∠ BCE=120°$.若CD的长度为50 cm,则此时B,D两点之间的距离为（）

A.25 cm
B.50 cm
C.55 cm
D.100 cm

15.B

【分析】
要求B、D两点之间的距离，我们可以先连接BD构造三角形。首先根据已知条件可得BC=CD=50cm，再结合邻补角的和为180°算出△BCD中∠BCD的度数，最后根据等边三角形的判定定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：连接BD。
∵ CD=BC，CD的长度为50 cm，
∴ BC=CD=50 cm。
∵ ∠BCE=120°，∠BCE和∠BCD互为邻补角，
∴ ∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°。
∴ 等腰△BCD中，有一个内角为60°，则△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BD=BC=50 cm，即B、D两点之间的距离为50 cm。
【答案】
B
【知识点】
邻补角的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的落地灯模型出题，解题的关键是通过连接辅助线构造等边三角形，将所求线段转化为等边三角形的边进行求解，对几何建模能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.8

16. [传统文化]风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下(如图1).某六角形风铃的底部可抽象为如图2的正六边形ABCDEF，连接AC，CF，则∠ACF的度数为$\underline{\hspace{2em}}°$.

16.30

【分析】
要计算正六边形中$∠ ACF$的度数，首先利用多边形内角和公式求出正六边形每个内角的度数，再结合等腰三角形的性质求出$∠ BAC$的度数，进而得到$△ CAF$为直角三角形，最后根据正六边形边长与对角线$CF$的长度关系，利用直角三角形的性质求出$∠ ACF$的度数。
【解析】
1. 计算正六边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，因此每个内角的度数为$720°÷6=120°$，可得$∠ B=∠ BAF=120°$，且正六边形各边相等，即$AB=BC=AF$。
2. 求$∠ BAC$的度数：
在等腰$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ B=120°$，因此底角$∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. 判定$△ CAF$的形状：
$∠ CAF=∠ BAF-∠ BAC=120°-30°=90°$，因此$△ CAF$是直角三角形。
4. 求$∠ ACF$的度数：
正六边形的外接圆半径等于边长，对角线$CF$是外接圆的直径，因此$CF=2AF$。根据直角三角形的性质：若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为$30°$，可得$∠ ACF=30°$。
【答案】
30
【知识点】
正六边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题结合传统文化场景考查正多边形的角度计算，需要熟练掌握正六边形的内角、边长与对角线的关系，综合运用等腰三角形和直角三角形的性质求解，体现了几何知识在实际场景中的应用。
【难度系数】
0.7