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1 如图①是2026年5月的月历，用图②的“Z”字形覆盖住月历中的五个数，这五个数从小到大依次为A,B,C,D,E.数学小组的小梅和小亮想探究这五个数的和是否能被5整除.
（1）小梅探究时，设$A=a$，则$C=$
（2）小亮思考了一下，他发现设$C=a$可使计算更简单，请你根据小亮的思考，通过计算判断$A,B,C,D,E$这五个数的和是否能被5整除.
（1）小梅探究时，设$A=a$，则$C=$
a+8
，$E=$a+16
（用含$a$的代数式表示）；（2）小亮思考了一下，他发现设$C=a$可使计算更简单，请你根据小亮的思考，通过计算判断$A,B,C,D,E$这五个数的和是否能被5整除.
答案
1. (1) $a+8$ $a+16$
(2) 设$C=a$,则$D=a+7,E=a+8,B=a-7,A=a-8$. 所以$A+B+C+D+E=a-8+a-7+a+a+7+a+8=5a$. 因为$5a$能被5整除,所以这五个数的和能被5整除
(2) 设$C=a$,则$D=a+7,E=a+8,B=a-7,A=a-8$. 所以$A+B+C+D+E=a-8+a-7+a+a+7+a+8=5a$. 因为$5a$能被5整除,所以这五个数的和能被5整除
解析
【分析】
首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。（1）问中设$A=a$，先根据同行差1得到B的表达式，再结合同列差7推导C、E的表达式即可。（2）问中设$C=a$，根据“Z”字形的位置关系，分别用含a的代数式表示出A、B、D、E，再计算五个数的和，判断和是否为5的倍数即可。
【解析】
（1）设$A=a$：
B与A同行相邻，故$B=a+1$；
C在B的正下方，同列数相差7，故$C=B+7=(a+1)+7=a+8$；
D在C的正下方，故$D=C+7=(a+8)+7=a+15$；
E与D同行相邻，故$E=D+1=(a+15)+1=a+16$。
（2）设$C=a$，根据位置关系推导各数：
B在C的正上方，故$B=a-7$；
A在B的左侧，故$A=B-1=(a-7)-1=a-8$；
D在C的正下方，故$D=a+7$；
E在D的右侧，故$E=D+1=(a+7)+1=a+8$。
计算五个数的和：
$\begin{aligned}A+B+C+D+E&=(a-8)+(a-7)+a+(a+7)+(a+8)\\&=5a\end{aligned}$
$5a$是5的整数倍，因此这五个数的和能被5整除。
【答案】
（1）$a+8$；$a+16$
（2）这五个数的和能被5整除。
【知识点】
月历数字规律、列代数式、整式的加减
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查整式加减的应用，解题核心是找准图形中各数字的位置关系，正确列出代数式，再通过整式运算验证整除性。
【难度系数】
0.7
首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。（1）问中设$A=a$，先根据同行差1得到B的表达式，再结合同列差7推导C、E的表达式即可。（2）问中设$C=a$，根据“Z”字形的位置关系，分别用含a的代数式表示出A、B、D、E，再计算五个数的和，判断和是否为5的倍数即可。
【解析】
（1）设$A=a$：
B与A同行相邻，故$B=a+1$；
C在B的正下方，同列数相差7，故$C=B+7=(a+1)+7=a+8$；
D在C的正下方，故$D=C+7=(a+8)+7=a+15$；
E与D同行相邻，故$E=D+1=(a+15)+1=a+16$。
（2）设$C=a$，根据位置关系推导各数：
B在C的正上方，故$B=a-7$；
A在B的左侧，故$A=B-1=(a-7)-1=a-8$；
D在C的正下方，故$D=a+7$；
E在D的右侧，故$E=D+1=(a+7)+1=a+8$。
计算五个数的和：
$\begin{aligned}A+B+C+D+E&=(a-8)+(a-7)+a+(a+7)+(a+8)\\&=5a\end{aligned}$
$5a$是5的整数倍，因此这五个数的和能被5整除。
【答案】
（1）$a+8$；$a+16$
（2）这五个数的和能被5整除。
【知识点】
月历数字规律、列代数式、整式的加减
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查整式加减的应用，解题核心是找准图形中各数字的位置关系，正确列出代数式，再通过整式运算验证整除性。
【难度系数】
0.7
2 一个正两位数$M$，它个位上的数字是$a$，十位上的数字是$a+1$，把$M$十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新的两位数$N$，则$M+N$的值总能（
A.被3整除
B.被9整除
C.被10整除
D.被11整除
D
）A.被3整除
B.被9整除
C.被10整除
D.被11整除
答案
2. D
【解析】根据题意,得$M+N=10(a+1)+a+10a+a+1=10a+10+a+10a+a+1=22a+11=11(2a+1)$. 所以$M+N$的值总能被11整除.
【解析】根据题意,得$M+N=10(a+1)+a+10a+a+1=10a+10+a+10a+a+1=22a+11=11(2a+1)$. 所以$M+N$的值总能被11整除.
解析
【分析】
解这道题可按三步思路推导：第一步，明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字，先分别用含a的代数式表示出原两位数M和交换数位后的新两位数N；第二步，计算M与N的和，通过去括号、合并同类项化简这个和；第三步，对化简后的式子提取公因式，观察公因式对应哪个选项，即可判断M+N总能被哪个数整除。
【解析】
根据题意，原两位数M的十位数字为$a+1$，个位数字为$a$，因此$M=10(a+1)+a$；交换数位后新两位数N的十位数字为$a$，个位数字为$a+1$，因此$N=10a+(a+1)$。
计算$M+N$：
$\begin{aligned}M+N&=10(a+1)+a + 10a + (a+1)\\&=10a + 10 + a + 10a + a + 1\\&=22a + 11\\&=11(2a+1)\end{aligned}$
因为$2a+1$是整数，所以$M+N$是11的倍数，总能被11整除。
【答案】
D
【知识点】
1. 两位数的表示 2. 整式的加减 3. 整除判定
【点评】
本题是整式实际应用的典型题型，核心考察数位的代数式表示和整式化简能力，解题关键是正确根据数位规则写出两个两位数，通过化简代数式即可快速判断整除性，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解这道题可按三步思路推导：第一步，明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字，先分别用含a的代数式表示出原两位数M和交换数位后的新两位数N；第二步，计算M与N的和，通过去括号、合并同类项化简这个和；第三步，对化简后的式子提取公因式，观察公因式对应哪个选项，即可判断M+N总能被哪个数整除。
【解析】
根据题意，原两位数M的十位数字为$a+1$，个位数字为$a$，因此$M=10(a+1)+a$；交换数位后新两位数N的十位数字为$a$，个位数字为$a+1$，因此$N=10a+(a+1)$。
计算$M+N$：
$\begin{aligned}M+N&=10(a+1)+a + 10a + (a+1)\\&=10a + 10 + a + 10a + a + 1\\&=22a + 11\\&=11(2a+1)\end{aligned}$
因为$2a+1$是整数，所以$M+N$是11的倍数，总能被11整除。
【答案】
D
【知识点】
1. 两位数的表示 2. 整式的加减 3. 整除判定
【点评】
本题是整式实际应用的典型题型，核心考察数位的代数式表示和整式化简能力，解题关键是正确根据数位规则写出两个两位数，通过化简代数式即可快速判断整除性，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
3 对于任意一个三位数,把三个数位上的数字相加,如果和能被3整除,那么这个三位数就能被3整除,如312,465,522等.设$\overline{abc}$是一个三位数,且$a+b+c$可以被3整除,则$\overline{abc}=100a+10b+c=A+(a+b+c)=3B+(a+b+c)$.由于$3B$和$a+b+c$都可以被3整除,因此$\overline{abc}$就能被3整除.
(1) 上面的验证过程中,多项式$A=$
(2) 设$\overline{abcd}$是一个四位数,若$a+b+c+d$可以被9整除,则这个数可以被9整除.请说明这个结论是正确的.
(1) 上面的验证过程中,多项式$A=$
99a+9b
,多项式$B=$33a+3b
.(2) 设$\overline{abcd}$是一个四位数,若$a+b+c+d$可以被9整除,则这个数可以被9整除.请说明这个结论是正确的.
答案
3. (1) $99a+9b$ $33a+3b$
【解析】由题意,可得$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=3(33a+3b)+(a+b+c)$,所以多项式$A=99a+9b$,多项式$B=33a+3b$.
(2) $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$. 因为$9(111a+11b+c)$能被9整除,$a+b+c+d$能被9整除,所以$\overline{abcd}$能被9整除
【解析】由题意,可得$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=3(33a+3b)+(a+b+c)$,所以多项式$A=99a+9b$,多项式$B=33a+3b$.
(2) $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$. 因为$9(111a+11b+c)$能被9整除,$a+b+c+d$能被9整除,所以$\overline{abcd}$能被9整除
解析
【分析】
（1）已知三位数$\overline{abc}$可表示为$100a+10b+c$，结合等式$\overline{abc}=A+(a+b+c)$，将两式作差即可求出$A$；再对$A$逆用乘法分配律提取公因数3，剩余的整式就是$B$。（2）类比三位数能被3整除的推导思路，先将四位数$\overline{abcd}$展开为含各数位数字的代数式，再将其拆分为9的倍数与各数位数字之和的形式，根据“两个能被9整除的数相加，和仍能被9整除”的性质即可证明结论。
【解析】
（1）由$\overline{abc}=100a+10b+c=A+(a+b+c)$可得：
$A=100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b$
对$A$逆用乘法分配律得：$99a+9b=3×(33a+3b)$，结合$\overline{abc}=3B+(a+b+c)$，可知$B=33a+3b$。
（2）首先将四位数$\overline{abcd}$展开：
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$
对式子变形，拆分为9的倍数加各数位数字之和：
$1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$
其中$9(111a+11b+c)$是9的倍数，能被9整除；已知$a+b+c+d$可以被9整除，因此两部分的和$\overline{abcd}$能被9整除，结论得证。
【答案】
(1) $99a+9b$；$33a+3b$
(2) 结论正确，推导过程见上述解析。
【知识点】
多位数的代数式表示、整式变形、整除的性质
【点评】
本题侧重考查知识迁移和逻辑推导能力，核心是掌握将多位数拆分为指定数的倍数与各数位数字之和的变形方法，为后续探究数的整除规律打下基础。
【难度系数】
0.7
（1）已知三位数$\overline{abc}$可表示为$100a+10b+c$，结合等式$\overline{abc}=A+(a+b+c)$，将两式作差即可求出$A$；再对$A$逆用乘法分配律提取公因数3，剩余的整式就是$B$。（2）类比三位数能被3整除的推导思路，先将四位数$\overline{abcd}$展开为含各数位数字的代数式，再将其拆分为9的倍数与各数位数字之和的形式，根据“两个能被9整除的数相加，和仍能被9整除”的性质即可证明结论。
【解析】
（1）由$\overline{abc}=100a+10b+c=A+(a+b+c)$可得：
$A=100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b$
对$A$逆用乘法分配律得：$99a+9b=3×(33a+3b)$，结合$\overline{abc}=3B+(a+b+c)$，可知$B=33a+3b$。
（2）首先将四位数$\overline{abcd}$展开：
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$
对式子变形，拆分为9的倍数加各数位数字之和：
$1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$
其中$9(111a+11b+c)$是9的倍数，能被9整除；已知$a+b+c+d$可以被9整除，因此两部分的和$\overline{abcd}$能被9整除，结论得证。
【答案】
(1) $99a+9b$；$33a+3b$
(2) 结论正确，推导过程见上述解析。
【知识点】
多位数的代数式表示、整式变形、整除的性质
【点评】
本题侧重考查知识迁移和逻辑推导能力，核心是掌握将多位数拆分为指定数的倍数与各数位数字之和的变形方法，为后续探究数的整除规律打下基础。
【难度系数】
0.7
