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20.我们知道,在一个三角形中,相等的边所对的角相等,那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢?
【观察猜想】(1)在△ABC中,若AB＞AC,猜想∠C与∠B的大小关系.
【操作证明】(2)如图1,某同学发现:在△ABC中,若AB＞AC,可将△ABC折叠,使边AC落在AB上,点C落在边AB上的点E处,折线交BC于点D,连接ED,发现∠AED=∠B+∠EDB……请用上述思路证明(1)中猜想的结论.
【操作发现】(3)同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角,大角对大边”,发现存在图1中的四边形AEDC,满足AE=AC,DE=DC.查阅资料发现,如图2所示的有两组邻边分别相等的四边形叫作筝形.如图3,在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,点E,F分别是边AB,BC上的动点.当四边形AEFC为筝形时,请直接写出∠BFE的度数.
【观察猜想】(1)在△ABC中,若AB＞AC,猜想∠C与∠B的大小关系.
【操作证明】(2)如图1,某同学发现:在△ABC中,若AB＞AC,可将△ABC折叠,使边AC落在AB上,点C落在边AB上的点E处,折线交BC于点D,连接ED,发现∠AED=∠B+∠EDB……请用上述思路证明(1)中猜想的结论.
【操作发现】(3)同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角,大角对大边”,发现存在图1中的四边形AEDC,满足AE=AC,DE=DC.查阅资料发现,如图2所示的有两组邻边分别相等的四边形叫作筝形.如图3,在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,点E,F分别是边AB,BC上的动点.当四边形AEFC为筝形时,请直接写出∠BFE的度数.
答案
20.解:(1)在三角形中大边对应大角,猜想:$∠C＞∠B$.
(2)由折叠可知$∠AED=∠C$.
$\because ∠AED=∠B+∠EDB$,
$\therefore ∠C=∠B+∠EDB$,
$\therefore ∠C＞∠B$.
(3)$\because ∠A=90°,∠B=30°$,
$\therefore ∠ACB=60°$.
分类讨论:①当$AE=FE,AC=FC$时,四边形$AEFC$为筝形,如图1,连接$CE$.
$\because AE=FE,AC=FC,CE=CE$,
$\therefore △ACE≌△FCE(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠EFC=∠A=90°$,
$\therefore ∠BFE=90°$.
②当$AE=AC,FE=FC$时,四边形$AEFC$为筝形,如图2,连接$AF$.
$\because AE=AC,FE=FC,AF=AF$,
$\therefore △AFE≌△AFC(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠AEF=∠C=60°$,
$\therefore ∠BFE=∠AEF-∠B=30°$.
综上,可知$∠BFE$的度数为$90°$或$30°$.
解析
【分析】
(1) 根据三角形边与角的对应规律，由已知AB＞AC，可直接猜想较长边AB所对的∠C大于较短边AC所对的∠B；
(2) 首先利用折叠的性质得到对应角相等，即∠AED=∠C，再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠AED=∠B+∠EDB，通过等量代换即可证明∠C＞∠B；
(3) 首先根据筝形“两组邻边分别相等”的定义分两种情况讨论：①AE=FE、AC=FC；②AE=AC、FE=FC。每种情况先通过SSS证明三角形全等，得到对应角相等，再结合三角形内角和或外角性质计算∠BFE的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{∠C＞∠B}$；
(2) 证明：由折叠的性质可得，折叠前后对应角相等，因此$∠ AED=∠ C$。
根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ AED=∠ B+∠ EDB$，
等量代换得$∠ C=∠ B+∠ EDB$，
因此$∠ C＞∠ B$，猜想得证。
(3) 解：在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=30°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ACB=180°-90°-30°=60°$。
根据筝形的定义分两种情况讨论：
① 当$AE=FE$，$AC=FC$时，四边形$AEFC$为筝形，如图1，连接$CE$。
在$△ ACE$和$△ FCE$中：
$\{\begin{array}{l}AE=FE\\AC=FC\\CE=CE\end{array} $
$\therefore △ ACE≌△ FCE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ EFC=∠ A=90°$，
$\therefore ∠ BFE=180°-∠ EFC=90°$；
② 当$AE=AC$，$FE=FC$时，四边形$AEFC$为筝形，如图2，连接$AF$。
在$△ AFE$和$△ AFC$中：
$\{\begin{array}{l}AE=AC\\FE=FC\\AF=AF\end{array} $
$\therefore △ AFE≌△ AFC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ACB=60°$，
根据三角形外角性质，$∠ AEF=∠ B+∠ BFE$，
$\therefore ∠ BFE=∠ AEF-∠ B=60°-30°=30°$。
综上，$∠ BFE$的度数为$90°$或$30°$。
【答案】
(1) $∠ C＞∠ B$；
(2) 证明见解析；
(3) $∠ BFE$的度数为$90°$或$30°$。
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角定理
【点评】
本题从猜想探究出发，结合折叠操作、新定义“筝形”考查三角形的基础性质，解题关键是准确理解新定义，分类讨论时不要漏解，可有效锻炼逻辑推理能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 根据三角形边与角的对应规律，由已知AB＞AC，可直接猜想较长边AB所对的∠C大于较短边AC所对的∠B；
(2) 首先利用折叠的性质得到对应角相等，即∠AED=∠C，再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠AED=∠B+∠EDB，通过等量代换即可证明∠C＞∠B；
(3) 首先根据筝形“两组邻边分别相等”的定义分两种情况讨论：①AE=FE、AC=FC；②AE=AC、FE=FC。每种情况先通过SSS证明三角形全等，得到对应角相等，再结合三角形内角和或外角性质计算∠BFE的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{∠C＞∠B}$；
(2) 证明：由折叠的性质可得，折叠前后对应角相等，因此$∠ AED=∠ C$。
根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ AED=∠ B+∠ EDB$，
等量代换得$∠ C=∠ B+∠ EDB$，
因此$∠ C＞∠ B$，猜想得证。
(3) 解：在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=30°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ACB=180°-90°-30°=60°$。
根据筝形的定义分两种情况讨论：
① 当$AE=FE$，$AC=FC$时，四边形$AEFC$为筝形，如图1，连接$CE$。
在$△ ACE$和$△ FCE$中：
$\{\begin{array}{l}AE=FE\\AC=FC\\CE=CE\end{array} $
$\therefore △ ACE≌△ FCE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ EFC=∠ A=90°$，
$\therefore ∠ BFE=180°-∠ EFC=90°$；
② 当$AE=AC$，$FE=FC$时，四边形$AEFC$为筝形，如图2，连接$AF$。
在$△ AFE$和$△ AFC$中：
$\{\begin{array}{l}AE=AC\\FE=FC\\AF=AF\end{array} $
$\therefore △ AFE≌△ AFC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ACB=60°$，
根据三角形外角性质，$∠ AEF=∠ B+∠ BFE$，
$\therefore ∠ BFE=∠ AEF-∠ B=60°-30°=30°$。
综上，$∠ BFE$的度数为$90°$或$30°$。
【答案】
(1) $∠ C＞∠ B$；
(2) 证明见解析；
(3) $∠ BFE$的度数为$90°$或$30°$。
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角定理
【点评】
本题从猜想探究出发，结合折叠操作、新定义“筝形”考查三角形的基础性质，解题关键是准确理解新定义，分类讨论时不要漏解，可有效锻炼逻辑推理能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
