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8. 如图,矩形 ABCD 的面积为 $20 \mathrm{~cm}^2$,对角线交于点 O;以 AB,AO 为邻边作 $\□ AOC_1B$,对角线交于点 $O_1$;以 AB,$AO_1$ 为邻边作 $\□ AO_1C_2B$,对角线交于点 $O_2$……依此类推,则 $\□ AO_4C_5B$ 的面积为
(
A.$\frac{5}{32} \mathrm{~cm}^2$
B.$\frac{5}{8} \mathrm{~cm}^2$
C.$\frac{5}{4} \mathrm{~cm}^2$
D.$\frac{8}{5} \mathrm{~cm}^2$
(
B
)A.$\frac{5}{32} \mathrm{~cm}^2$
B.$\frac{5}{8} \mathrm{~cm}^2$
C.$\frac{5}{4} \mathrm{~cm}^2$
D.$\frac{8}{5} \mathrm{~cm}^2$
答案
8. B
解析
【分析】
解题时先利用矩形和平行四边形的性质推导前几个平行四边形的面积，找到面积的变化规律：底始终为AB不变，每一个新平行四边形的高都是前一个平行四边形高的$\frac{1}{2}$，因此面积是前一个的$\frac{1}{2}$，再根据规律计算所求平行四边形的面积即可。
【解析】
1. 矩形$ABCD$面积为$20\mathrm{cm}^2$，对角线交于点$O$，根据矩形对角线互相平分的性质，$O$是$AC$中点，因此平行四边形$AOC_1B$与矩形同底$AB$，高为$BC$的$\frac{1}{2}$，可得$S_{□ AOC_1B}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=20×\frac{1}{2}=10\mathrm{cm}^2$。
2. 同理，平行四边形$AO_1C_2B$与$□ AOC_1B$同底$AB$，高为$□ AOC_1B$高的$\frac{1}{2}$，因此$S_{□ AO_1C_2B}=\frac{1}{2}S_{□ AOC_1B}=20×(\frac{1}{2})^2=5\mathrm{cm}^2$。
3. 归纳可得规律：第$k$个平行四边形$AO_{k-1}C_kB$的面积为$S=20×(\frac{1}{2})^k$。
4. 所求$□ AO_4C_5B$对应$k=5$，代入得$S=20×(\frac{1}{2})^5=20×\frac{1}{32}=\frac{5}{8}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，平行四边形的性质，图形规律探究
【点评】
本题侧重考查对特殊四边形性质的理解应用和归纳推理能力，解题核心是抓住“底不变，高每次缩小为原来的$\frac{1}{2}$”这一面积变化规律，避免逐个计算的繁琐。
【难度系数】
0.65
解题时先利用矩形和平行四边形的性质推导前几个平行四边形的面积，找到面积的变化规律：底始终为AB不变，每一个新平行四边形的高都是前一个平行四边形高的$\frac{1}{2}$，因此面积是前一个的$\frac{1}{2}$，再根据规律计算所求平行四边形的面积即可。
【解析】
1. 矩形$ABCD$面积为$20\mathrm{cm}^2$，对角线交于点$O$，根据矩形对角线互相平分的性质，$O$是$AC$中点，因此平行四边形$AOC_1B$与矩形同底$AB$，高为$BC$的$\frac{1}{2}$，可得$S_{□ AOC_1B}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=20×\frac{1}{2}=10\mathrm{cm}^2$。
2. 同理，平行四边形$AO_1C_2B$与$□ AOC_1B$同底$AB$，高为$□ AOC_1B$高的$\frac{1}{2}$，因此$S_{□ AO_1C_2B}=\frac{1}{2}S_{□ AOC_1B}=20×(\frac{1}{2})^2=5\mathrm{cm}^2$。
3. 归纳可得规律：第$k$个平行四边形$AO_{k-1}C_kB$的面积为$S=20×(\frac{1}{2})^k$。
4. 所求$□ AO_4C_5B$对应$k=5$，代入得$S=20×(\frac{1}{2})^5=20×\frac{1}{32}=\frac{5}{8}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，平行四边形的性质，图形规律探究
【点评】
本题侧重考查对特殊四边形性质的理解应用和归纳推理能力，解题核心是抓住“底不变，高每次缩小为原来的$\frac{1}{2}$”这一面积变化规律，避免逐个计算的繁琐。
【难度系数】
0.65
9. 已知菱形的两条对角线长分别为 10 cm，24 cm，则它的周长为$\underline{\hspace{5cm}}$cm.
答案
9. 52
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，且菱形的四条边长度相等。我们可以先求出两条对角线长度的一半，它们和菱形的边长刚好构成直角三角形的两条直角边和斜边，再利用勾股定理算出菱形的边长，最后根据四条边相等的特征计算周长即可。
【解析】
解：
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴两条对角线的一半长度分别为：
$10÷2=5(\mathrm{cm})$，$24÷2=12(\mathrm{cm})$
根据勾股定理，菱形的边长为：
$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13(\mathrm{cm})$
又
∵菱形的四条边长度相等
∴菱形的周长$=4×13=52(\mathrm{cm})$
【答案】
52
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将求边长的问题转化为直角三角形求斜边的问题，熟练掌握特殊几何图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，且菱形的四条边长度相等。我们可以先求出两条对角线长度的一半，它们和菱形的边长刚好构成直角三角形的两条直角边和斜边，再利用勾股定理算出菱形的边长，最后根据四条边相等的特征计算周长即可。
【解析】
解：
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴两条对角线的一半长度分别为：
$10÷2=5(\mathrm{cm})$，$24÷2=12(\mathrm{cm})$
根据勾股定理，菱形的边长为：
$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13(\mathrm{cm})$
又
∵菱形的四条边长度相等
∴菱形的周长$=4×13=52(\mathrm{cm})$
【答案】
52
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将求边长的问题转化为直角三角形求斜边的问题，熟练掌握特殊几何图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
10. 如图,在$□ ABCD$中,$BE,CF$分别是$∠ ABC$和$∠ BCD$的平分线,$BE,CF$分别与$AD$相交于点$E,F$,$AB=6$,$BC=10$,则$EF=$.
答案
10. 2
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形的性质得到对边的关系与平行关系，再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，推导得到等腰三角形，求出AE、DF的长度，最后根据线段的和差关系计算EF的长度：第一步先明确平行四边形的边长：AD=BC=10，AB=CD=6，且AD//BC；第二步利用角平分线和平行线的性质推导出△ABE和△DCF都是等腰三角形，得到AE=AB、DF=CD；第三步代入数值，利用AE+DF-AD即可算出重叠部分EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=6，AD=BC=10，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=6，
同理，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=CD=6，
∴EF=AE+DF-AD=6+6-10=2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形性质和等腰三角形判定的综合应用题，解题的核心是通过“平行线+角平分线”的组合推出等腰三角形，得到对应等长线段，再通过线段和差求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时先结合平行四边形的性质得到对边的关系与平行关系，再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，推导得到等腰三角形，求出AE、DF的长度，最后根据线段的和差关系计算EF的长度：第一步先明确平行四边形的边长：AD=BC=10，AB=CD=6，且AD//BC；第二步利用角平分线和平行线的性质推导出△ABE和△DCF都是等腰三角形，得到AE=AB、DF=CD；第三步代入数值，利用AE+DF-AD即可算出重叠部分EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=6，AD=BC=10，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=6，
同理，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=CD=6，
∴EF=AE+DF-AD=6+6-10=2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形性质和等腰三角形判定的综合应用题，解题的核心是通过“平行线+角平分线”的组合推出等腰三角形，得到对应等长线段，再通过线段和差求解即可。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$.如果$AC=6$,$BD=4$,$AB=x$,那么$x$的取值范围是
.
.
答案
11. $1＜x＜5$
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可求出对角线一半的长度，即△AOB中OA、OB的长度；再结合三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，即可求出AB的取值范围。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=4，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4=2$。
在△AOB中，根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，
可得$OA-OB ＜ AB ＜ OA+OB$，
代入数值得$3-2 ＜ x ＜ 3+2$，即$1 ＜ x ＜ 5$。
【答案】
$1＜x＜5$
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是基础几何题，解题关键是利用平行四边形的性质将已知对角线长度转化为三角形的边长，再结合三角形三边关系求解，掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可求出对角线一半的长度，即△AOB中OA、OB的长度；再结合三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，即可求出AB的取值范围。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=4，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4=2$。
在△AOB中，根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，
可得$OA-OB ＜ AB ＜ OA+OB$，
代入数值得$3-2 ＜ x ＜ 3+2$，即$1 ＜ x ＜ 5$。
【答案】
$1＜x＜5$
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是基础几何题，解题关键是利用平行四边形的性质将已知对角线长度转化为三角形的边长，再结合三角形三边关系求解，掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
12. 已知一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和$2\sqrt{5}$，则此平行四边形的面积为________.
答案
12. $4\sqrt{5}$
解析
【分析】
遇到已知平行四边形边长和对角线长求面积的问题，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，求出两条对角线的一半长度；再通过勾股定理的逆定理，判断对角线的一半与已知边长是否构成直角三角形，若能构成则说明两条对角线互相垂直；最后根据对角线互相垂直的平行四边形面积等于对角线乘积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴两条对角线的一半长度分别为：$\frac{4}{2}=2$，$\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$。
∵$2^2+(\sqrt{5})^2=4+5=9=3^2$，
∴根据勾股定理的逆定理可知，长度为2、$\sqrt{5}$、3的三边构成直角三角形，即该平行四边形的两条对角线互相垂直。
∴此平行四边形的面积为：$\frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是利用平行四边形对角线的性质转化边长，通过勾股定理逆定理判断对角线的位置关系，进而简化面积计算，解题时要熟练掌握特殊图形的性质，灵活运用勾股定理的逆定理判断垂直关系。
【难度系数】
0.7
遇到已知平行四边形边长和对角线长求面积的问题，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，求出两条对角线的一半长度；再通过勾股定理的逆定理，判断对角线的一半与已知边长是否构成直角三角形，若能构成则说明两条对角线互相垂直；最后根据对角线互相垂直的平行四边形面积等于对角线乘积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴两条对角线的一半长度分别为：$\frac{4}{2}=2$，$\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$。
∵$2^2+(\sqrt{5})^2=4+5=9=3^2$，
∴根据勾股定理的逆定理可知，长度为2、$\sqrt{5}$、3的三边构成直角三角形，即该平行四边形的两条对角线互相垂直。
∴此平行四边形的面积为：$\frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是利用平行四边形对角线的性质转化边长，通过勾股定理逆定理判断对角线的位置关系，进而简化面积计算，解题时要熟练掌握特殊图形的性质，灵活运用勾股定理的逆定理判断垂直关系。
【难度系数】
0.7
13. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB = BC, AB = 12 \ \mathrm{cm},F$ 是边 $AB$ 上一点,过点 $F$ 作 $FE // BC$ 交 $AC$ 于点 $E$,过点 $E$ 作 $ED // AB$ 交 $BC$ 于点 $D$,则四边形 $BDEF$ 的周长是________.
答案
13. $24 \mathrm{~cm}$
解析
【分析】
解题时首先根据两组对边分别平行判断四边形BDEF是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，可将四边形的周长转化为2(BF+EF)；再结合AB=BC得到△ABC是等腰三角形，由平行线的性质推导得出△AFE也是等腰三角形，得到EF=AF，进一步将BF+EF转化为AB的长度，代入数值即可求出周长。
【解析】
解：
∵$FE// BC$，$ED// AB$，
∴四边形$BDEF$是平行四边形，
∴$BF=ED$，$BD=EF$，
∴四边形$BDEF$的周长$=2(BF + EF)$。
∵$AB=BC$，
∴$∠ A=∠ C$，
∵$FE// BC$，
∴$∠ AEF=∠ C$，
∴$∠ AEF=∠ A$，
∴$EF=AF$，
∴$BF + EF = BF + AF = AB = 12\ \mathrm{cm}$，
∴四边形$BDEF$的周长$=2×12=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$24\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是通过平行线和等腰三角形的性质实现边的等量转化，将未知的四边形周长与已知边长建立关联，是几何中线段转化类的典型题型。
【难度系数】
0.75
解题时首先根据两组对边分别平行判断四边形BDEF是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，可将四边形的周长转化为2(BF+EF)；再结合AB=BC得到△ABC是等腰三角形，由平行线的性质推导得出△AFE也是等腰三角形，得到EF=AF，进一步将BF+EF转化为AB的长度，代入数值即可求出周长。
【解析】
解：
∵$FE// BC$，$ED// AB$，
∴四边形$BDEF$是平行四边形，
∴$BF=ED$，$BD=EF$，
∴四边形$BDEF$的周长$=2(BF + EF)$。
∵$AB=BC$，
∴$∠ A=∠ C$，
∵$FE// BC$，
∴$∠ AEF=∠ C$，
∴$∠ AEF=∠ A$，
∴$EF=AF$，
∴$BF + EF = BF + AF = AB = 12\ \mathrm{cm}$，
∴四边形$BDEF$的周长$=2×12=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$24\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是通过平行线和等腰三角形的性质实现边的等量转化，将未知的四边形周长与已知边长建立关联，是几何中线段转化类的典型题型。
【难度系数】
0.75
14. 如图,过正方形ABCD的顶点B作直线l,过点A,C,D作直线l的垂线,垂足分别为E,F,G.若AE=2,CF=6,则CF+AE+DG的值为
12
.答案
14. 12
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手，利用“同角的余角相等”找到等角，结合直角和正方形的等边证明三角形全等，先得到已知线段对应的全等边的长度，再通过构造矩形和第二次全等求出未知线段DG的长度，最后求和即可。
首先思考：1. 看到直角和正方形的90°内角，必然存在互余的角，可推出相等的角，用来证全等；2. 求出BE、BF的长度后，DG无法直接得到，需要构造辅助线，利用矩形对边相等转化DG，再证一次全等得到对应边关系，即可求出DG；3. 最后把三个长度相加得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°。
∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠BAE + ∠ABE = 90°，
又
∵∠ABE + ∠CBF = 180° - ∠ABC = 90°，
∴∠BAE = ∠CBF。
在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠AEB=∠BFC \\∠BAE=∠CBF \\AB=BC\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ BCF$（AAS），
∴BE=CF=6，BF=AE=2。
过点D作DM⊥AE，交AE的延长线于点M，
∵AE⊥直线l，DG⊥直线l，
∴∠M=∠AEG=∠DGE=90°，
∴四边形MEGD是矩形，
∴DG=EM。
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE + ∠DAM = 90°，
又
∵∠ADM + ∠DAM = 90°，
∴∠BAE = ∠ADM。
在$△ ABE$和$△ DAM$中：
$\begin{cases}∠AEB=∠M=90° \\∠BAE=∠ADM \\AB=AD\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ DAM$（AAS），
∴AM=BE=6，
∴EM=AM - AE=6 - 2=4，即DG=4。
∴CF + AE + DG = 6 + 2 + 4 = 12。
【答案】
12
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是正方形与全等三角形的综合题，解题的关键是利用角的互余关系找到全等所需的等角，通过两次全等结合矩形的性质求出未知线段的长度，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从正方形的性质入手，利用“同角的余角相等”找到等角，结合直角和正方形的等边证明三角形全等，先得到已知线段对应的全等边的长度，再通过构造矩形和第二次全等求出未知线段DG的长度，最后求和即可。
首先思考：1. 看到直角和正方形的90°内角，必然存在互余的角，可推出相等的角，用来证全等；2. 求出BE、BF的长度后，DG无法直接得到，需要构造辅助线，利用矩形对边相等转化DG，再证一次全等得到对应边关系，即可求出DG；3. 最后把三个长度相加得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°。
∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠BAE + ∠ABE = 90°，
又
∵∠ABE + ∠CBF = 180° - ∠ABC = 90°，
∴∠BAE = ∠CBF。
在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠AEB=∠BFC \\∠BAE=∠CBF \\AB=BC\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ BCF$（AAS），
∴BE=CF=6，BF=AE=2。
过点D作DM⊥AE，交AE的延长线于点M，
∵AE⊥直线l，DG⊥直线l，
∴∠M=∠AEG=∠DGE=90°，
∴四边形MEGD是矩形，
∴DG=EM。
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE + ∠DAM = 90°，
又
∵∠ADM + ∠DAM = 90°，
∴∠BAE = ∠ADM。
在$△ ABE$和$△ DAM$中：
$\begin{cases}∠AEB=∠M=90° \\∠BAE=∠ADM \\AB=AD\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ DAM$（AAS），
∴AM=BE=6，
∴EM=AM - AE=6 - 2=4，即DG=4。
∴CF + AE + DG = 6 + 2 + 4 = 12。
【答案】
12
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是正方形与全等三角形的综合题，解题的关键是利用角的互余关系找到全等所需的等角，通过两次全等结合矩形的性质求出未知线段的长度，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
15. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AB = BD$,点 $E,F$ 分别在 $AB,AD$ 上,且 $AE = DF$,连接 $BF$ 与 $DE$,交点为 $G$,连接 $CG$ 与 $BD$ 相交于点 $H$.有下列结论:
① $△ ABD$ 是正三角形;② $△ AED ≌ △ DFB$;③ $S_{\mathrm{四边形}BCDG} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}CG^2$.其中正确的是________(填序号).
① $△ ABD$ 是正三角形;② $△ AED ≌ △ DFB$;③ $S_{\mathrm{四边形}BCDG} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}CG^2$.其中正确的是________(填序号).
答案
15. ①②③
解析
【分析】
首先根据菱形四条边相等的性质，结合已知AB=BD，可先判断△ABD的形状，验证结论①；再利用等边三角形的边角性质，结合已知AE=DF，用SAS判定三角形全等，验证结论②；最后利用全等得到的角的关系，推出∠BGD的度数，通过旋转将四边形BCDG的面积转化为等边三角形的面积，验证结论③。
【解析】
① 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，又
∵AB=BD，
∴AB=AD=BD，三边相等的三角形是等边三角形，故△ABD是等边三角形，①正确；
② 证明：由①得△ABD为等边三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，且AD=BD，又
∵AE=DF，满足两边及其夹角对应相等，
∴△AED≌△DFB（SAS），②正确；
③ 证明：由△AED≌△DFB，得∠ADE=∠DBF，
∴∠BGD=180°-(∠GDB+∠DBF)=180°-(∠GDB+∠ADE)=180°-∠ADB=180°-60°=120°。
∵菱形ABCD中∠BCD=∠A=60°，
∴∠BGD+∠BCD=180°。将△DCG绕点C顺时针旋转60°，使CD与CB重合，得到△BCM，由旋转性质得CG=CM，∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等边三角形，其面积$S_{△ CGM}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}CG^2$。
又
∵$S_{四边形BCDG}=S_{△ BCG}+S_{△ DCG}=S_{△ BCG}+S_{△ BCM}=S_{△ CGM}$，
∴$S_{四边形BCDG}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}CG^2$，③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形与三角形的性质应用，解题时需从已知条件逐步推导特殊图形的性质，结合全等、旋转等方法转化边角和面积关系，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先根据菱形四条边相等的性质，结合已知AB=BD，可先判断△ABD的形状，验证结论①；再利用等边三角形的边角性质，结合已知AE=DF，用SAS判定三角形全等，验证结论②；最后利用全等得到的角的关系，推出∠BGD的度数，通过旋转将四边形BCDG的面积转化为等边三角形的面积，验证结论③。
【解析】
① 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，又
∵AB=BD，
∴AB=AD=BD，三边相等的三角形是等边三角形，故△ABD是等边三角形，①正确；
② 证明：由①得△ABD为等边三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，且AD=BD，又
∵AE=DF，满足两边及其夹角对应相等，
∴△AED≌△DFB（SAS），②正确；
③ 证明：由△AED≌△DFB，得∠ADE=∠DBF，
∴∠BGD=180°-(∠GDB+∠DBF)=180°-(∠GDB+∠ADE)=180°-∠ADB=180°-60°=120°。
∵菱形ABCD中∠BCD=∠A=60°，
∴∠BGD+∠BCD=180°。将△DCG绕点C顺时针旋转60°，使CD与CB重合，得到△BCM，由旋转性质得CG=CM，∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等边三角形，其面积$S_{△ CGM}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}CG^2$。
又
∵$S_{四边形BCDG}=S_{△ BCG}+S_{△ DCG}=S_{△ BCG}+S_{△ BCM}=S_{△ CGM}$，
∴$S_{四边形BCDG}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}CG^2$，③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形与三角形的性质应用，解题时需从已知条件逐步推导特殊图形的性质，结合全等、旋转等方法转化边角和面积关系，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
