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1. 在$□ ABCD$中，$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D$可以是（
A.$1:2:3:4$
B.$2:2:3:3$
C.$2:3:2:3$
D.$2:3:3:2$
C
）A.$1:2:3:4$
B.$2:2:3:3$
C.$2:3:2:3$
D.$2:3:3:2$
答案
1. C
解析
【分析】
拿到这道题首先明确题干给出的图形是平行四边形，要判断四个角的比例是否正确，我们需要结合平行四边形角的性质来思考。平行四边形的两组对角分别相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，因此四个角的比值中，对应∠A和∠C的数值必须相等，对应∠B和∠D的数值也必须相等，我们按照这个标准逐一核对选项就能选出正确答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠B=∠D
因此在∠A:∠B:∠C:∠D的比值中，第一项（对应∠A）和第三项（对应∠C）的数值相等，第二项（对应∠B）和第四项（对应∠D）的数值相等。
逐一分析选项：
A选项1:2:3:4，1≠3，2≠4，不符合要求；
B选项2:2:3:3，2≠3，2≠3，不符合要求；
C选项2:3:2:3，2=2，3=3，符合要求；
D选项2:3:3:2，2≠3，3≠2，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形对角相等，比例的识别
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对平行四边形对角相等性质的应用，牢记基础性质就能快速排除错误选项，解题时不要和邻角互补的性质混淆即可。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确题干给出的图形是平行四边形，要判断四个角的比例是否正确，我们需要结合平行四边形角的性质来思考。平行四边形的两组对角分别相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，因此四个角的比值中，对应∠A和∠C的数值必须相等，对应∠B和∠D的数值也必须相等，我们按照这个标准逐一核对选项就能选出正确答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠B=∠D
因此在∠A:∠B:∠C:∠D的比值中，第一项（对应∠A）和第三项（对应∠C）的数值相等，第二项（对应∠B）和第四项（对应∠D）的数值相等。
逐一分析选项：
A选项1:2:3:4，1≠3，2≠4，不符合要求；
B选项2:2:3:3，2≠3，2≠3，不符合要求；
C选项2:3:2:3，2=2，3=3，符合要求；
D选项2:3:3:2，2≠3，3≠2，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形对角相等，比例的识别
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对平行四边形对角相等性质的应用，牢记基础性质就能快速排除错误选项，解题时不要和邻角互补的性质混淆即可。
【难度系数】
0.9
2. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是 （
A.互相平分
B.相等
C.互相垂直
D.互相垂直平分
C
）A.互相平分
B.相等
C.互相垂直
D.互相垂直平分
答案
2. C
解析
【分析】
解题可从结论倒推所需条件，分两步思考：第一步先明确任意四边形的中点四边形的基础形状：根据三角形中位线定理，顺次连接四边形各边中点得到的四边形首先是平行四边形；第二步结合矩形的判定规则：有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此需要这个平行四边形的一组邻边互相垂直，而这组邻边分别平行于原四边形的两条对角线，由此就能推出原四边形对角线需要满足的条件。
【解析】
设原四边形为ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA四边的中点，连接AC、BD。
1. 根据三角形中位线定理：EF是△ABC的中位线，因此$EF// AC$，且$EF=\frac{1}{2}AC$；同理可得$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，因此$EF// HG$且$EF=HG$，可证四边形EFGH是平行四边形。
2. 若要平行四边形EFGH是矩形，根据矩形的判定定理，需平行四边形有一个内角为直角，即邻边$EF⊥ FG$。
又因为FG是△BCD的中位线，因此$FG// BD$，结合$EF// AC$可得：当$AC⊥ BD$时，$EF⊥ FG$，此时平行四边形EFGH为矩形。
3. 对选项逐一判断：
A选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，其中点四边形还是平行四边形，不符合要求；
B选项：对角线相等的四边形，其中点四边形是菱形，不符合要求；
C选项：对角线互相垂直的四边形，中点四边形是矩形，符合要求；
D选项：对角线互相垂直平分是原四边形为菱形的条件，此时中点四边形是矩形，但该条件不是必要条件，原四边形对角线只要垂直即可，不需要平分，因此不符合“一定满足”的要求。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，中点四边形性质，矩形的判定
【点评】
本题考查中点四边形的判定规律，解题核心是明确中点四边形的形状仅由原四边形的对角线性质决定，需要熟练掌握三角形中位线定理和特殊平行四边形的判定条件，注意区分“充分条件”和“必要条件”的差异。
【难度系数】
0.7
解题可从结论倒推所需条件，分两步思考：第一步先明确任意四边形的中点四边形的基础形状：根据三角形中位线定理，顺次连接四边形各边中点得到的四边形首先是平行四边形；第二步结合矩形的判定规则：有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此需要这个平行四边形的一组邻边互相垂直，而这组邻边分别平行于原四边形的两条对角线，由此就能推出原四边形对角线需要满足的条件。
【解析】
设原四边形为ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA四边的中点，连接AC、BD。
1. 根据三角形中位线定理：EF是△ABC的中位线，因此$EF// AC$，且$EF=\frac{1}{2}AC$；同理可得$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，因此$EF// HG$且$EF=HG$，可证四边形EFGH是平行四边形。
2. 若要平行四边形EFGH是矩形，根据矩形的判定定理，需平行四边形有一个内角为直角，即邻边$EF⊥ FG$。
又因为FG是△BCD的中位线，因此$FG// BD$，结合$EF// AC$可得：当$AC⊥ BD$时，$EF⊥ FG$，此时平行四边形EFGH为矩形。
3. 对选项逐一判断：
A选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，其中点四边形还是平行四边形，不符合要求；
B选项：对角线相等的四边形，其中点四边形是菱形，不符合要求；
C选项：对角线互相垂直的四边形，中点四边形是矩形，符合要求；
D选项：对角线互相垂直平分是原四边形为菱形的条件，此时中点四边形是矩形，但该条件不是必要条件，原四边形对角线只要垂直即可，不需要平分，因此不符合“一定满足”的要求。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，中点四边形性质，矩形的判定
【点评】
本题考查中点四边形的判定规律，解题核心是明确中点四边形的形状仅由原四边形的对角线性质决定，需要熟练掌握三角形中位线定理和特殊平行四边形的判定条件，注意区分“充分条件”和“必要条件”的差异。
【难度系数】
0.7
3. 若 O 是四边形 ABCD 的对角线的交点，且 $ OA = OB = OC = OD $，则对四边形 ABCD 的形状描述最准确的是（
A.平行四边形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
B
）A.平行四边形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
答案
3. B
解析
【分析】
解题时我们可以从已知的对角线分线段的长度关系逐步推导四边形的类型：第一步，先判断对角线是否互相平分，由OA=OC、OB=OD可知对角线互相平分，可先判定四边形是平行四边形；第二步，再判断对角线的长度关系，由OA=OB=OC=OD可推导出两条对角线AC和BD长度相等，对角线相等的平行四边形是矩形；第三步，区分矩形和正方形，正方形需要对角线互相垂直或邻边相等的额外条件，题目未给出这类条件，因此不能判定为正方形，最终确定最准确的描述是矩形。
【解析】
解：
∵O是四边形ABCD对角线的交点，且OA=OB=OC=OD
1. 由OA=OC、OB=OD，可得四边形ABCD的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形；
2. 对角线AC=OA+OC=2OA，对角线BD=OB+OD=2OB，结合OA=OB，可推出AC=BD，即该平行四边形的对角线相等；
3. 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定四边形ABCD是矩形；
4. 题目未给出对角线互相垂直、邻边相等等条件，无法判定为正方形；普通平行四边形对角线不一定相等，菱形对角线互相垂直且不一定相等，均不符合要求。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.矩形的判定
2.平行四边形的判定
3.特殊四边形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定逻辑，解题时需按从一般到特殊的顺序逐步推导，不要自行添加题目未给出的条件，避免误将没有垂直/邻边相等条件的矩形判定为正方形。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以从已知的对角线分线段的长度关系逐步推导四边形的类型：第一步，先判断对角线是否互相平分，由OA=OC、OB=OD可知对角线互相平分，可先判定四边形是平行四边形；第二步，再判断对角线的长度关系，由OA=OB=OC=OD可推导出两条对角线AC和BD长度相等，对角线相等的平行四边形是矩形；第三步，区分矩形和正方形，正方形需要对角线互相垂直或邻边相等的额外条件，题目未给出这类条件，因此不能判定为正方形，最终确定最准确的描述是矩形。
【解析】
解：
∵O是四边形ABCD对角线的交点，且OA=OB=OC=OD
1. 由OA=OC、OB=OD，可得四边形ABCD的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形；
2. 对角线AC=OA+OC=2OA，对角线BD=OB+OD=2OB，结合OA=OB，可推出AC=BD，即该平行四边形的对角线相等；
3. 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定四边形ABCD是矩形；
4. 题目未给出对角线互相垂直、邻边相等等条件，无法判定为正方形；普通平行四边形对角线不一定相等，菱形对角线互相垂直且不一定相等，均不符合要求。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.矩形的判定
2.平行四边形的判定
3.特殊四边形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定逻辑，解题时需按从一般到特殊的顺序逐步推导，不要自行添加题目未给出的条件，避免误将没有垂直/邻边相等条件的矩形判定为正方形。
【难度系数】
0.6
4. 如图,把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转$45°$得到正方形$AB'C'D'$,边BC与$D'C'$交于点O,则四边形$ABOD'$的周长是 (
A.$6\sqrt{2}$
B.$6$
C.$3\sqrt{2}$
D.$3+3\sqrt{2}$
A
)A.$6\sqrt{2}$
B.$6$
C.$3\sqrt{2}$
D.$3+3\sqrt{2}$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先回忆旋转和正方形的性质：首先旋转前后对应边、对应角相等，正方形的对角线平分内角且长度是边长的√2倍。第一步先计算正方形ABCD的对角线AC的长度，结合旋转角为45°可推出点D'在AC上，得到CD'的长度；第二步由∠C=45°、∠CD'O=90°判断△CD'O是等腰直角三角形，求出D'O和OC的长度，再进一步得到BO的长度；最后将四边形ABOD'的四条边长度相加，即可算出周长。
【解析】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是边长为3的正方形，
∴AB=BC=AD=3，∠B=90°，∠BCA=45°，
由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=3\sqrt{2}$，
∵正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形$AB'C'D'$，
∴$AD'=AD=3$，$∠ AD'C'=90°$，即点$D'$在线段AC上，
∴$CD'=AC-AD'=3\sqrt{2}-3$，
在$△ CD'O$中，$∠ CD'O=90°$，$∠ D'CO=45°$，
∴$△ CD'O$是等腰直角三角形，
∴$D'O=CD'=3\sqrt{2}-3$，
$OC=\sqrt{D'O^2+CD'^2}=\sqrt{2}×(3\sqrt{2}-3)=6-3\sqrt{2}$，
∴$BO=BC-OC=3-(6-3\sqrt{2})=3\sqrt{2}-3$，
则四边形$ABOD'$的周长为：
$AB+BO+OD'+D'A=3+(3\sqrt{2}-3)+(3\sqrt{2}-3)+3=6\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
1.正方形的性质
2.旋转的性质
3.等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将旋转和正方形、等腰直角三角形的性质结合考查，解题的关键是找到旋转后线段的等量关系，计算时注意根式的化简规则即可。
【难度系数】
0.65
解题时先回忆旋转和正方形的性质：首先旋转前后对应边、对应角相等，正方形的对角线平分内角且长度是边长的√2倍。第一步先计算正方形ABCD的对角线AC的长度，结合旋转角为45°可推出点D'在AC上，得到CD'的长度；第二步由∠C=45°、∠CD'O=90°判断△CD'O是等腰直角三角形，求出D'O和OC的长度，再进一步得到BO的长度；最后将四边形ABOD'的四条边长度相加，即可算出周长。
【解析】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是边长为3的正方形，
∴AB=BC=AD=3，∠B=90°，∠BCA=45°，
由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=3\sqrt{2}$，
∵正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形$AB'C'D'$，
∴$AD'=AD=3$，$∠ AD'C'=90°$，即点$D'$在线段AC上，
∴$CD'=AC-AD'=3\sqrt{2}-3$，
在$△ CD'O$中，$∠ CD'O=90°$，$∠ D'CO=45°$，
∴$△ CD'O$是等腰直角三角形，
∴$D'O=CD'=3\sqrt{2}-3$，
$OC=\sqrt{D'O^2+CD'^2}=\sqrt{2}×(3\sqrt{2}-3)=6-3\sqrt{2}$，
∴$BO=BC-OC=3-(6-3\sqrt{2})=3\sqrt{2}-3$，
则四边形$ABOD'$的周长为：
$AB+BO+OD'+D'A=3+(3\sqrt{2}-3)+(3\sqrt{2}-3)+3=6\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
1.正方形的性质
2.旋转的性质
3.等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将旋转和正方形、等腰直角三角形的性质结合考查，解题的关键是找到旋转后线段的等量关系，计算时注意根式的化简规则即可。
【难度系数】
0.65
5. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,有下列结论:
① $△ AOB$ 是等腰三角形;② $S_{△ ABO}=S_{△ ADO}$;③ $AC=BD$;④ $AC ⊥ BD$.其中正确的有 $(\quad)$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
① $△ AOB$ 是等腰三角形;② $S_{△ ABO}=S_{△ ADO}$;③ $AC=BD$;④ $AC ⊥ BD$.其中正确的有 $(\quad)$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的性质，再对4个结论逐一验证：首先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，判断①和③是否正确；再结合三角形面积公式，判断②是否正确；最后对比矩形和特殊矩形（正方形）的对角线性质，判断④是否正确，最终统计正确结论的个数得到答案。
【解析】
根据矩形的性质逐一分析结论：
1. 矩形的对角线相等且互相平分，因此$AC=BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，可得$OA=OB$，所以$△ AOB$是等腰三角形，结论①、③正确；
2. $△ ABO$和$△ ADO$中，$OB=OD$（对角线互相平分），两个三角形以$OB$、$OD$为底时，高均为点$A$到对角线$BD$的距离，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABO}=S_{△ ADO}$，结论②正确；
3. 普通矩形的对角线仅满足相等、互相平分，不满足垂直，只有正方形（特殊矩形）的对角线才互相垂直，因此结论④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形判定；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查矩形的核心性质，解题时要注意区分矩形与菱形、正方形的对角线性质差异，避免因概念混淆判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆矩形的性质，再对4个结论逐一验证：首先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，判断①和③是否正确；再结合三角形面积公式，判断②是否正确；最后对比矩形和特殊矩形（正方形）的对角线性质，判断④是否正确，最终统计正确结论的个数得到答案。
【解析】
根据矩形的性质逐一分析结论：
1. 矩形的对角线相等且互相平分，因此$AC=BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，可得$OA=OB$，所以$△ AOB$是等腰三角形，结论①、③正确；
2. $△ ABO$和$△ ADO$中，$OB=OD$（对角线互相平分），两个三角形以$OB$、$OD$为底时，高均为点$A$到对角线$BD$的距离，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABO}=S_{△ ADO}$，结论②正确；
3. 普通矩形的对角线仅满足相等、互相平分，不满足垂直，只有正方形（特殊矩形）的对角线才互相垂直，因此结论④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形判定；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查矩形的核心性质，解题时要注意区分矩形与菱形、正方形的对角线性质差异，避免因概念混淆判断错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在菱形ABCD中,下列结论中错误的是
(
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$AC ⊥ BD$
C.$AB=AD$
D.$AC=BD$
(
D
)A.$∠ 1=∠ 2$
B.$AC ⊥ BD$
C.$AB=AD$
D.$AC=BD$
答案
6. D
解析
【分析】
这是一道菱形性质的正误判断题，解题时先回忆菱形的相关基础性质，再将四个选项逐一对应性质验证，找出不符合性质的错误选项即可。
【解析】
结合菱形的性质逐个分析选项：
A. 菱形的对角线平分每组内角，BD是∠ABC和∠ADC的角平分线，因此∠1=∠2，结论正确，不符合题意；
B. 菱形的对角线互相垂直，因此AC⊥BD，结论正确，不符合题意；
C. 菱形的四条边长度都相等，因此AB=AD，结论正确，不符合题意；
D. 菱形的对角线仅互相垂直，长度不一定相等，只有正方形这种特殊菱形的对角线才相等，因此该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形边的性质、菱形对角线性质、菱形角平分线性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对菱形基础性质的记忆和辨析，解题时要注意区分菱形和矩形的对角线性质差异，避免混淆不同特殊四边形的特点。
【难度系数】
0.9
这是一道菱形性质的正误判断题，解题时先回忆菱形的相关基础性质，再将四个选项逐一对应性质验证，找出不符合性质的错误选项即可。
【解析】
结合菱形的性质逐个分析选项：
A. 菱形的对角线平分每组内角，BD是∠ABC和∠ADC的角平分线，因此∠1=∠2，结论正确，不符合题意；
B. 菱形的对角线互相垂直，因此AC⊥BD，结论正确，不符合题意；
C. 菱形的四条边长度都相等，因此AB=AD，结论正确，不符合题意；
D. 菱形的对角线仅互相垂直，长度不一定相等，只有正方形这种特殊菱形的对角线才相等，因此该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形边的性质、菱形对角线性质、菱形角平分线性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对菱形基础性质的记忆和辨析，解题时要注意区分菱形和矩形的对角线性质差异，避免混淆不同特殊四边形的特点。
【难度系数】
0.9
7. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$∠ A=60°$,$E$,$F$ 分别是 $AB$,$AD$ 的中点,$DE$,$BF$ 相交于点 $G$,连接 $BD$,$CG$,有下列结论:
① $∠ BGD=120°$;② $BG + DG = CG$;
③ $△ BDF ≌ △ CGB$;④ $S_{△ ABD} = \frac{\sqrt{3}}{4}AB^2$.
其中正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
① $∠ BGD=120°$;② $BG + DG = CG$;
③ $△ BDF ≌ △ CGB$;④ $S_{△ ABD} = \frac{\sqrt{3}}{4}AB^2$.
其中正确的有 （
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7. C
解析
【分析】
首先结合菱形的性质，由∠A=60°可推出△ABD和△BCD均为等边三角形，再结合E、F是中点的条件，利用等边三角形三线合一的性质，逐个验证4个结论是否成立：
1. 验证①：通过四边形内角和计算对顶角∠BGD的度数即可判断；
2. 验证②：先证明Rt△CDG和Rt△CBG全等，再利用30°直角三角形的边角关系推导边的数量关系即可判断；
3. 验证③：计算两个三角形的对应边长度，看是否满足全等的条件即可判断；
4. 验证④：直接利用等边三角形面积公式计算即可判断。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BCD=∠A=60°，AB//CD，AD//BC。
步骤1：判定等边三角形
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，同理△BCD是等边三角形。
步骤2：验证结论①
∵E、F分别是AB、AD的中点，根据等边三角形三线合一，得DE⊥AB，BF⊥AD，
∴∠AFG=∠AEG=90°。
在四边形AEGF中，内角和为360°，
∴∠FGE=360°-∠A-∠AFG-∠AEG=360°-60°-90°-90°=120°。
∵∠BGD与∠FGE是对顶角，
∴∠BGD=∠FGE=120°，故①正确。
步骤3：验证结论②
∵AB//CD，DE⊥AB，
∴DE⊥CD，即∠CDG=90°，同理可得∠CBG=90°。
在Rt△CDG和Rt△CBG中，$\{\begin{array}{l}CD=CB\\ CG=CG\end{array} $，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL）。
∴∠DCG=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，在Rt△CDG中，30°角对的直角边是斜边的一半，
∴CG=2DG，同理CG=2BG，
∴DG=BG。
∴BG+DG=DG+DG=2DG=CG，故②正确。
步骤4：验证结论③
设AB的长度为a，则BD=BC=a，DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$a。
等边△ABD中，高BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，G是等边△ABD的重心，
∴BG=$\frac{2}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a≠DF，两个三角形对应边不相等，故△BDF与△CGB不全等，③错误。
步骤5：验证结论④
△ABD是边长为AB的等边三角形，等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×边长^2$，
∴$S_{△ABD}=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2$，故④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，需要结合菱形和特殊三角形的性质逐一推导每个结论，解题时要注意挖掘图形中的隐含边角关系，尤其要熟练掌握等边三角形的三线合一、30°直角三角形的边角关系等常用性质。
【难度系数】
0.6
首先结合菱形的性质，由∠A=60°可推出△ABD和△BCD均为等边三角形，再结合E、F是中点的条件，利用等边三角形三线合一的性质，逐个验证4个结论是否成立：
1. 验证①：通过四边形内角和计算对顶角∠BGD的度数即可判断；
2. 验证②：先证明Rt△CDG和Rt△CBG全等，再利用30°直角三角形的边角关系推导边的数量关系即可判断；
3. 验证③：计算两个三角形的对应边长度，看是否满足全等的条件即可判断；
4. 验证④：直接利用等边三角形面积公式计算即可判断。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BCD=∠A=60°，AB//CD，AD//BC。
步骤1：判定等边三角形
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，同理△BCD是等边三角形。
步骤2：验证结论①
∵E、F分别是AB、AD的中点，根据等边三角形三线合一，得DE⊥AB，BF⊥AD，
∴∠AFG=∠AEG=90°。
在四边形AEGF中，内角和为360°，
∴∠FGE=360°-∠A-∠AFG-∠AEG=360°-60°-90°-90°=120°。
∵∠BGD与∠FGE是对顶角，
∴∠BGD=∠FGE=120°，故①正确。
步骤3：验证结论②
∵AB//CD，DE⊥AB，
∴DE⊥CD，即∠CDG=90°，同理可得∠CBG=90°。
在Rt△CDG和Rt△CBG中，$\{\begin{array}{l}CD=CB\\ CG=CG\end{array} $，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL）。
∴∠DCG=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，在Rt△CDG中，30°角对的直角边是斜边的一半，
∴CG=2DG，同理CG=2BG，
∴DG=BG。
∴BG+DG=DG+DG=2DG=CG，故②正确。
步骤4：验证结论③
设AB的长度为a，则BD=BC=a，DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$a。
等边△ABD中，高BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，G是等边△ABD的重心，
∴BG=$\frac{2}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a≠DF，两个三角形对应边不相等，故△BDF与△CGB不全等，③错误。
步骤5：验证结论④
△ABD是边长为AB的等边三角形，等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×边长^2$，
∴$S_{△ABD}=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2$，故④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，需要结合菱形和特殊三角形的性质逐一推导每个结论，解题时要注意挖掘图形中的隐含边角关系，尤其要熟练掌握等边三角形的三线合一、30°直角三角形的边角关系等常用性质。
【难度系数】
0.6
