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【例1】（泰州中考题）下列运算正确的是
（）
A.$x^2 · x^4 = x^8$
B.$(2x^2)^2 = 2x^4$
C.$(x^3)^2 = x^6$
D.$x^6 ÷ x^2 = x^3$
【解题思路】
（）
A.$x^2 · x^4 = x^8$
B.$(2x^2)^2 = 2x^4$
C.$(x^3)^2 = x^6$
D.$x^6 ÷ x^2 = x^3$
【解题思路】
答案
C
解析
根据整式乘除的运算法则逐一验证：
1. 对A选项：同底数幂相乘，底数不变指数相加，$x^2·x^4=x^{2+4}=x^6≠x^8$，A运算错误；
2. 对B选项：积的乘方等于各因式分别乘方，$(2x^2)^2=2^2·(x^2)^2=4x^4≠2x^4$，B运算错误；
3. 对C选项：幂的乘方，底数不变指数相乘，$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，C运算正确；
4. 对D选项：同底数幂相除，底数不变指数相减，$x^6÷x^2=x^{6-2}=x^4≠x^3$，D运算错误。
1. 对A选项：同底数幂相乘，底数不变指数相加，$x^2·x^4=x^{2+4}=x^6≠x^8$，A运算错误；
2. 对B选项：积的乘方等于各因式分别乘方，$(2x^2)^2=2^2·(x^2)^2=4x^4≠2x^4$，B运算错误；
3. 对C选项：幂的乘方，底数不变指数相乘，$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，C运算正确；
4. 对D选项：同底数幂相除，底数不变指数相减，$x^6÷x^2=x^{6-2}=x^4≠x^3$，D运算错误。
【例2】（绍兴中考题）先化简，再求值：$a(a - 3b)+(a + b)^2 - a(a - b)$，其中$a = 1,b = -\dfrac{1}{2}$。
【解题思路】 先利用完全平方公式和单项式与多项式乘法法则化简、合并同类项，再代入数值进行计算。
【解答过程】 解：原式$=a^2 - 3ab + a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + ab = a^2 + b^2$
当$a = 1,b = -\dfrac{1}{2}$时，
原式$=1^2 + (-\dfrac{1}{2})^2$
$=\dfrac{5}{4}$。
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是对乘法公式掌握不牢导致出错。
【方法规律】 整式运算的顺序是：先做整式的乘除，再做整式的加减。整式加减的实质就是合并同类项。对于化简求值题，常常先化简再求值。
【解题思路】 先利用完全平方公式和单项式与多项式乘法法则化简、合并同类项，再代入数值进行计算。
【解答过程】 解：原式$=a^2 - 3ab + a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + ab = a^2 + b^2$
当$a = 1,b = -\dfrac{1}{2}$时，
原式$=1^2 + (-\dfrac{1}{2})^2$
$=\dfrac{5}{4}$。
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是对乘法公式掌握不牢导致出错。
【方法规律】 整式运算的顺序是：先做整式的乘除，再做整式的加减。整式加减的实质就是合并同类项。对于化简求值题，常常先化简再求值。
答案
解：
原式$=a^2 - 3ab + a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + ab$
$=a^2 + b^2$
当$a=1$，$b=-\dfrac{1}{2}$时，
原式$=1^2 + (-\dfrac{1}{2})^2$
$=1 + \dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{5}{4}$
原式$=a^2 - 3ab + a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + ab$
$=a^2 + b^2$
当$a=1$，$b=-\dfrac{1}{2}$时，
原式$=1^2 + (-\dfrac{1}{2})^2$
$=1 + \dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{5}{4}$
一、填空题
1. 计算：
(1)$(-\dfrac{4}{3}xy)·(-3x^2y)^2=$
(2)$(-π)^0+2^{-3}=$
1. 计算：
(1)$(-\dfrac{4}{3}xy)·(-3x^2y)^2=$
$-12x^5y^3$
.(2)$(-π)^0+2^{-3}=$
$1\dfrac{1}{8}$
.答案
1.(1)$-12x^5y^3$ (2)$1\dfrac{1}{8}$
2. 计算：$(a^{3})^{2} · a^{3} =$
$a^9$
。答案
$a^9$
3.若$m+n=2$，$mn=1$，则$m^2 + n^2 =$
2
答案
2
4. 若$2^{10}=a^2=4^b$，则$a=$
$\pm32$
，$b=$5
。答案
$\pm32$，5
5. 已知$m$为实数，且满足$(m-2025)^2 + (2026 - m)^2 = 1$，则$(m-2025)(2026 - m) =$
0
。答案
0
6. $(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy) =$
$-6x+2y-1$
.答案
$-6x+2y-1$
7.若$[(2m - n)^2 - (2m + n)^2] ÷ A = 1$，则$A =$
$-8mn$
。答案
$-8mn$
8. 观察下列各式,你发现了什么规律？
$1×3=2^2 -1$
$2×4=3^2 -1$
$3×5=4^2 -1$
$4×6=5^2 -1$
……
$13×15=14^2 -1$
猜想:用只含一个字母的等式表示出来:
$1×3=2^2 -1$
$2×4=3^2 -1$
$3×5=4^2 -1$
$4×6=5^2 -1$
……
$13×15=14^2 -1$
猜想:用只含一个字母的等式表示出来:
$(n-1)(n+1)=n^2-1(n为整数,且n≥2)$
.答案
$(n-1)(n+1)=n^2-1(n为整数,且n≥2)$
9. 下列运算正确的是（
A.$a^2 · a^3 = a^6$
B.$a^3 ÷ a = a^3$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$(3a^2)^2 = 9a^4$
D
）A.$a^2 · a^3 = a^6$
B.$a^3 ÷ a = a^3$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$(3a^2)^2 = 9a^4$
答案
D
