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1 如图所示为一数值转换器.若开始输入$x$的值是5,可发现第1次输出的结果是8,第2次输出的结果是4,…,则第2026次输出的结果是 （
A.8
B.4
C.2
D.1
D
）A.8
B.4
C.2
D.1
答案
1. D 【解析】因为开始输入x的值是5,第1次输出的结果是8,第2次输出的结果是4,第3次输出的结果是2,第4次输出的结果是1,第5次输出的结果是4,第6次输出的结果是2,第7次输出的结果是1,第8次输出的结果是4,第9次输出的结果是2,第10次输出的结果是1,…,所以从第2次开始,输出的结果以4,2,1为一组循环. 因为(2 026－1)÷3＝675,所以第2 026次输出的结果是1.
解析
【分析】
遇到这类数值转换器求第n次输出结果的问题，首先要明确运算规则：输入x为奇数时执行x+3，x为偶数时执行$\frac{1}{2}x$。由于所求的第2026次次数较大，必然存在循环规律，因此先计算前几次的输出结果，找到循环的起始位置和循环节长度，再用总次数减去循环前的次数，除以循环节长度，根据余数就能判断对应的输出结果。
【解析】
已知初始输入x=5：
第1次输出：5是奇数，$5+3=8$；
第2次输入x=8，8是偶数，$\frac{1}{2}×8=4$，输出4；
第3次输入x=4，4是偶数，$\frac{1}{2}×4=2$，输出2；
第4次输入x=2，2是偶数，$\frac{1}{2}×2=1$，输出1；
第5次输入x=1，1是奇数，$1+3=4$，输出4；
……
观察可得：从第2次输出开始，结果以4、2、1为一个循环组依次循环，循环周期为3。
去掉不参与循环的第1次，剩余次数为$2026-1=2025$，
计算$2025÷3=675$，刚好整除，说明第2026次输出的结果是循环组的最后一个数，即1。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值，数字规律探究，有理数运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是先按照运算规则推导前几次的输出结果，准确找到循环规律，再结合周期计算目标次数对应的结果，能很好地考查学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
遇到这类数值转换器求第n次输出结果的问题，首先要明确运算规则：输入x为奇数时执行x+3，x为偶数时执行$\frac{1}{2}x$。由于所求的第2026次次数较大，必然存在循环规律，因此先计算前几次的输出结果，找到循环的起始位置和循环节长度，再用总次数减去循环前的次数，除以循环节长度，根据余数就能判断对应的输出结果。
【解析】
已知初始输入x=5：
第1次输出：5是奇数，$5+3=8$；
第2次输入x=8，8是偶数，$\frac{1}{2}×8=4$，输出4；
第3次输入x=4，4是偶数，$\frac{1}{2}×4=2$，输出2；
第4次输入x=2，2是偶数，$\frac{1}{2}×2=1$，输出1；
第5次输入x=1，1是奇数，$1+3=4$，输出4；
……
观察可得：从第2次输出开始，结果以4、2、1为一个循环组依次循环，循环周期为3。
去掉不参与循环的第1次，剩余次数为$2026-1=2025$，
计算$2025÷3=675$，刚好整除，说明第2026次输出的结果是循环组的最后一个数，即1。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值，数字规律探究，有理数运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是先按照运算规则推导前几次的输出结果，准确找到循环规律，再结合周期计算目标次数对应的结果，能很好地考查学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
2 如图,取一条长度为1的线段,将它三等分,去掉中间一段,剩下两段,这称为第一阶段;然后将剩下的两段再分别三等分,各去掉中间一段,剩下更短的四段,这称为第二阶段……将这样的操作重复下去,那么经过第十阶段后,剩下线段的长度之和为 (
A.$1-\dfrac{1}{3^{11}}$
B.$\dfrac{2^{11}}{3^{11}}$
C.$1-\dfrac{1}{3^{10}}$
D.$\dfrac{2^{10}}{3^{10}}$
D
)A.$1-\dfrac{1}{3^{11}}$
B.$\dfrac{2^{11}}{3^{11}}$
C.$1-\dfrac{1}{3^{10}}$
D.$\dfrac{2^{10}}{3^{10}}$
答案
2. D
解析
【分析】
我们可以先计算前几个操作阶段剩余的线段总长度，从中寻找规律：初始线段总长为1，每次操作时，每一段现有线段都会被三等分后去掉中间段，即每段剩余长度为原长度的$\frac{2}{3}$，因此总剩余长度为上一阶段总长度的$\frac{2}{3}$，据此可推出第n阶段的剩余总长度公式，再代入n=10即可求解。
【解析】
初始时线段总长度为1：
第一阶段操作后，剩余总长度为$1×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^1$；
第二阶段操作后，剩余总长度为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^2$；
第三阶段操作后，剩余总长度为$(\frac{2}{3})^2×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^3$；
……
由此可得规律：第n阶段操作后，剩余线段的总长度为$(\frac{2}{3})^n$。
当n=10时，剩余总长度为$(\frac{2}{3})^{10}=\frac{2^{10}}{3^{10}}$。
【答案】
D
【知识点】
乘方的应用、图形规律探究
【点评】
本题是典型的规律探究类问题，解题核心是通过前几次操作的结果归纳出通用规律，再利用规律求解特定情况的结果，侧重考查归纳推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
我们可以先计算前几个操作阶段剩余的线段总长度，从中寻找规律：初始线段总长为1，每次操作时，每一段现有线段都会被三等分后去掉中间段，即每段剩余长度为原长度的$\frac{2}{3}$，因此总剩余长度为上一阶段总长度的$\frac{2}{3}$，据此可推出第n阶段的剩余总长度公式，再代入n=10即可求解。
【解析】
初始时线段总长度为1：
第一阶段操作后，剩余总长度为$1×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^1$；
第二阶段操作后，剩余总长度为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^2$；
第三阶段操作后，剩余总长度为$(\frac{2}{3})^2×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^3$；
……
由此可得规律：第n阶段操作后，剩余线段的总长度为$(\frac{2}{3})^n$。
当n=10时，剩余总长度为$(\frac{2}{3})^{10}=\frac{2^{10}}{3^{10}}$。
【答案】
D
【知识点】
乘方的应用、图形规律探究
【点评】
本题是典型的规律探究类问题，解题核心是通过前几次操作的结果归纳出通用规律，再利用规律求解特定情况的结果，侧重考查归纳推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
3 如图所示的图形中的三个数之间均有相同的规律.根据此规律可知,图形中n的值是
2499
.答案
3. 2499
解析
【分析】
首先观察每组图形中三个数的位置特征，分步推导规律：
1. 先对比前三组上面的数和左下角的数：3对应4、5对应6、7对应8，可发现左下角的数比同组上面的数大1；
2. 再对比右下角的数和左下角的数：15=4²-1、35=6²-1、63=8²-1，可得出规律：右下角的数等于同组左下角数的平方减1；
3. 最后代入最后一组的已知数49，先求m的值，再计算n即可。
【解析】
根据已知组的数字规律计算：
1. 同组内左下角的数=上面的数+1，当上面的数为49时，$ m=49+1=50 $；
2. 验证右下角数的规律：
第一组：$ 4^2-1=16-1=15 $，符合；
第二组：$ 6^2-1=36-1=35 $，符合；
第三组：$ 8^2-1=64-1=63 $，符合；
因此$ n=m^2-1=50^2-1=2500-1=2499 $。
【答案】
2499
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方运算
【点评】
本题是典型的规律探究题，需要先观察已知组数字的位置关系，归纳出通用规律后代入计算，主要考查观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察每组图形中三个数的位置特征，分步推导规律：
1. 先对比前三组上面的数和左下角的数：3对应4、5对应6、7对应8，可发现左下角的数比同组上面的数大1；
2. 再对比右下角的数和左下角的数：15=4²-1、35=6²-1、63=8²-1，可得出规律：右下角的数等于同组左下角数的平方减1；
3. 最后代入最后一组的已知数49，先求m的值，再计算n即可。
【解析】
根据已知组的数字规律计算：
1. 同组内左下角的数=上面的数+1，当上面的数为49时，$ m=49+1=50 $；
2. 验证右下角数的规律：
第一组：$ 4^2-1=16-1=15 $，符合；
第二组：$ 6^2-1=36-1=35 $，符合；
第三组：$ 8^2-1=64-1=63 $，符合；
因此$ n=m^2-1=50^2-1=2500-1=2499 $。
【答案】
2499
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方运算
【点评】
本题是典型的规律探究题，需要先观察已知组数字的位置关系，归纳出通用规律后代入计算，主要考查观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
4 如图所示为一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成……则组成第$n$($n$是正整数)个图案的基础图形的个数为 (
A.$3n-1$
B.$3n+1$
C.$4n-1$
D.$4n$
B
)A.$3n-1$
B.$3n+1$
C.$4n-1$
D.$4n$
答案
4. B
解析
【分析】
解决这类图形规律探究题，首先先统计前几个图案的基础图形数量，观察数量和图案序号的变化关系：已知第1个图案有4个基础图形，第2个有7个，计算差值可知每增加1个图案，基础图形就新增3个，属于等差变化，既可以根据首项和公差推导第n个的数量表达式，也可以将n=1、2等特殊值代入选项排除错误答案。
【解析】
先整理已知图案的基础图形个数：
第1个图案：基础图形个数为$4=3×1+1$；
第2个图案：基础图形个数为$7=3×2+1$；
第3个图案：基础图形个数为$10=3×3+1$；
以此类推，第$n$个图案的基础图形个数为$3n+1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，解题时既可以通过分析相邻图形的数量变化推导通用规律，也可以代入特殊值快速排除错误选项，掌握规律探究的基本分析思路即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解决这类图形规律探究题，首先先统计前几个图案的基础图形数量，观察数量和图案序号的变化关系：已知第1个图案有4个基础图形，第2个有7个，计算差值可知每增加1个图案，基础图形就新增3个，属于等差变化，既可以根据首项和公差推导第n个的数量表达式，也可以将n=1、2等特殊值代入选项排除错误答案。
【解析】
先整理已知图案的基础图形个数：
第1个图案：基础图形个数为$4=3×1+1$；
第2个图案：基础图形个数为$7=3×2+1$；
第3个图案：基础图形个数为$10=3×3+1$；
以此类推，第$n$个图案的基础图形个数为$3n+1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，解题时既可以通过分析相邻图形的数量变化推导通用规律，也可以代入特殊值快速排除错误选项，掌握规律探究的基本分析思路即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
5 如图，每个图案均由边长相等的灰白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第$n$($n$为正整数)个图案中白色正方形比灰色正方形多（
A.$n$个
B.$(2n+3)$个
C.$(2n+2)$个
D.$(2n+1)$个
D
）A.$n$个
B.$(2n+3)$个
C.$(2n+2)$个
D.$(2n+1)$个
答案
5. D
解析
【分析】
解决这类图形规律探究题，可先从已知的前几个图案入手，分别统计每个图案中灰色正方形、白色正方形的数量，计算白色比灰色多的数量，观察数值规律；也可以先分别推导第n个图案中灰色正方形个数、总正方形个数的表达式，用总个数减灰色个数得到白色个数，再计算二者的差即可得到结果。
【解析】
我们先分析前3个图案的数量特征：
1. 第1个图案：
总正方形共3行3列，总数为$3×3=9$个，灰色正方形有3个，白色正方形有$9-3=6$个，白色比灰色多$6-3=3=2×1+1$个；
2. 第2个图案：
总正方形共3行5列，总数为$3×5=15$个，灰色正方形有5个，白色正方形有$15-5=10$个，白色比灰色多$10-5=5=2×2+1$个；
3. 第3个图案：
总正方形共3行7列，总数为$3×7=21$个，灰色正方形有7个，白色正方形有$21-7=14$个，白色比灰色多$14-7=7=2×3+1$个；
推导通用规律：
第n个图案中，列数为$2n+1$，总正方形个数为$3(2n+1)=6n+3$；
灰色正方形个数为$2n+1$；
白色正方形个数为$(6n+3)-(2n+1)=4n+2$；
白色正方形比灰色正方形多的个数为：$(4n+2)-(2n+1)=2n+1$。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究，整式的加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，既可以通过列举前几个图案的差值直接归纳出通用规律，也可以通过推导表达式结合整式运算得到结果，解题的核心是准确找到灰色正方形个数和总正方形个数随n变化的规律。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律探究题，可先从已知的前几个图案入手，分别统计每个图案中灰色正方形、白色正方形的数量，计算白色比灰色多的数量，观察数值规律；也可以先分别推导第n个图案中灰色正方形个数、总正方形个数的表达式，用总个数减灰色个数得到白色个数，再计算二者的差即可得到结果。
【解析】
我们先分析前3个图案的数量特征：
1. 第1个图案：
总正方形共3行3列，总数为$3×3=9$个，灰色正方形有3个，白色正方形有$9-3=6$个，白色比灰色多$6-3=3=2×1+1$个；
2. 第2个图案：
总正方形共3行5列，总数为$3×5=15$个，灰色正方形有5个，白色正方形有$15-5=10$个，白色比灰色多$10-5=5=2×2+1$个；
3. 第3个图案：
总正方形共3行7列，总数为$3×7=21$个，灰色正方形有7个，白色正方形有$21-7=14$个，白色比灰色多$14-7=7=2×3+1$个；
推导通用规律：
第n个图案中，列数为$2n+1$，总正方形个数为$3(2n+1)=6n+3$；
灰色正方形个数为$2n+1$；
白色正方形个数为$(6n+3)-(2n+1)=4n+2$；
白色正方形比灰色正方形多的个数为：$(4n+2)-(2n+1)=2n+1$。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究，整式的加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，既可以通过列举前几个图案的差值直接归纳出通用规律，也可以通过推导表达式结合整式运算得到结果，解题的核心是准确找到灰色正方形个数和总正方形个数随n变化的规律。
【难度系数】
0.7
6 如图所示为一组有规律的图案，它由若干个大小相同的基本图形组成。第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有8个圆……按此规律，第n（n为正整数）个图案中圆的个数为
$3n-1$
（用含n的代数式表示）。答案
6. $3n-1$
解析
【分析】
这是图形规律探究类题目，解题时先整理已知图案中圆的数量：第1个图案有2个圆，第2个有5个，第3个有8个。首先对比相邻两个图案圆的数量差，可发现每往后一个图案，圆的数量就固定增加3个。接下来建立数量和图案序号n的对应关系，结合首项的数值即可推导出第n个图案的圆的数量表达式。
【解析】
观察已知图案的圆的数量：
第1个图案中圆的个数：$2 = 3×1 -1$
第2个图案中圆的个数：$5 = 3×2 -1$
第3个图案中圆的个数：$8 = 3×3 -1$
……
按此规律，第n个图案中圆的个数为$3n-1$。
【答案】
$3n-1$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究题，核心考查观察、归纳的能力，解题的关键是找到圆的数量随图案序号变化的固定增量，再结合首项推导得到通用表达式。
【难度系数】
0.8
这是图形规律探究类题目，解题时先整理已知图案中圆的数量：第1个图案有2个圆，第2个有5个，第3个有8个。首先对比相邻两个图案圆的数量差，可发现每往后一个图案，圆的数量就固定增加3个。接下来建立数量和图案序号n的对应关系，结合首项的数值即可推导出第n个图案的圆的数量表达式。
【解析】
观察已知图案的圆的数量：
第1个图案中圆的个数：$2 = 3×1 -1$
第2个图案中圆的个数：$5 = 3×2 -1$
第3个图案中圆的个数：$8 = 3×3 -1$
……
按此规律，第n个图案中圆的个数为$3n-1$。
【答案】
$3n-1$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究题，核心考查观察、归纳的能力，解题的关键是找到圆的数量随图案序号变化的固定增量，再结合首项推导得到通用表达式。
【难度系数】
0.8
