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17.如图,某景区内有一个露营区 C,湖边 AB 上原有两个观景台 A 和 B,且 AB=BC,为了方便游客观赏,现计划在湖边新建一个观景台 P(A,P,B 在同一条直线上),并铺设了步道 CP,同时测得 AC=260 m,AP=100 m,CP=240 m,请解决以下问题:
(1)试判断步道 CP 是不是露营区 C 到湖边 AB 的最短路径,并说明理由；
(2)求观景台 P 与观景台 B 之间距离 PB 的长.
第 17 题图
(1)试判断步道 CP 是不是露营区 C 到湖边 AB 的最短路径,并说明理由；
(2)求观景台 P 与观景台 B 之间距离 PB 的长.
第 17 题图
答案
17.解:(1)步道$CP$是露营区$C$到湖边$AB$的最短路径，
理由如下：
$\because AP^2+CP^2=100^2+240^2=67\ 600,AC^2=260^2=67\ 600$,
$\therefore AC^2=AP^2+CP^2,\therefore ∠APC=90°$,即$CP⊥AB$,
$\therefore$步道$CP$是露营区$C$到湖边$AB$的最短路径.
(2)设观景台$P$与观景台$B$之间距离$PB$的长为$x\ \mathrm{m}$，
$\because AB=BC,\therefore BC=(x+100)\mathrm{m}$.
$\because ∠APC=90°,\therefore ∠BPC=90°$,
在$\mathrm{Rt}△BCP$中,由勾股定理得$BC^2=PB^2+CP^2$,即$(x+100)^2=x^2+240^2$,解得$x=238$,
$\therefore$观景台$P$与观景台$B$之间距离$PB$的长为$238\ \mathrm{m}$.
理由如下：
$\because AP^2+CP^2=100^2+240^2=67\ 600,AC^2=260^2=67\ 600$,
$\therefore AC^2=AP^2+CP^2,\therefore ∠APC=90°$,即$CP⊥AB$,
$\therefore$步道$CP$是露营区$C$到湖边$AB$的最短路径.
(2)设观景台$P$与观景台$B$之间距离$PB$的长为$x\ \mathrm{m}$，
$\because AB=BC,\therefore BC=(x+100)\mathrm{m}$.
$\because ∠APC=90°,\therefore ∠BPC=90°$,
在$\mathrm{Rt}△BCP$中,由勾股定理得$BC^2=PB^2+CP^2$,即$(x+100)^2=x^2+240^2$,解得$x=238$,
$\therefore$观景台$P$与观景台$B$之间距离$PB$的长为$238\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1)要判断CP是不是C到AB的最短路径，根据“垂线段最短”的性质，只需验证CP是否垂直AB即可。已知△ACP三边的长度，可通过勾股定理的逆定理判断△ACP是否为直角三角形，若满足两边平方和等于第三边平方，即可得出∠APC=90°，即CP⊥AB，就能判断CP是最短路径。
(2)求PB的长度，可设PB长为x m，由AB=BC可得BC的长度为(x+100)m，结合第一问得到的∠BPC=90°，在Rt△BCP中利用勾股定理列方程，解方程即可求出PB的长度。
【解析】
(1)步道$CP$是露营区$C$到湖边$AB$的最短路径，理由如下：
$\because AP^2+CP^2=100^2+240^2=10000+57600=67600$，$AC^2=260^2=67600$，
$\therefore AP^2+CP^2=AC^2$，
$\therefore △ APC$是直角三角形，且$∠ APC=90°$，即$CP⊥ AB$，
根据垂线段最短可知，步道$CP$是露营区$C$到湖边$AB$的最短路径。
(2)设观景台$P$与观景台$B$之间距离$PB$的长为$x\ \mathrm{m}$，
$\because A,P,B$在同一直线上，$\therefore AB=AP+PB=(100+x)\mathrm{m}$，
又$\because AB=BC$，$\therefore BC=(x+100)\mathrm{m}$，
由(1)知$∠ APC=90°$，$\therefore ∠ BPC=90°$，即$△ BCP$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ BCP$中，由勾股定理得：$BC^2=PB^2+CP^2$，
代入数据得：$(x+100)^2=x^2+240^2$，
展开得：$x^2+200x+10000=x^2+57600$，
化简得：$200x=47600$，
解得：$x=238$。
【答案】
(1)步道$CP$是露营区$C$到湖边$AB$的最短路径；
(2)观景台$P$与观景台$B$之间的距离$PB$的长为$238\ \mathrm{m}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理，先通过三边的数量关系判断直角三角形，再利用勾股定理建立方程求解未知线段长度，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要判断CP是不是C到AB的最短路径，根据“垂线段最短”的性质，只需验证CP是否垂直AB即可。已知△ACP三边的长度，可通过勾股定理的逆定理判断△ACP是否为直角三角形，若满足两边平方和等于第三边平方，即可得出∠APC=90°，即CP⊥AB，就能判断CP是最短路径。
(2)求PB的长度，可设PB长为x m，由AB=BC可得BC的长度为(x+100)m，结合第一问得到的∠BPC=90°，在Rt△BCP中利用勾股定理列方程，解方程即可求出PB的长度。
【解析】
(1)步道$CP$是露营区$C$到湖边$AB$的最短路径，理由如下：
$\because AP^2+CP^2=100^2+240^2=10000+57600=67600$，$AC^2=260^2=67600$，
$\therefore AP^2+CP^2=AC^2$，
$\therefore △ APC$是直角三角形，且$∠ APC=90°$，即$CP⊥ AB$，
根据垂线段最短可知，步道$CP$是露营区$C$到湖边$AB$的最短路径。
(2)设观景台$P$与观景台$B$之间距离$PB$的长为$x\ \mathrm{m}$，
$\because A,P,B$在同一直线上，$\therefore AB=AP+PB=(100+x)\mathrm{m}$，
又$\because AB=BC$，$\therefore BC=(x+100)\mathrm{m}$，
由(1)知$∠ APC=90°$，$\therefore ∠ BPC=90°$，即$△ BCP$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ BCP$中，由勾股定理得：$BC^2=PB^2+CP^2$，
代入数据得：$(x+100)^2=x^2+240^2$，
展开得：$x^2+200x+10000=x^2+57600$，
化简得：$200x=47600$，
解得：$x=238$。
【答案】
(1)步道$CP$是露营区$C$到湖边$AB$的最短路径；
(2)观景台$P$与观景台$B$之间的距离$PB$的长为$238\ \mathrm{m}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理，先通过三边的数量关系判断直角三角形，再利用勾股定理建立方程求解未知线段长度，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
18. 如图，某地有一个形状为四边形的景区ABCD，BC和DC是两条相交的道路，点C，B分别是公共卫生间和便利店的位置.景区管理员计划在四边形景区ABCD的内部修建一个游客休息中心Q，使点Q到BC的距离和点Q到DC的距离相等，且QC＝QB，请你帮景区管理员找出游客休息中心Q的位置.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
答案
18.解:如图,作出线段$BC$的垂直平分线和$∠BCD$的平分线,交点$Q$即为所求.
解析
【分析】
我们先拆解题目的两个要求：①点Q到BC、DC的距离相等，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点Q一定在∠BCD的角平分线上；②QC=QB，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点Q一定在线段BC的垂直平分线上。因此同时满足两个条件的点Q就是这两条线的交点，只需要分别作出这两条线，取在四边形内部的交点即可。
【解析】
要得到符合要求的点Q，作图思路如下：
1. 作∠BCD的角平分线，该线上所有点都满足到BC、DC的距离相等；
2. 作线段BC的垂直平分线，该线上所有点都满足到B、C两点的距离相等；
3. 两条线在四边形ABCD内部的交点就是所求的游客休息中心Q，保留作图痕迹即可。
【答案】
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是将题目给出的等量条件转化为对应的几何轨迹，通过找两个轨迹的交点确定所求点的位置，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质与作图方法。
【难度系数】
0.8
我们先拆解题目的两个要求：①点Q到BC、DC的距离相等，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点Q一定在∠BCD的角平分线上；②QC=QB，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点Q一定在线段BC的垂直平分线上。因此同时满足两个条件的点Q就是这两条线的交点，只需要分别作出这两条线，取在四边形内部的交点即可。
【解析】
要得到符合要求的点Q，作图思路如下：
1. 作∠BCD的角平分线，该线上所有点都满足到BC、DC的距离相等；
2. 作线段BC的垂直平分线，该线上所有点都满足到B、C两点的距离相等；
3. 两条线在四边形ABCD内部的交点就是所求的游客休息中心Q，保留作图痕迹即可。
【答案】
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是将题目给出的等量条件转化为对应的几何轨迹，通过找两个轨迹的交点确定所求点的位置，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质与作图方法。
【难度系数】
0.8
19.教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”.例如，著名的赵爽弦图(如图1)，可以推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为$a$，$b$，斜边长为$c$，那么$a^2 + b^2 = c^2$.
(1)请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AB = 13$，$AC = 15$，$BC = 14$，设$BD = x$，求$x$的值及$AD$的长.
(1)请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AB = 13$，$AC = 15$，$BC = 14$，设$BD = x$，求$x$的值及$AD$的长.
答案
19.解:(1)梯形$ABCD$的面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$,
也可以表示为$S_{△ADE}+S_{△DEC}+S_{△CEB}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$,
$\therefore \frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$,
即$a^2+b^2=c^2$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ADC$中,$AD^2=AC^2-DC^2=15^2-(14-x)^2=29+28x-x^2$,
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD^2=AB^2-BD^2=13^2-x^2=169-x^2$,
$\therefore 169-x^2=29+28x-x^2$,解得$x=5$,
$\therefore AD^2=13^2-x^2=13^2-5^2=144$,
$\therefore AD=12$.
也可以表示为$S_{△ADE}+S_{△DEC}+S_{△CEB}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$,
$\therefore \frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$,
即$a^2+b^2=c^2$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ADC$中,$AD^2=AC^2-DC^2=15^2-(14-x)^2=29+28x-x^2$,
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD^2=AB^2-BD^2=13^2-x^2=169-x^2$,
$\therefore 169-x^2=29+28x-x^2$,解得$x=5$,
$\therefore AD^2=13^2-x^2=13^2-5^2=144$,
$\therefore AD=12$.
解析
【分析】
(1) 推导勾股定理可利用面积法：图2是直角梯形，我们可以分别用梯形面积公式直接计算其面积，也可以将梯形拆分为3个直角三角形，计算三个三角形的面积和，两个结果都表示梯形的面积，因此建立等式，化简后即可得到勾股定理。
(2) AD是Rt△ABD和Rt△ADC的公共直角边，我们可以分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出$AD^2$，两个表达式相等即可建立关于x的一元一次方程，解方程求出x后，再代入表达式即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 根据梯形面积公式，梯形ABCD的面积为：
$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$
梯形ABCD的面积也等于三个直角三角形的面积之和：
$S_{△ADE}+S_{△DEC}+S_{△CEB}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$
因此可得等式：
$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$
化简后得：$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 由题意得$DC=BC-BD=14-x$，AD是BC边上的高，故△ABD和△ADC均为直角三角形。
在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-DC^2=15^2-(14-x)^2=29+28x-x^2$
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=13^2-x^2=169-x^2$
因此可列方程：
$169-x^2=29+28x-x^2$
解得$x=5$。
将$x=5$代入$AD^2=169-x^2$，得$AD^2=169-25=144$，故$AD=12$。
【答案】
(1) 推导出勾股定理$a^2+b^2=c^2$；
(2) $x=5$，$AD=12$。
【知识点】
勾股定理的证明，勾股定理的应用，方程思想
【点评】
本题结合勾股定理的推导与实际应用，既考查了面积法推导公式的逻辑，又考查了利用公共边构造方程求解几何量的方法，渗透了数形结合思想，能有效锻炼几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 推导勾股定理可利用面积法：图2是直角梯形，我们可以分别用梯形面积公式直接计算其面积，也可以将梯形拆分为3个直角三角形，计算三个三角形的面积和，两个结果都表示梯形的面积，因此建立等式，化简后即可得到勾股定理。
(2) AD是Rt△ABD和Rt△ADC的公共直角边，我们可以分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出$AD^2$，两个表达式相等即可建立关于x的一元一次方程，解方程求出x后，再代入表达式即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 根据梯形面积公式，梯形ABCD的面积为：
$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$
梯形ABCD的面积也等于三个直角三角形的面积之和：
$S_{△ADE}+S_{△DEC}+S_{△CEB}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$
因此可得等式：
$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$
化简后得：$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 由题意得$DC=BC-BD=14-x$，AD是BC边上的高，故△ABD和△ADC均为直角三角形。
在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-DC^2=15^2-(14-x)^2=29+28x-x^2$
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=13^2-x^2=169-x^2$
因此可列方程：
$169-x^2=29+28x-x^2$
解得$x=5$。
将$x=5$代入$AD^2=169-x^2$，得$AD^2=169-25=144$，故$AD=12$。
【答案】
(1) 推导出勾股定理$a^2+b^2=c^2$；
(2) $x=5$，$AD=12$。
【知识点】
勾股定理的证明，勾股定理的应用，方程思想
【点评】
本题结合勾股定理的推导与实际应用，既考查了面积法推导公式的逻辑，又考查了利用公共边构造方程求解几何量的方法，渗透了数形结合思想，能有效锻炼几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
