登录
1. 用反证法证明“若$a^2≠b^2$，则$a≠b$”时，应先假设 （
A.$a^2=b^2$
B.$a=b$
C.$a=-b$
D.$a≠b$
B
）A.$a^2=b^2$
B.$a=b$
C.$a=-b$
D.$a≠b$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反证法的基本规则：反证法的第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。我们先拆分原命题的结构，原命题“若$a^2≠b^2$，则$a≠b$”中，条件是$a^2≠b^2$，结论是$a≠b$，只需要找到结论“$a≠b$”的反面，就能得到要假设的内容。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题中原命题的结论是$a≠b$，$a≠b$的反面为$a=b$，因此应先假设$a=b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题核心是准确识别命题的结论，正确写出结论的否定形式，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆反证法的基本规则：反证法的第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。我们先拆分原命题的结构，原命题“若$a^2≠b^2$，则$a≠b$”中，条件是$a^2≠b^2$，结论是$a≠b$，只需要找到结论“$a≠b$”的反面，就能得到要假设的内容。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题中原命题的结论是$a≠b$，$a≠b$的反面为$a=b$，因此应先假设$a=b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题核心是准确识别命题的结论，正确写出结论的否定形式，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,公园内三条小路两两相交,交点分别为$A,B,C$,若要在$△ ABC$区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭,则凉亭的位置应建在 （
A.$△ ABC$三边上的中线的交点处
B.$△ ABC$三个角的平分线的交点处
C.$△ ABC$三边上的高所在直线的交点处
D.$△ ABC$三边垂直平分线的交点处
B
）A.$△ ABC$三边上的中线的交点处
B.$△ ABC$三个角的平分线的交点处
C.$△ ABC$三边上的高所在直线的交点处
D.$△ ABC$三边垂直平分线的交点处
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心要求：在△ABC内部找到一个到三条边（三条小路）距离都相等的点。我们需要回忆三角形各特殊线段交点的性质，逐一对比选项筛选符合要求的答案，重点区分不同特殊点的性质差异。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：三角形三边上中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等的要求，故A错误；
B选项：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三个内角的角平分线的交点，到三角形三边的距离都相等，且该交点在三角形内部，完全符合题目要求，故B正确；
C选项：三角形三边上高所在直线的交点是垂心，没有到三边距离相等的性质，故C错误；
D选项：三角形三边垂直平分线的交点是外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不满足到三边距离相等的要求，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形内心性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，解题关键是牢记“到三边距离相等的点是三角形内角平分线的交点（内心）”、“到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点（外心）”，避免两类性质混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目核心要求：在△ABC内部找到一个到三条边（三条小路）距离都相等的点。我们需要回忆三角形各特殊线段交点的性质，逐一对比选项筛选符合要求的答案，重点区分不同特殊点的性质差异。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：三角形三边上中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等的要求，故A错误；
B选项：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三个内角的角平分线的交点，到三角形三边的距离都相等，且该交点在三角形内部，完全符合题目要求，故B正确；
C选项：三角形三边上高所在直线的交点是垂心，没有到三边距离相等的性质，故C错误；
D选项：三角形三边垂直平分线的交点是外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不满足到三边距离相等的要求，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形内心性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，解题关键是牢记“到三边距离相等的点是三角形内角平分线的交点（内心）”、“到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点（外心）”，避免两类性质混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BE$平分$∠ ABC$,$ED ⊥ AB$于$D$.如果$BC=6$,$AB=10$,那么$S_{△ BCE}: S_{△ BAE}$等于 （
A.$3:4$
B.$3:5$
C.$4:5$
D.$4:3$
B
）A.$3:4$
B.$3:5$
C.$4:5$
D.$4:3$
答案
3.B
解析
【分析】要计算两个三角形的面积比，首先观察两个三角形的高的关系：已知BE是∠ABC的角平分线，且EC⊥BC、ED⊥AB，根据角平分线的性质可得出CE=DE，即△BCE以BC为底的高CE，和△BAE以AB为底的高DE长度相等。根据三角形面积公式，高相等时，两个三角形的面积比等于对应底边长的比，代入已知的BC和AB的长度即可求出比值。
【解析】解：
∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°（即EC⊥BC），ED⊥AB，
∴根据角平分线的性质，可得CE=DE。
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，则：
$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BC×CE$，$S_{△BAE}=\frac{1}{2}×AB×DE$
∵CE=DE，
∴$S_{△BCE}:S_{△BAE}=BC:AB=6:10=3:5$。
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形面积计算；比例化简
【点评】本题解题的核心是灵活运用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底的长度比，避免了不必要的边长计算，降低了解题难度。
【难度系数】0.7
【解析】解：
∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°（即EC⊥BC），ED⊥AB，
∴根据角平分线的性质，可得CE=DE。
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，则：
$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BC×CE$，$S_{△BAE}=\frac{1}{2}×AB×DE$
∵CE=DE，
∴$S_{△BCE}:S_{△BAE}=BC:AB=6:10=3:5$。
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形面积计算；比例化简
【点评】本题解题的核心是灵活运用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底的长度比，避免了不必要的边长计算，降低了解题难度。
【难度系数】0.7
4.如图,某物流公司的全自动无人机需从仓库出发,向东飞行 1.6 km 后,再向北飞行 1.2 km抵达社区配送点,由于中央区域有障碍,无人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍,则从仓库到社区配送点的最短路程为（
A.1.8 km
B.2.0 km
C.2.1 km
D.3.0 km
B
）A.1.8 km
B.2.0 km
C.2.1 km
D.3.0 km
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据“两点之间线段最短”可知，直线飞行的路径就是最短路程。其次正东和正北方向是互相垂直的，所以向东飞行的1.6km、向北飞行的1.2km和最短路径刚好构成直角三角形，两条直角边长度已知，我们只需要运用勾股定理计算出该直角三角形的斜边长度，就能得到最短路程。
【解析】
解：由题意得，正东方向与正北方向互相垂直，因此仓库、向东飞行1.6km的停靠点、社区配送点三点构成直角三角形，两条直角边长分别为1.6km和1.2km。
根据勾股定理，最短路程为：
$\sqrt{1.6^2 + 1.2^2} = \sqrt{2.56 + 1.44} = \sqrt{4} = 2.0\ \mathrm{km}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是根据方向的垂直特征构造出直角三角形，再利用勾股定理计算边长，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先根据“两点之间线段最短”可知，直线飞行的路径就是最短路程。其次正东和正北方向是互相垂直的，所以向东飞行的1.6km、向北飞行的1.2km和最短路径刚好构成直角三角形，两条直角边长度已知，我们只需要运用勾股定理计算出该直角三角形的斜边长度，就能得到最短路程。
【解析】
解：由题意得，正东方向与正北方向互相垂直，因此仓库、向东飞行1.6km的停靠点、社区配送点三点构成直角三角形，两条直角边长分别为1.6km和1.2km。
根据勾股定理，最短路程为：
$\sqrt{1.6^2 + 1.2^2} = \sqrt{2.56 + 1.44} = \sqrt{4} = 2.0\ \mathrm{km}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是根据方向的垂直特征构造出直角三角形，再利用勾股定理计算边长，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在纸上画有$∠ AOB$,将两把无刻度的直尺按图示摆放,直尺边缘的交点$P$在$∠ AOB$的平分线上,则 （
A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等
A
）A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。接下来明确图中d₁、d₂的含义：d₁是横向直尺的宽度，对应点P到∠AOB的边OB的距离；d₂是斜向直尺的宽度，对应点P到∠AOB的边OA的距离。已知P在∠AOB的平分线上，结合性质即可判断d₁和d₂的关系；而l₁、l₂是直尺上的长度，题干没有给出相关相等的条件，无法判断其必然关系。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点P在∠AOB的平分线上，因此点P到OA的距离与点P到OB的距离相等。
观察图形可知：d₁是点P到OB的距离，d₂是点P到OA的距离，因此d₁=d₂，故A选项正确，B选项错误。
对于l₁和l₂，题干没有给出能证明二者必然相等或者必然不等的条件，因此C、D选项均错误。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题考查角平分线性质的实际应用，解题关键是理解直尺的宽度本质就是角平分线上的点到角两边的距离，结合性质即可快速得出结论，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。接下来明确图中d₁、d₂的含义：d₁是横向直尺的宽度，对应点P到∠AOB的边OB的距离；d₂是斜向直尺的宽度，对应点P到∠AOB的边OA的距离。已知P在∠AOB的平分线上，结合性质即可判断d₁和d₂的关系；而l₁、l₂是直尺上的长度，题干没有给出相关相等的条件，无法判断其必然关系。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点P在∠AOB的平分线上，因此点P到OA的距离与点P到OB的距离相等。
观察图形可知：d₁是点P到OB的距离，d₂是点P到OA的距离，因此d₁=d₂，故A选项正确，B选项错误。
对于l₁和l₂，题干没有给出能证明二者必然相等或者必然不等的条件，因此C、D选项均错误。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题考查角平分线性质的实际应用，解题关键是理解直尺的宽度本质就是角平分线上的点到角两边的距离，结合性质即可快速得出结论，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
