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1. 计算$(2x)^3 ÷ x$的结果正确的是 （
A.$8x^2$
B.$6x^2$
C.$8x^3$
D.$6x^3$
A
）A.$8x^2$
B.$6x^2$
C.$8x^3$
D.$6x^3$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查整式的乘除运算，解题思路如下：第一步先根据积的乘方运算法则计算$(2x)^3$，第二步再根据单项式除以单项式的运算法则计算除法，最终得到结果后匹配选项即可。运算时要注意先算乘方，再算除法，严格遵循运算顺序。
【解析】
第一步：计算积的乘方，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n· b^n$，可得：
$(2x)^3=2^3· x^3=8x^3$
第二步：计算单项式除法，$x$可以写成$x^1$，根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，$m＞n$），系数和同底数幂分别相除：
$8x^3÷ x=8×(x^3÷ x^1)=8x^{3-1}=8x^2$
因此结果为$8x^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘除相关运算法则的应用，解题时需注意运算顺序，牢记各运算法则的运算规则，避免出现系数计算错误或指数运算错误的问题。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的乘除运算，解题思路如下：第一步先根据积的乘方运算法则计算$(2x)^3$，第二步再根据单项式除以单项式的运算法则计算除法，最终得到结果后匹配选项即可。运算时要注意先算乘方，再算除法，严格遵循运算顺序。
【解析】
第一步：计算积的乘方，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n· b^n$，可得：
$(2x)^3=2^3· x^3=8x^3$
第二步：计算单项式除法，$x$可以写成$x^1$，根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，$m＞n$），系数和同底数幂分别相除：
$8x^3÷ x=8×(x^3÷ x^1)=8x^{3-1}=8x^2$
因此结果为$8x^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘除相关运算法则的应用，解题时需注意运算顺序，牢记各运算法则的运算规则，避免出现系数计算错误或指数运算错误的问题。
【难度系数】
0.9
2.若$ 3^x = 4, 9^y = 7 $，则$ 3^{x - 2y} $的值为（
A.$ \dfrac{4}{7} $
B.$ \dfrac{7}{4} $
C.$ -3 $
D.$ \dfrac{2}{7} $
A
）A.$ \dfrac{4}{7} $
B.$ \dfrac{7}{4} $
C.$ -3 $
D.$ \dfrac{2}{7} $
答案
2.A
解析
【分析】
要计算$3^{x-2y}$的值，首先回忆幂的相关运算法则：第一步，逆用同底数幂的除法法则，可将$3^{x-2y}$拆分为$3^x ÷ 3^{2y}$；第二步，观察已知条件中有$9^y=7$，而$9=3^2$，因此逆用幂的乘方法则，可将$3^{2y}$转化为$(3^2)^y=9^y$，最后代入已知的$3^x=4$、$9^y=7$即可求出结果。
【解析】
解：根据同底数幂除法的逆运算可得：
$3^{x-2y}=3^x ÷ 3^{2y}$
再根据幂的乘方的逆运算，可得$3^{2y}=(3^2)^y=9^y$
将$3^x=4$，$9^y=7$代入上式：
$3^{x-2y}=4 ÷ 7 = \dfrac{4}{7}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方
【点评】
本题核心考查幂的运算性质的逆用，解题的关键是结合已知条件对待求式进行合理变形，熟练掌握幂的相关运算法则是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
要计算$3^{x-2y}$的值，首先回忆幂的相关运算法则：第一步，逆用同底数幂的除法法则，可将$3^{x-2y}$拆分为$3^x ÷ 3^{2y}$；第二步，观察已知条件中有$9^y=7$，而$9=3^2$，因此逆用幂的乘方法则，可将$3^{2y}$转化为$(3^2)^y=9^y$，最后代入已知的$3^x=4$、$9^y=7$即可求出结果。
【解析】
解：根据同底数幂除法的逆运算可得：
$3^{x-2y}=3^x ÷ 3^{2y}$
再根据幂的乘方的逆运算，可得$3^{2y}=(3^2)^y=9^y$
将$3^x=4$，$9^y=7$代入上式：
$3^{x-2y}=4 ÷ 7 = \dfrac{4}{7}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方
【点评】
本题核心考查幂的运算性质的逆用，解题的关键是结合已知条件对待求式进行合理变形，熟练掌握幂的相关运算法则是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
3. 下列变形正确的是 （
A.$8x^4y^3 ÷ 2x^2y = 4x^2y^3$
B.$(-xy)^4 ÷ (-xy)^2 = -x^2y^2$
C.$(x-y)^2 ÷ (y-x) = x-y$
D.$\frac{1}{a^p} = a^{-p}(a ≠ 0, p$是正整数$)$
D
）A.$8x^4y^3 ÷ 2x^2y = 4x^2y^3$
B.$(-xy)^4 ÷ (-xy)^2 = -x^2y^2$
C.$(x-y)^2 ÷ (y-x) = x-y$
D.$\frac{1}{a^p} = a^{-p}(a ≠ 0, p$是正整数$)$
答案
3.D
解析
【分析】
本题是整式运算及负整数指数幂的变形判断题，解题时需结合单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则、负整数指数幂的定义，对四个选项逐一计算验证，最终选出变形正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据单项式除以单项式法则，系数相除，同底数幂分别相除，可得$8x^4y^3 ÷ 2x^2y = (8÷2)x^{4-2}y^{3-1}=4x^2y^2$，与选项给出的$4x^2y^3$不符，故A错误。
B选项：同底数幂相除，底数不变指数相减，可得$(-xy)^4 ÷ (-xy)^2 = (-xy)^{4-2}=(-xy)^2=x^2y^2$，与选项给出的$-x^2y^2$不符，故B错误。
C选项：由偶次幂的性质可知$(x-y)^2=(y-x)^2$，因此$(x-y)^2 ÷ (y-x)=(y-x)^2÷(y-x)=y-x$，与选项给出的$x-y$不符，故C错误。
D选项：根据负整数指数幂的定义，当$a≠0$，$p$是正整数时，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，反过来$\frac{1}{a^p} = a^{-p}$成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法；负整数指数幂的定义
【点评】
本题侧重考查整式除法的运算规则和负指数幂的基本概念，解题时要注意运算过程中的符号处理，以及互为相反数的偶次幂相等这一性质的灵活运用，属于基础运算类题型，熟练掌握相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题是整式运算及负整数指数幂的变形判断题，解题时需结合单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则、负整数指数幂的定义，对四个选项逐一计算验证，最终选出变形正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据单项式除以单项式法则，系数相除，同底数幂分别相除，可得$8x^4y^3 ÷ 2x^2y = (8÷2)x^{4-2}y^{3-1}=4x^2y^2$，与选项给出的$4x^2y^3$不符，故A错误。
B选项：同底数幂相除，底数不变指数相减，可得$(-xy)^4 ÷ (-xy)^2 = (-xy)^{4-2}=(-xy)^2=x^2y^2$，与选项给出的$-x^2y^2$不符，故B错误。
C选项：由偶次幂的性质可知$(x-y)^2=(y-x)^2$，因此$(x-y)^2 ÷ (y-x)=(y-x)^2÷(y-x)=y-x$，与选项给出的$x-y$不符，故C错误。
D选项：根据负整数指数幂的定义，当$a≠0$，$p$是正整数时，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，反过来$\frac{1}{a^p} = a^{-p}$成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法；负整数指数幂的定义
【点评】
本题侧重考查整式除法的运算规则和负指数幂的基本概念，解题时要注意运算过程中的符号处理，以及互为相反数的偶次幂相等这一性质的灵活运用，属于基础运算类题型，熟练掌握相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 有下列算式:① $-3x^4 ÷ (-3x)^3 = -3x$；② $6a^6 ÷ 2a^2 = 3a^3$；③ $a^8b^6 ÷ (a^3b^3)^2 = a^2b$；④ $8x^{n+2}y^4 ÷ (-2xy^2)^2 = 2x^n$。其中错误的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.C
解析
【分析】
本题需要逐个验证四个算式的运算是否正确，解题时遵循“先算乘方，再算除法”的运算顺序：第一步先根据积的乘方、幂的乘方法则计算出每个式子中除数的乘方结果，第二步再按照单项式除以单项式的法则（系数相除，同底数幂分别相除，底数不变指数相减）计算除法，最后将计算结果和原式给出的结果对比，判断对错后统计错误算式的数量即可。
【解析】
我们逐个计算四个算式：
1. 计算算式①：
先算乘方：$(-3x)^3=(-3)^3· x^3=-27x^3$
再算除法：$-3x^4 ÷ (-27x^3)=\frac{-3}{-27}· x^{4-3}=\frac{1}{9}x$，原式结果为$-3x$，计算错误。
2. 计算算式②：
直接算除法：$6a^6 ÷ 2a^2=\frac{6}{2}· a^{6-2}=3a^4$，原式结果为$3a^3$，计算错误。
3. 计算算式③：
先算乘方：$(a^3b^3)^2=a^{3×2}· b^{3×2}=a^6b^6$
再算除法：$a^8b^6 ÷ a^6b^6=a^{8-6}· b^{6-6}=a^2·1=a^2$，原式结果为$a^2b$，计算错误。
4. 计算算式④：
先算乘方：$(-2xy^2)^2=(-2)^2· x^2· (y^2)^2=4x^2y^4$
再算除法：$8x^{n+2}y^4 ÷ 4x^2y^4=\frac{8}{4}· x^{(n+2)-2}· y^{4-4}=2x^n$，原式结果正确。
综上，错误的算式是①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
单项式除以单项式，积的乘方运算，同底数幂的除法
【点评】
本题重点考查整式除法相关的幂运算规则，运算时要严格遵循运算顺序，特别注意符号、系数的计算以及同底数幂指数的加减规则，避免因粗心遗漏细节出错。
【难度系数】
0.6
本题需要逐个验证四个算式的运算是否正确，解题时遵循“先算乘方，再算除法”的运算顺序：第一步先根据积的乘方、幂的乘方法则计算出每个式子中除数的乘方结果，第二步再按照单项式除以单项式的法则（系数相除，同底数幂分别相除，底数不变指数相减）计算除法，最后将计算结果和原式给出的结果对比，判断对错后统计错误算式的数量即可。
【解析】
我们逐个计算四个算式：
1. 计算算式①：
先算乘方：$(-3x)^3=(-3)^3· x^3=-27x^3$
再算除法：$-3x^4 ÷ (-27x^3)=\frac{-3}{-27}· x^{4-3}=\frac{1}{9}x$，原式结果为$-3x$，计算错误。
2. 计算算式②：
直接算除法：$6a^6 ÷ 2a^2=\frac{6}{2}· a^{6-2}=3a^4$，原式结果为$3a^3$，计算错误。
3. 计算算式③：
先算乘方：$(a^3b^3)^2=a^{3×2}· b^{3×2}=a^6b^6$
再算除法：$a^8b^6 ÷ a^6b^6=a^{8-6}· b^{6-6}=a^2·1=a^2$，原式结果为$a^2b$，计算错误。
4. 计算算式④：
先算乘方：$(-2xy^2)^2=(-2)^2· x^2· (y^2)^2=4x^2y^4$
再算除法：$8x^{n+2}y^4 ÷ 4x^2y^4=\frac{8}{4}· x^{(n+2)-2}· y^{4-4}=2x^n$，原式结果正确。
综上，错误的算式是①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
单项式除以单项式，积的乘方运算，同底数幂的除法
【点评】
本题重点考查整式除法相关的幂运算规则，运算时要严格遵循运算顺序，特别注意符号、系数的计算以及同底数幂指数的加减规则，避免因粗心遗漏细节出错。
【难度系数】
0.6
5.若$x^m y^n ÷ \frac{1}{4}x^3 y = 4x^2$，则（
A.$m=6,n=1$
B.$m=5,n=1$
C.$m=5,n=0$
D.$m=6,n=0$
B
）A.$m=6,n=1$
B.$m=5,n=1$
C.$m=5,n=0$
D.$m=6,n=0$
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路是先根据单项式除法法则计算左边的式子，再根据等式两边相同字母的指数相等列方程求解m、n的值。首先计算系数部分：1除以$\frac{1}{4}$得4，和等式右边系数一致；再分别对x、y的指数按照同底数幂相除底数不变指数相减的规则计算，令左右两边相同字母的指数对应相等，即可求出m、n。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则：系数相除，同底数幂分别相除，计算等号左侧的式子：
$x^m y^n ÷ \frac{1}{4}x^3 y = (1÷\frac{1}{4}) · x^{m-3} · y^{n-1} = 4x^{m-3}y^{n-1}$
已知该结果等于$4x^2$，因此左右两边相同字母的指数相等：
① 对x的指数：$m - 3 = 2$，解得$m = 5$
② 对y的指数：右侧式子不含y，说明y的指数为0，即$n - 1 = 0$，解得$n = 1$
因此$m=5,n=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法；零指数幂的意义
【点评】
本题是整式除法的基础应用题，解题核心是熟练掌握单项式除法的运算规则，理解等式两边同类项的指数对应相等的关系，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路是先根据单项式除法法则计算左边的式子，再根据等式两边相同字母的指数相等列方程求解m、n的值。首先计算系数部分：1除以$\frac{1}{4}$得4，和等式右边系数一致；再分别对x、y的指数按照同底数幂相除底数不变指数相减的规则计算，令左右两边相同字母的指数对应相等，即可求出m、n。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则：系数相除，同底数幂分别相除，计算等号左侧的式子：
$x^m y^n ÷ \frac{1}{4}x^3 y = (1÷\frac{1}{4}) · x^{m-3} · y^{n-1} = 4x^{m-3}y^{n-1}$
已知该结果等于$4x^2$，因此左右两边相同字母的指数相等：
① 对x的指数：$m - 3 = 2$，解得$m = 5$
② 对y的指数：右侧式子不含y，说明y的指数为0，即$n - 1 = 0$，解得$n = 1$
因此$m=5,n=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法；零指数幂的意义
【点评】
本题是整式除法的基础应用题，解题核心是熟练掌握单项式除法的运算规则，理解等式两边同类项的指数对应相等的关系，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
6. 计算:
(1)若$2^x = \frac{1}{32}$，则$x = \_\_\_\_\_\_$；
(2)若$(\frac{3}{2})^x = \frac{4}{9}$，则$x = \_\_\_\_\_\_$；
(3)$(\_\_\_\_\_\_) · 7x^3y = 28x^4y^2$；
(4)$15a^3b · (\_\_\_\_\_\_) = -5a^5b^5$。
(1)若$2^x = \frac{1}{32}$，则$x = \_\_\_\_\_\_$；
(2)若$(\frac{3}{2})^x = \frac{4}{9}$，则$x = \_\_\_\_\_\_$；
(3)$(\_\_\_\_\_\_) · 7x^3y = 28x^4y^2$；
(4)$15a^3b · (\_\_\_\_\_\_) = -5a^5b^5$。
答案
6.(1)$-5$ (2)$-2$ (3)$4xy$ (4)$-\frac{1}{3}a^2b^4$
解析
【分析】
这道题分为指数幂求值和单项式乘除两类题型，解题思路如下：
1. 前两小问：先将等式右侧的数转化为和左侧底数相同的幂的形式，利用“同底数幂相等时，指数相等”的性质求解x，用到负整数指数幂的规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。
2. 后两小问：已知两个因式的积和其中一个因式，求另一个因式用除法，即未知因式=积÷已知因式，按照单项式除法法则计算：系数相除，同底数幂分别相除，单独出现的字母连同指数作为结果的因式。
【解析】
(1) 先把右侧的$\frac{1}{32}$变形：$32=2^5$，因此$\frac{1}{32}=\frac{1}{2^5}=2^{-5}$，可得$2^x=2^{-5}$。
因为底数相同的幂相等时指数相等，所以$x=-5$。
(2) 把右侧的$\frac{4}{9}$变形：$\frac{4}{9}=(\frac{2}{3})^2=(\frac{3}{2})^{-2}$，可得$(\frac{3}{2})^x=(\frac{3}{2})^{-2}$。
因为底数相同的幂相等时指数相等，所以$x=-2$。
(3) 未知因式 = $28x^4y^2 ÷ 7x^3y$，按单项式除法计算：
系数：$28÷7=4$，$x$的幂：$x^4÷ x^3=x^{4-3}=x$，$y$的幂：$y^2÷ y=y^{2-1}=y$，
合并得未知因式为$4xy$。
(4) 未知因式 = $-5a^5b^5 ÷ 15a^3b$，按单项式除法计算：
系数：$-5÷15=-\frac{1}{3}$，$a$的幂：$a^5÷ a^3=a^{5-3}=a^2$，$b$的幂：$b^5÷ b=b^{5-1}=b^4$，
合并得未知因式为$-\frac{1}{3}a^2b^4$。
【答案】
(1)$-5$；(2)$-2$；(3)$4xy$；(4)$-\frac{1}{3}a^2b^4$
【知识点】
负整数指数幂；单项式除法运算；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查指数幂的转换规则和单项式乘除的运算法则，解题时要注意负指数的转换逻辑，以及除法运算中系数的符号、指数的加减不要出错，熟练掌握法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
这道题分为指数幂求值和单项式乘除两类题型，解题思路如下：
1. 前两小问：先将等式右侧的数转化为和左侧底数相同的幂的形式，利用“同底数幂相等时，指数相等”的性质求解x，用到负整数指数幂的规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。
2. 后两小问：已知两个因式的积和其中一个因式，求另一个因式用除法，即未知因式=积÷已知因式，按照单项式除法法则计算：系数相除，同底数幂分别相除，单独出现的字母连同指数作为结果的因式。
【解析】
(1) 先把右侧的$\frac{1}{32}$变形：$32=2^5$，因此$\frac{1}{32}=\frac{1}{2^5}=2^{-5}$，可得$2^x=2^{-5}$。
因为底数相同的幂相等时指数相等，所以$x=-5$。
(2) 把右侧的$\frac{4}{9}$变形：$\frac{4}{9}=(\frac{2}{3})^2=(\frac{3}{2})^{-2}$，可得$(\frac{3}{2})^x=(\frac{3}{2})^{-2}$。
因为底数相同的幂相等时指数相等，所以$x=-2$。
(3) 未知因式 = $28x^4y^2 ÷ 7x^3y$，按单项式除法计算：
系数：$28÷7=4$，$x$的幂：$x^4÷ x^3=x^{4-3}=x$，$y$的幂：$y^2÷ y=y^{2-1}=y$，
合并得未知因式为$4xy$。
(4) 未知因式 = $-5a^5b^5 ÷ 15a^3b$，按单项式除法计算：
系数：$-5÷15=-\frac{1}{3}$，$a$的幂：$a^5÷ a^3=a^{5-3}=a^2$，$b$的幂：$b^5÷ b=b^{5-1}=b^4$，
合并得未知因式为$-\frac{1}{3}a^2b^4$。
【答案】
(1)$-5$；(2)$-2$；(3)$4xy$；(4)$-\frac{1}{3}a^2b^4$
【知识点】
负整数指数幂；单项式除法运算；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查指数幂的转换规则和单项式乘除的运算法则，解题时要注意负指数的转换逻辑，以及除法运算中系数的符号、指数的加减不要出错，熟练掌握法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
