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三、解答题
16. 如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在边$AD,BC$上,且$AE = CF$.求证:$BE // FD$.
16. 如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在边$AD,BC$上,且$AE = CF$.求证:$BE // FD$.
答案
16. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD=BC, AD // BC. \because AE=CF, \therefore DE=BF. \therefore$ 四边形$BEDF$ 是平行四边形. $\therefore BE // DF$.
解析
【分析】
要证明$BE// FD$，可通过证明四边形$BEDF$是平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质得到结论。首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，已知四边形$ABCD$是平行四边形，可得$AD// BC$且$AD=BC$；结合给出的$AE=CF$的条件，可推出$AD-AE=BC-CF$，即$DE=BF$；此时$DE$和$BF$既平行又相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$BEDF$是平行四边形，进而得到$BE// FD$的结论。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD=BC$，$AD // BC$。
$\because AE=CF$，
$\therefore DE=BF$。
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。
$\therefore BE // DF$。
【答案】
$BE// FD$，得证
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，核心是灵活运用平行四边形的性质和判定定理，解题时可从求证目标倒推所需条件，结合已知信息逐步推导即可完成证明，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.9
要证明$BE// FD$，可通过证明四边形$BEDF$是平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质得到结论。首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，已知四边形$ABCD$是平行四边形，可得$AD// BC$且$AD=BC$；结合给出的$AE=CF$的条件，可推出$AD-AE=BC-CF$，即$DE=BF$；此时$DE$和$BF$既平行又相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$BEDF$是平行四边形，进而得到$BE// FD$的结论。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD=BC$，$AD // BC$。
$\because AE=CF$，
$\therefore DE=BF$。
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。
$\therefore BE // DF$。
【答案】
$BE// FD$，得证
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，核心是灵活运用平行四边形的性质和判定定理，解题时可从求证目标倒推所需条件，结合已知信息逐步推导即可完成证明，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.9
17. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, $AB = 6, AD = 10, ∠ ABC$ 的平分线交 $AD$ 于点 $E$, 交 $CD$ 的延长线于点 $F$. 求 $DF$ 的长.
答案
17. 4
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，利用“平行线+角平分线得等腰三角形”的常见模型推导边的等量关系，再通过线段的和差计算DF的长度。第一步先根据平行四边形性质得到对应边的长度和边的平行关系；第二步结合平行线的内错角相等和角平分线定义，推导得到等腰三角形，得出CF的长度；第三步用CF减去CD的长度即可得到DF。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD=6，BC=AD=10（平行四边形对边平行且相等）
∵AB//CF
∴∠ABF=∠F（两直线平行，内错角相等）
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBF
∴∠CBF=∠F
∴CF=BC=10（等角对等边）
∴DF=CF - CD=10 - 6=4
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是掌握“平行线与角平分线组合构造等腰三角形”的常用几何模型，结合平行四边形的边的性质即可快速求解，这类模型在几何线段长度计算类题目中非常常见。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，利用“平行线+角平分线得等腰三角形”的常见模型推导边的等量关系，再通过线段的和差计算DF的长度。第一步先根据平行四边形性质得到对应边的长度和边的平行关系；第二步结合平行线的内错角相等和角平分线定义，推导得到等腰三角形，得出CF的长度；第三步用CF减去CD的长度即可得到DF。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD=6，BC=AD=10（平行四边形对边平行且相等）
∵AB//CF
∴∠ABF=∠F（两直线平行，内错角相等）
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBF
∴∠CBF=∠F
∴CF=BC=10（等角对等边）
∴DF=CF - CD=10 - 6=4
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是掌握“平行线与角平分线组合构造等腰三角形”的常用几何模型，结合平行四边形的边的性质即可快速求解，这类模型在几何线段长度计算类题目中非常常见。
【难度系数】
0.7
18. 倡导研究性学习方式，着力教材研究、习题研究，是学生提高学习能力和创新能力的有效途径.下面是一个案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题.
习题:如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,说明理由.
解答:∵在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE',点F,D,E'在一条直线上.
∴∠E'AF=90°−45°=45°=∠EAF.
又∵AE'=AE,AF=AF,
∴△AE'F≌△AEF(SAS).
∴EF=E'F=DE'+DF=BE+DF.
类比猜想:
(1) 请同学们研究:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,当∠BAD=120°,∠EAF=60°时,EF=BE+DF还成立吗?请说明理由.
(2) 在四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,当AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,∠EAF=1/2∠BAD时,EF=BE+DF还成立吗?请说明理由.
习题:如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,说明理由.
解答:∵在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE',点F,D,E'在一条直线上.
∴∠E'AF=90°−45°=45°=∠EAF.
又∵AE'=AE,AF=AF,
∴△AE'F≌△AEF(SAS).
∴EF=E'F=DE'+DF=BE+DF.
类比猜想:
(1) 请同学们研究:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,当∠BAD=120°,∠EAF=60°时,EF=BE+DF还成立吗?请说明理由.
(2) 在四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,当AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,∠EAF=1/2∠BAD时,EF=BE+DF还成立吗?请说明理由.
答案
18. （1）当$∠ BAD=120°,∠ EAF=60°$时,$EF=BE+DF$ 不成立,应为 $EF＜BE+DF$.
理由:$\because$ 在菱形 $ABCD$ 中,$∠ BAD=120°,∠ EAF=60°,\therefore AB=AD,∠ BAE+∠ DAF=60°,∠ B=∠ ADC=60°.\therefore$ 把 $△ ABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120°$ 至$△ ADE'$,如图1,连接 $E'F.\therefore ∠ EAE'=120°,∠ BAE=∠ DAE',AE'=AE,DE'=BE,∠ ADE' = ∠ B = 60°. \therefore ∠ DAF + ∠ DAE' = 60°. \therefore ∠ EAF = ∠ E'AF.$$\because$在$△ AEF$ 和$△ AE'F$ 中,$\begin{cases} AE=AE', \\ ∠ EAF=∠ E'AF, \\ AF=AF, \end{cases}$$\therefore △ AEF ≌ △ AE'F(\mathrm{SAS}).$
$\therefore EF=E'F.\because ∠ ADE'+∠ ADC=120°$,即点 $F,D,E'$ 不共线,$\therefore$ 在 $△ DE'F$中,$DE'+DF＞EF.\therefore BE+DF＞EF$.
（2）当 $AB=AD,∠ ABC+∠ ADC=180°,∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$ 时,$EF=BE+DF$ 成立.理由:$\because AB=AD,\therefore$ 如图2,把 $△ ABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转$∠ BAD$ 的度数至$△ ADE'.\therefore ∠ EAE'=∠ BAD,∠ BAE=∠ DAE',AE'=AE, DE' = BE, ∠ ADE' = ∠ ABC. \because ∠ ABC + ∠ ADC = 180°$,$\therefore ∠ ADE'+∠ ADC=180°.\therefore$ 点 $F,D,E'$ 共线.$\because ∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$,$\therefore ∠ BAE + ∠ DAF = \frac{1}{2}∠ BAD.\therefore ∠ DAF + ∠ DAE' = \frac{1}{2}∠ BAD$.
$\therefore ∠ EAF=∠ E'AF.\because$ 在 $△ AEF$ 和 $△ AE'F$ 中,$\begin{cases} AE=AE', \\ ∠ EAF=∠ E'AF, \\ AF=AF, \end{cases}$$\therefore △ AEF ≌ △ AE' F(\mathrm{SAS}).\therefore EF=E'F.\therefore EF=E'F=DE'+DF=BE+DF$.
理由:$\because$ 在菱形 $ABCD$ 中,$∠ BAD=120°,∠ EAF=60°,\therefore AB=AD,∠ BAE+∠ DAF=60°,∠ B=∠ ADC=60°.\therefore$ 把 $△ ABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120°$ 至$△ ADE'$,如图1,连接 $E'F.\therefore ∠ EAE'=120°,∠ BAE=∠ DAE',AE'=AE,DE'=BE,∠ ADE' = ∠ B = 60°. \therefore ∠ DAF + ∠ DAE' = 60°. \therefore ∠ EAF = ∠ E'AF.$$\because$在$△ AEF$ 和$△ AE'F$ 中,$\begin{cases} AE=AE', \\ ∠ EAF=∠ E'AF, \\ AF=AF, \end{cases}$$\therefore △ AEF ≌ △ AE'F(\mathrm{SAS}).$
$\therefore EF=E'F.\because ∠ ADE'+∠ ADC=120°$,即点 $F,D,E'$ 不共线,$\therefore$ 在 $△ DE'F$中,$DE'+DF＞EF.\therefore BE+DF＞EF$.
（2）当 $AB=AD,∠ ABC+∠ ADC=180°,∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$ 时,$EF=BE+DF$ 成立.理由:$\because AB=AD,\therefore$ 如图2,把 $△ ABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转$∠ BAD$ 的度数至$△ ADE'.\therefore ∠ EAE'=∠ BAD,∠ BAE=∠ DAE',AE'=AE, DE' = BE, ∠ ADE' = ∠ ABC. \because ∠ ABC + ∠ ADC = 180°$,$\therefore ∠ ADE'+∠ ADC=180°.\therefore$ 点 $F,D,E'$ 共线.$\because ∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$,$\therefore ∠ BAE + ∠ DAF = \frac{1}{2}∠ BAD.\therefore ∠ DAF + ∠ DAE' = \frac{1}{2}∠ BAD$.
$\therefore ∠ EAF=∠ E'AF.\because$ 在 $△ AEF$ 和 $△ AE'F$ 中,$\begin{cases} AE=AE', \\ ∠ EAF=∠ E'AF, \\ AF=AF, \end{cases}$$\therefore △ AEF ≌ △ AE' F(\mathrm{SAS}).\therefore EF=E'F.\therefore EF=E'F=DE'+DF=BE+DF$.
解析
【分析】
本题是几何类比探究题，解题思路可类比题干中正方形的证明方法，通过旋转构造全等三角形，将分散的BE、DF两条线段集中到同一图形中分析：
(1) 菱形场景下，先将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADE'，结合菱形的角的性质判断F、D、E'三点是否共线，再结合全等三角形性质和三角形三边关系判断EF与BE+DF的大小关系；
(2) 一般四边形场景下，同样将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数得到△ADE'，根据∠ABC+∠ADC=180°可证F、D、E'三点共线，再结合全等三角形性质推导线段关系即可。
【解析】
(1) $EF=BE+DF$不成立，应为$EF＜BE+DF$，理由如下：
∵在菱形$ABCD$中，$∠BAD=120°$，$∠EAF=60°$，
∴$AB=AD$，$∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°$，$∠B=∠ADC=60°$。
把$△ABE$绕点$A$逆时针旋转$120°$至$△ADE'$，连接$E'F$，
∴$∠EAE'=120°$，$∠BAE=∠DAE'$，$AE'=AE$，$DE'=BE$，$∠ADE'=∠B=60°$，
∴$∠DAF+∠DAE'=∠DAF+∠BAE=60°$，即$∠EAF=∠E'AF$。
在$△AEF$和$△AE'F$中：
$\begin{cases} AE=AE' \\ ∠EAF=∠E'AF \\ AF=AF \end{cases}$
∴$△AEF≌△AE'F(\mathrm{SAS})$，
∴$EF=E'F$。
∵$∠ADE'+∠ADC=60°+60°=120°≠180°$，即点$F,D,E'$不共线，
∴在$△DE'F$中，根据三角形三边关系得$DE'+DF＞E'F$，
∴$BE+DF＞EF$。
(2) $EF=BE+DF$成立，理由如下：
∵$AB=AD$，
把$△ABE$绕点$A$逆时针旋转$∠BAD$的度数至$△ADE'$，
∴$∠EAE'=∠BAD$，$∠BAE=∠DAE'$，$AE'=AE$，$DE'=BE$，$∠ADE'=∠ABC$。
∵$∠ABC+∠ADC=180°$，
∴$∠ADE'+∠ADC=180°$，
∴点$F,D,E'$共线。
∵$∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD$，
∴$∠BAE+∠DAF=\frac{1}{2}∠BAD$，
∴$∠DAF+∠DAE'=∠BAE+∠DAF=\frac{1}{2}∠BAD$，即$∠EAF=∠E'AF$。
在$△AEF$和$△AE'F$中：
$\begin{cases} AE=AE' \\ ∠EAF=∠E'AF \\ AF=AF \end{cases}$
∴$△AEF≌△AE'F(\mathrm{SAS})$，
∴$EF=E'F$，
∴$EF=E'F=DE'+DF=BE+DF$。
【答案】
(1) 不成立，$\boldsymbol{EF＜BE+DF}$；
(2) 成立，$\boldsymbol{EF=BE+DF}$。
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系
【点评】
本题以正方形半角模型为基础，延伸到菱形、一般四边形的同类线段关系探究，核心是通过旋转构造全等实现线段的转化，需要注意旋转后对应点是否共线是区分结论的关键，能有效锻炼逻辑推理和类比迁移的能力。
【难度系数】
0.6
本题是几何类比探究题，解题思路可类比题干中正方形的证明方法，通过旋转构造全等三角形，将分散的BE、DF两条线段集中到同一图形中分析：
(1) 菱形场景下，先将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADE'，结合菱形的角的性质判断F、D、E'三点是否共线，再结合全等三角形性质和三角形三边关系判断EF与BE+DF的大小关系；
(2) 一般四边形场景下，同样将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数得到△ADE'，根据∠ABC+∠ADC=180°可证F、D、E'三点共线，再结合全等三角形性质推导线段关系即可。
【解析】
(1) $EF=BE+DF$不成立，应为$EF＜BE+DF$，理由如下：
∵在菱形$ABCD$中，$∠BAD=120°$，$∠EAF=60°$，
∴$AB=AD$，$∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°$，$∠B=∠ADC=60°$。
把$△ABE$绕点$A$逆时针旋转$120°$至$△ADE'$，连接$E'F$，
∴$∠EAE'=120°$，$∠BAE=∠DAE'$，$AE'=AE$，$DE'=BE$，$∠ADE'=∠B=60°$，
∴$∠DAF+∠DAE'=∠DAF+∠BAE=60°$，即$∠EAF=∠E'AF$。
在$△AEF$和$△AE'F$中：
$\begin{cases} AE=AE' \\ ∠EAF=∠E'AF \\ AF=AF \end{cases}$
∴$△AEF≌△AE'F(\mathrm{SAS})$，
∴$EF=E'F$。
∵$∠ADE'+∠ADC=60°+60°=120°≠180°$，即点$F,D,E'$不共线，
∴在$△DE'F$中，根据三角形三边关系得$DE'+DF＞E'F$，
∴$BE+DF＞EF$。
(2) $EF=BE+DF$成立，理由如下：
∵$AB=AD$，
把$△ABE$绕点$A$逆时针旋转$∠BAD$的度数至$△ADE'$，
∴$∠EAE'=∠BAD$，$∠BAE=∠DAE'$，$AE'=AE$，$DE'=BE$，$∠ADE'=∠ABC$。
∵$∠ABC+∠ADC=180°$，
∴$∠ADE'+∠ADC=180°$，
∴点$F,D,E'$共线。
∵$∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD$，
∴$∠BAE+∠DAF=\frac{1}{2}∠BAD$，
∴$∠DAF+∠DAE'=∠BAE+∠DAF=\frac{1}{2}∠BAD$，即$∠EAF=∠E'AF$。
在$△AEF$和$△AE'F$中：
$\begin{cases} AE=AE' \\ ∠EAF=∠E'AF \\ AF=AF \end{cases}$
∴$△AEF≌△AE'F(\mathrm{SAS})$，
∴$EF=E'F$，
∴$EF=E'F=DE'+DF=BE+DF$。
【答案】
(1) 不成立，$\boldsymbol{EF＜BE+DF}$；
(2) 成立，$\boldsymbol{EF=BE+DF}$。
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系
【点评】
本题以正方形半角模型为基础，延伸到菱形、一般四边形的同类线段关系探究，核心是通过旋转构造全等实现线段的转化，需要注意旋转后对应点是否共线是区分结论的关键，能有效锻炼逻辑推理和类比迁移的能力。
【难度系数】
0.6
