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6. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,根据尺规作图的痕迹,判断以下结论不一定正确的是 （
A.$∠ BDE=∠ BAC$
B.$∠ BAD=∠ B$
C.$DE=DC$
D.$AE=AC$
B
）A.$∠ BDE=∠ BAC$
B.$∠ BAD=∠ B$
C.$DE=DC$
D.$AE=AC$
答案
6.B
解析
【分析】
首先识别尺规作图的痕迹：由作图可知AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB于点E。接下来我们结合角平分线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定逐一分析选项：先判断有明确依据的选项，排除一定正确的，剩下的就是不一定正确的结论。
【解析】
由尺规作图痕迹可得：AD平分∠BAC，DE⊥AB。
对选项A：
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，又
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠BDE=90°，根据同角的余角相等，得∠BDE=∠BAC，该结论一定正确，不符合题意。
对选项C：
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得DE=DC，该结论一定正确，不符合题意。
对选项D：在Rt△ACD和Rt△AED中，$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DC=DE\end{array} $，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC，该结论一定正确，不符合题意。
对选项B：只有当∠B=30°时，∠BAC=60°，AD平分∠BAC可得∠BAD=30°=∠B，题目未给出△ABC的具体角度关系，无法推出∠BAD=∠B，该结论不一定正确，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图和几何性质结合考查，解题的关键是先准确识别作图得到的结论，再结合相关性质逐一推导判断，属于几何基础类题型。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图的痕迹：由作图可知AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB于点E。接下来我们结合角平分线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定逐一分析选项：先判断有明确依据的选项，排除一定正确的，剩下的就是不一定正确的结论。
【解析】
由尺规作图痕迹可得：AD平分∠BAC，DE⊥AB。
对选项A：
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，又
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠BDE=90°，根据同角的余角相等，得∠BDE=∠BAC，该结论一定正确，不符合题意。
对选项C：
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得DE=DC，该结论一定正确，不符合题意。
对选项D：在Rt△ACD和Rt△AED中，$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DC=DE\end{array} $，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC，该结论一定正确，不符合题意。
对选项B：只有当∠B=30°时，∠BAC=60°，AD平分∠BAC可得∠BAD=30°=∠B，题目未给出△ABC的具体角度关系，无法推出∠BAD=∠B，该结论不一定正确，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图和几何性质结合考查，解题的关键是先准确识别作图得到的结论，再结合相关性质逐一推导判断，属于几何基础类题型。
【难度系数】
0.7
7.命题:"两直线平行,同旁内角互补"的逆命题为
同旁内角互补,两直线平行
.答案
7.同旁内角互补,两直线平行
解析
【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先要明确命题的组成结构：所有命题都由题设（条件）和结论两部分构成，逆命题的改写规则就是将原命题的题设和结论互换位置。我们先拆分原命题“两直线平行，同旁内角互补”的结构：它的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，将两者互换即可得到逆命题。
【解析】
1. 拆分原命题的题设和结论：原命题“两直线平行，同旁内角互补”中，题设为“两直线平行”，结论为“同旁内角互补”。
2. 互换题设和结论的位置，得到新命题：同旁内角互补，两直线平行。
【答案】
同旁内角互补，两直线平行
【知识点】
逆命题的定义；平行线的性质与判定
【点评】
本题考查逆命题的改写，解题核心是准确识别原命题的题设和结论，掌握命题的基本构成，属于基础类题型，需熟练掌握命题改写的基本方法。
【难度系数】
0.9
要写出一个命题的逆命题，首先要明确命题的组成结构：所有命题都由题设（条件）和结论两部分构成，逆命题的改写规则就是将原命题的题设和结论互换位置。我们先拆分原命题“两直线平行，同旁内角互补”的结构：它的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，将两者互换即可得到逆命题。
【解析】
1. 拆分原命题的题设和结论：原命题“两直线平行，同旁内角互补”中，题设为“两直线平行”，结论为“同旁内角互补”。
2. 互换题设和结论的位置，得到新命题：同旁内角互补，两直线平行。
【答案】
同旁内角互补，两直线平行
【知识点】
逆命题的定义；平行线的性质与判定
【点评】
本题考查逆命题的改写，解题核心是准确识别原命题的题设和结论，掌握命题的基本构成，属于基础类题型，需熟练掌握命题改写的基本方法。
【难度系数】
0.9
8.如图，$△ ABC$ 是等边三角形，与 $BC$ 平行的直线分别交 $AB$ 和 $AC$ 于点 $D,E$。若 $AD=2$，则 $DE$ 的长为________。
答案
8.2
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形和平行线的相关性质：首先等边三角形△ABC的三个内角均为60°，再结合DE//BC，利用平行线同位角相等的性质，可得到△ADE的三个内角也都是60°，由此判定△ADE是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵DE//BC
∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°
∴△ADE的三个内角均为60°，即△ADE是等边三角形
∴DE=AD
又
∵AD=2
∴DE=2
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行线性质与等边三角形判定、性质的综合运用，解题关键是通过角的关系判断出△ADE为等边三角形。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等边三角形和平行线的相关性质：首先等边三角形△ABC的三个内角均为60°，再结合DE//BC，利用平行线同位角相等的性质，可得到△ADE的三个内角也都是60°，由此判定△ADE是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵DE//BC
∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°
∴△ADE的三个内角均为60°，即△ADE是等边三角形
∴DE=AD
又
∵AD=2
∴DE=2
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行线性质与等边三角形判定、性质的综合运用，解题关键是通过角的关系判断出△ADE为等边三角形。
【难度系数】
0.8
9.如图，$OA=OB$，数轴上点$A$表示的数是________.
答案
9.$-\sqrt{5}$
解析
【分析】
要确定数轴上点A表示的数，已知OA=OB，因此先计算OB的长度即可得到OA的长度。观察图形可得OB是直角三角形的斜边，该直角三角形的两条直角边长度分别为1和2，可利用勾股定理求出OB的长度；再结合点A在原点左侧，对应的数为负数，最终就能得到点A表示的数。
【解析】
解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为1、2，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
因为$OA=OB$，所以$OA=\sqrt{5}$，又因为点A在数轴原点的左侧，因此点A表示的数是负数，即$-\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；同圆半径相等
【点评】
本题是数形结合的基础题型，主要考查用勾股定理计算线段长度以及在数轴上表示无理数的方法，解题时需注意点所在的数轴半轴位置，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
要确定数轴上点A表示的数，已知OA=OB，因此先计算OB的长度即可得到OA的长度。观察图形可得OB是直角三角形的斜边，该直角三角形的两条直角边长度分别为1和2，可利用勾股定理求出OB的长度；再结合点A在原点左侧，对应的数为负数，最终就能得到点A表示的数。
【解析】
解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为1、2，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
因为$OA=OB$，所以$OA=\sqrt{5}$，又因为点A在数轴原点的左侧，因此点A表示的数是负数，即$-\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；同圆半径相等
【点评】
本题是数形结合的基础题型，主要考查用勾股定理计算线段长度以及在数轴上表示无理数的方法，解题时需注意点所在的数轴半轴位置，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
10.已知数$a$，8和15，若这三个数恰好是一个直角三角形三边的长，则$a$的值为________.
答案
10.17或$\sqrt{161}$
解析
【分析】
本题考查直角三角形三边关系，解题思路如下：首先回忆直角三角形三边满足勾股定理，由于题目未明确哪条边是斜边，结合“斜边是直角三角形中最长的边”可知，斜边只能是a或15（8小于15，不可能为斜边），因此分两种情况分别利用勾股定理计算a的值，最后注意边长为正数，舍去不符合题意的负数值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当a为直角三角形的斜边时，根据勾股定理：
$a^2 = 8^2 + 15^2$
计算得：$a^2 = 64 + 225 = 289$
因为三角形边长为正数，所以$a = \sqrt{289} = 17$；
② 当15为直角三角形的斜边时，a为直角边，根据勾股定理：
$a^2 + 8^2 = 15^2$
移项得：$a^2 = 15^2 - 8^2 = 225 - 64 = 161$
因为三角形边长为正数，所以$a = \sqrt{161}$。
综上，a的值为17或$\sqrt{161}$。
【答案】
17或$\sqrt{161}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是未考虑斜边的不确定情况，只默认其中一种斜边情况，导致漏解。解题时要注意结合直角三角形斜边最长的性质，先判断所有可能的斜边情况，再分别计算，最后验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
本题考查直角三角形三边关系，解题思路如下：首先回忆直角三角形三边满足勾股定理，由于题目未明确哪条边是斜边，结合“斜边是直角三角形中最长的边”可知，斜边只能是a或15（8小于15，不可能为斜边），因此分两种情况分别利用勾股定理计算a的值，最后注意边长为正数，舍去不符合题意的负数值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当a为直角三角形的斜边时，根据勾股定理：
$a^2 = 8^2 + 15^2$
计算得：$a^2 = 64 + 225 = 289$
因为三角形边长为正数，所以$a = \sqrt{289} = 17$；
② 当15为直角三角形的斜边时，a为直角边，根据勾股定理：
$a^2 + 8^2 = 15^2$
移项得：$a^2 = 15^2 - 8^2 = 225 - 64 = 161$
因为三角形边长为正数，所以$a = \sqrt{161}$。
综上，a的值为17或$\sqrt{161}$。
【答案】
17或$\sqrt{161}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是未考虑斜边的不确定情况，只默认其中一种斜边情况，导致漏解。解题时要注意结合直角三角形斜边最长的性质，先判断所有可能的斜边情况，再分别计算，最后验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
11. 如图,校园内有一处池塘,数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端 A,B 之间的距离,他们的操作过程如下:
①沿线段 AB 延长线的方向,在池塘边的空地上选点 C,使 $ BC=9 \ \mathrm{m} $;
②在 AC 的一侧选点 D,使 $ BD=12 \ \mathrm{m},CD=15 \ \mathrm{m} $;
③测得 $ AD=20 \ \mathrm{m} $.
请根据他们的操作过程,求出池塘两端 A,B 之间的距离.
①沿线段 AB 延长线的方向,在池塘边的空地上选点 C,使 $ BC=9 \ \mathrm{m} $;
②在 AC 的一侧选点 D,使 $ BD=12 \ \mathrm{m},CD=15 \ \mathrm{m} $;
③测得 $ AD=20 \ \mathrm{m} $.
请根据他们的操作过程,求出池塘两端 A,B 之间的距离.
答案
11.解:$\because CD^2=225,BC^2=81,BD^2=144$,
$\therefore BC^2+BD^2=CD^2=225$,
$\therefore ∠CBD=90°.∵$点$C$在$AB$的延长线上,$\therefore ∠ABD=90°$,
$\therefore AB=\sqrt{AD^2-BD^2}=\sqrt{400-144}=16(\mathrm{m})$,
$\therefore$池塘两端$A,B$之间的距离为$16\ \mathrm{m}$.
$\therefore BC^2+BD^2=CD^2=225$,
$\therefore ∠CBD=90°.∵$点$C$在$AB$的延长线上,$\therefore ∠ABD=90°$,
$\therefore AB=\sqrt{AD^2-BD^2}=\sqrt{400-144}=16(\mathrm{m})$,
$\therefore$池塘两端$A,B$之间的距离为$16\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
首先观察已知的△BCD的三边长：BC=9m，BD=12m，CD=15m，首先验证这三个边长是否满足勾股定理的逆定理，判断△BCD是否为直角三角形；若得出∠CBD是直角，结合点C在AB的延长线上，可得∠ABD也是直角，此时△ABD为直角三角形，已知斜边AD和直角边BD的长度，直接用勾股定理即可求出另一条直角边AB的长度。
【解析】
解：首先计算△BCD各边的平方：
$CD^2=15^2=225$，$BC^2=9^2=81$，$BD^2=12^2=144$，
可得$BC^2+BD^2=81+144=225=CD^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ CBD=90°$。
∵点C在AB的延长线上，
∴$∠ ABD=180°-∠ CBD=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
在$Rt△ ABD$中，$AD=20\ \mathrm{m}$，$BD=12\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AD^2-BD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16(\mathrm{m})$。
【答案】
$16\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理
【点评】
本题是利用几何知识解决实际测量问题的典型题目，解题的核心是先通过边长关系判定直角三角形，再利用勾股定理计算未知边长，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的△BCD的三边长：BC=9m，BD=12m，CD=15m，首先验证这三个边长是否满足勾股定理的逆定理，判断△BCD是否为直角三角形；若得出∠CBD是直角，结合点C在AB的延长线上，可得∠ABD也是直角，此时△ABD为直角三角形，已知斜边AD和直角边BD的长度，直接用勾股定理即可求出另一条直角边AB的长度。
【解析】
解：首先计算△BCD各边的平方：
$CD^2=15^2=225$，$BC^2=9^2=81$，$BD^2=12^2=144$，
可得$BC^2+BD^2=81+144=225=CD^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ CBD=90°$。
∵点C在AB的延长线上，
∴$∠ ABD=180°-∠ CBD=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
在$Rt△ ABD$中，$AD=20\ \mathrm{m}$，$BD=12\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AD^2-BD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16(\mathrm{m})$。
【答案】
$16\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理
【点评】
本题是利用几何知识解决实际测量问题的典型题目，解题的核心是先通过边长关系判定直角三角形，再利用勾股定理计算未知边长，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
12.按要求尺规作图,保留痕迹,不写作法.
(1)如图1,作$△ ABC$的角平分线$AD$;
(2)如图2,过点$A$作$BC$的平行线$AE$.
(1)如图1,作$△ ABC$的角平分线$AD$;
(2)如图2,过点$A$作$BC$的平行线$AE$.
答案
12.解:(1)如图1,$AD$即为所求作的角平分线.
(2)如图2,$AE$即为所求作的$BC$的平行线.
解析
【分析】
要解决这两个尺规作图问题，我们分别对应基本作图方法思考：
（1）作角平分线AD的核心是构造平分∠BAC的射线，交BC于点D。可利用尺规作图得到∠BAC内部到AB、AC距离相等的点，连接该点与顶点A即可得到角平分线。
（2）过A作BC的平行线AE，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定原理，用尺规在点A处构造与∠B相等的同位角，该角的另一边就是平行于BC的直线AE。
【解析】
（1）角平分线作图步骤：①以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与AB、AC两边交于两个点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两点之间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于一点；③连接点A与该交点，延长后交BC边于点D，AD即为所求的角平分线。
（2）平行线作图步骤：①以点B为圆心，任意长度为半径画弧，分别交BA、BC于两个点；②以点A为圆心，与步骤①相同的长度为半径画弧，交BA边于一点；③以该交点为圆心，取步骤①中B处两个交点的距离为半径画弧，两弧相交得到交点，过点A和该交点作直线AE，AE即为所求的BC的平行线。
【答案】
(1)如图1,$AD$即为所求作的角平分线.
(2)如图2,$AE$即为所求作的$BC$的平行线.
【知识点】
尺规作角平分线，尺规作平行线，平行线判定
【点评】
本题是基础的尺规作图题，主要考查对基础作图操作的掌握情况，牢记常见基本作图的步骤和对应的原理，即可快速完成作图。
【难度系数】
0.8
要解决这两个尺规作图问题，我们分别对应基本作图方法思考：
（1）作角平分线AD的核心是构造平分∠BAC的射线，交BC于点D。可利用尺规作图得到∠BAC内部到AB、AC距离相等的点，连接该点与顶点A即可得到角平分线。
（2）过A作BC的平行线AE，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定原理，用尺规在点A处构造与∠B相等的同位角，该角的另一边就是平行于BC的直线AE。
【解析】
（1）角平分线作图步骤：①以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与AB、AC两边交于两个点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两点之间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于一点；③连接点A与该交点，延长后交BC边于点D，AD即为所求的角平分线。
（2）平行线作图步骤：①以点B为圆心，任意长度为半径画弧，分别交BA、BC于两个点；②以点A为圆心，与步骤①相同的长度为半径画弧，交BA边于一点；③以该交点为圆心，取步骤①中B处两个交点的距离为半径画弧，两弧相交得到交点，过点A和该交点作直线AE，AE即为所求的BC的平行线。
【答案】
(1)如图1,$AD$即为所求作的角平分线.
(2)如图2,$AE$即为所求作的$BC$的平行线.
【知识点】
尺规作角平分线，尺规作平行线，平行线判定
【点评】
本题是基础的尺规作图题，主要考查对基础作图操作的掌握情况，牢记常见基本作图的步骤和对应的原理，即可快速完成作图。
【难度系数】
0.8
