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7.已知一个长方体的体积为$3a^3b^5\ \mathrm{cm}^3$，它的长为$ab\ \mathrm{cm}$，宽为$\frac{3}{2}ab^2\ \mathrm{cm}$，则这个长方体的高为
$2ab^2$
$\mathrm{cm}$。答案
7.$2ab^2$
解析
【分析】
首先回忆长方体的体积计算公式：长方体体积=长×宽×高，已知体积、长和宽，要求高，需要对体积公式做逆变形，得到高=体积÷(长×宽)。接下来代入对应的代数式，按照单项式乘除的运算法则计算即可：先算长和宽的乘积得到底面积，再用体积除以底面积，计算时系数单独运算，同底数幂分别相除，最终合并得到结果。
【解析】
解：根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，可得：
$高=V÷(长×宽)$
先计算长和宽的乘积：
$ab×\frac{3}{2}ab^2=\frac{3}{2}a^2b^3$
再代入求高：
$\begin{aligned}高&=3a^3b^5÷\frac{3}{2}a^2b^3\\&=(3÷\frac{3}{2})×(a^3÷ a^2)×(b^5÷ b^3)\\&=2× a^{3-2}× b^{5-3}\\&=2ab^2\end{aligned}$
【答案】
$2ab^2$
【知识点】
长方体体积计算；单项式乘除运算；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查长方体体积公式的逆用和整式乘除的运算规则，计算时要注意系数的运算符号和同底数幂指数的加减规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
首先回忆长方体的体积计算公式：长方体体积=长×宽×高，已知体积、长和宽，要求高，需要对体积公式做逆变形，得到高=体积÷(长×宽)。接下来代入对应的代数式，按照单项式乘除的运算法则计算即可：先算长和宽的乘积得到底面积，再用体积除以底面积，计算时系数单独运算，同底数幂分别相除，最终合并得到结果。
【解析】
解：根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，可得：
$高=V÷(长×宽)$
先计算长和宽的乘积：
$ab×\frac{3}{2}ab^2=\frac{3}{2}a^2b^3$
再代入求高：
$\begin{aligned}高&=3a^3b^5÷\frac{3}{2}a^2b^3\\&=(3÷\frac{3}{2})×(a^3÷ a^2)×(b^5÷ b^3)\\&=2× a^{3-2}× b^{5-3}\\&=2ab^2\end{aligned}$
【答案】
$2ab^2$
【知识点】
长方体体积计算；单项式乘除运算；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查长方体体积公式的逆用和整式乘除的运算规则，计算时要注意系数的运算符号和同底数幂指数的加减规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
8. (1)$35a^7b^3c ÷ 7a^4bc$；(2)$-\dfrac{5}{8}a^2bc ÷ (-5ab)$；(3)$(\dfrac{1}{3}a - b)^5 ÷ (\dfrac{1}{3}a - b)^3$；(4)$3x^2y^6 ÷ (-xy^2)^2 · xz^2$。
答案
8.(1)$5a^3b^2$；(2)$\frac{1}{8}ac$；(3)$\frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{3}ab + b^2$；(4)$3xy^2z^2$。
解析
【分析】
这四道题均属于整式乘除运算类题目，解题思路如下：①单项式除以单项式运算，先将系数、同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式，仅在被除式中含有的字母，连同指数直接作为商的因式；②同底数幂相除遵循底数不变、指数相减的法则；③若算式中出现相同的多项式，可将其看作整体用同底数幂法则计算，再展开化简；④混合运算先计算乘方，再按从左到右的顺序计算乘除。
【解析】
(1) 计算$35a^7b^3c ÷ 7a^4bc$：
系数相除：$35÷7=5$
同底数幂分别相除：$a^7÷ a^4=a^{7-4}=a^3$，$b^3÷ b=b^{3-1}=b^2$，$c÷ c=1$
合并得结果：$5a^3b^2$
(2) 计算$-\dfrac{5}{8}a^2bc ÷ (-5ab)$：
系数相除：$(-\dfrac{5}{8})÷(-5)=\dfrac{1}{8}$
同底数幂分别相除：$a^2÷ a=a^{2-1}=a$，$b÷ b=1$
保留仅被除式含有的字母$c$，合并得结果：$\dfrac{1}{8}ac$
(3) 计算$(\dfrac{1}{3}a - b)^5 ÷ (\dfrac{1}{3}a - b)^3$：
把$(\dfrac{1}{3}a-b)$看作整体，同底数幂相除得：$(\dfrac{1}{3}a-b)^{5-3}=(\dfrac{1}{3}a-b)^2$
用完全平方公式展开：$(\dfrac{1}{3}a)^2-2×\dfrac{1}{3}a× b +b^2=\dfrac{1}{9}a^2-\dfrac{2}{3}ab+b^2$
(4) 计算$3x^2y^6 ÷ (-xy^2)^2 · xz^2$：
先算乘方：$(-xy^2)^2=x^2y^4$
原式化简为：$3x^2y^6 ÷ x^2y^4 · xz^2$
先算除法：$3x^2y^6÷ x^2y^4=3y^{6-4}=3y^2$
再算乘法：$3y^2· xz^2=3xy^2z^2$
【答案】
(1)$5a^3b^2$；(2)$\frac{1}{8}ac$；(3)$\frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{3}ab + b^2$；(4)$3xy^2z^2$
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法、完全平方公式
【点评】
本题是整式乘除的基础常规题，侧重考查运算法则的熟练度和整体思想的运用，计算时需注意系数符号、指数运算规则和运算顺序，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
这四道题均属于整式乘除运算类题目，解题思路如下：①单项式除以单项式运算，先将系数、同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式，仅在被除式中含有的字母，连同指数直接作为商的因式；②同底数幂相除遵循底数不变、指数相减的法则；③若算式中出现相同的多项式，可将其看作整体用同底数幂法则计算，再展开化简；④混合运算先计算乘方，再按从左到右的顺序计算乘除。
【解析】
(1) 计算$35a^7b^3c ÷ 7a^4bc$：
系数相除：$35÷7=5$
同底数幂分别相除：$a^7÷ a^4=a^{7-4}=a^3$，$b^3÷ b=b^{3-1}=b^2$，$c÷ c=1$
合并得结果：$5a^3b^2$
(2) 计算$-\dfrac{5}{8}a^2bc ÷ (-5ab)$：
系数相除：$(-\dfrac{5}{8})÷(-5)=\dfrac{1}{8}$
同底数幂分别相除：$a^2÷ a=a^{2-1}=a$，$b÷ b=1$
保留仅被除式含有的字母$c$，合并得结果：$\dfrac{1}{8}ac$
(3) 计算$(\dfrac{1}{3}a - b)^5 ÷ (\dfrac{1}{3}a - b)^3$：
把$(\dfrac{1}{3}a-b)$看作整体，同底数幂相除得：$(\dfrac{1}{3}a-b)^{5-3}=(\dfrac{1}{3}a-b)^2$
用完全平方公式展开：$(\dfrac{1}{3}a)^2-2×\dfrac{1}{3}a× b +b^2=\dfrac{1}{9}a^2-\dfrac{2}{3}ab+b^2$
(4) 计算$3x^2y^6 ÷ (-xy^2)^2 · xz^2$：
先算乘方：$(-xy^2)^2=x^2y^4$
原式化简为：$3x^2y^6 ÷ x^2y^4 · xz^2$
先算除法：$3x^2y^6÷ x^2y^4=3y^{6-4}=3y^2$
再算乘法：$3y^2· xz^2=3xy^2z^2$
【答案】
(1)$5a^3b^2$；(2)$\frac{1}{8}ac$；(3)$\frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{3}ab + b^2$；(4)$3xy^2z^2$
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法、完全平方公式
【点评】
本题是整式乘除的基础常规题，侧重考查运算法则的熟练度和整体思想的运用，计算时需注意系数符号、指数运算规则和运算顺序，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
9. 王老师给学生出了一道题:求$(2a + b)(2a - b) + 2(2a - b)^2 + (2ab^2 - 16a^2b) ÷ (-2a)$的值,其中$a = \frac{1}{2},b = -1$。同学们看了题目后发表了不同的看法,小张说:“条件$b = -1$是多余的。”小李说:“不给这个条件,就不能求出结果,所以不多余。”
(1)你认为他们谁说的有道理?为什么?
(2)若$x^m$等于本题计算的结果,试求$x^{2m}$的值。
(1)你认为他们谁说的有道理?为什么?
(2)若$x^m$等于本题计算的结果,试求$x^{2m}$的值。
答案
9.(1)小张说的有道理。原式$=12a^2$，与$b$无关。(2)9。
解析
【分析】
(1)要判断两人说法是否正确，核心是先化简原式，观察化简结果是否含有字母b：若结果不含b，说明原式的值与b无关，小张说法正确；若结果含b，则小李说法正确。化简时依次运用平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式法则，再合并同类项即可。(2)先代入a的值求出原式的计算结果，得到$x^m$的值，再利用幂的乘方的逆运算$x^{2m}=(x^m)^2$，代入计算即可得解。
【解析】
(1) 分步化简原式：
① 用平方差公式计算第一项：$(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$
② 用完全平方公式计算第二项：$2(2a - b)^2 = 2(4a^2 - 4ab + b^2) = 8a^2 - 8ab + 2b^2$
③ 用多项式除以单项式法则计算第三项：$(2ab^2 - 16a^2b) ÷ (-2a) = 2ab^2 ÷ (-2a) - 16a^2b ÷ (-2a) = -b^2 + 8ab$
④ 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(4a^2 - b^2) + (8a^2 - 8ab + 2b^2) + (-b^2 + 8ab)\\&=4a^2 + 8a^2 - b^2 + 2b^2 - b^2 - 8ab + 8ab\\&=12a^2\end{aligned}$
化简结果为$12a^2$，不含字母b，说明原式的值仅和a有关，与b无关，因此小张说的有道理。
(2) 将$a=\frac{1}{2}$代入$12a^2$得：
$12×(\frac{1}{2})^2 = 12×\frac{1}{4}=3$，即$x^m=3$
根据幂的乘方逆运算$x^{2m}=(x^m)^2$，代入得：
$x^{2m}=3^2=9$
【答案】
(1) 小张说的有道理，因为原式化简后为$12a^2$，与$b$无关；(2) 9
【知识点】
整式的混合运算，幂的乘方运算，乘法公式
【点评】
本题是整式运算的常见题型，核心解题思路是先化简再求值，避免直接代入增大运算量，需要学生熟练掌握平方差、完全平方公式及整式运算法则，能灵活运用幂的运算性质进行变形计算。
【难度系数】
0.7
(1)要判断两人说法是否正确，核心是先化简原式，观察化简结果是否含有字母b：若结果不含b，说明原式的值与b无关，小张说法正确；若结果含b，则小李说法正确。化简时依次运用平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式法则，再合并同类项即可。(2)先代入a的值求出原式的计算结果，得到$x^m$的值，再利用幂的乘方的逆运算$x^{2m}=(x^m)^2$，代入计算即可得解。
【解析】
(1) 分步化简原式：
① 用平方差公式计算第一项：$(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$
② 用完全平方公式计算第二项：$2(2a - b)^2 = 2(4a^2 - 4ab + b^2) = 8a^2 - 8ab + 2b^2$
③ 用多项式除以单项式法则计算第三项：$(2ab^2 - 16a^2b) ÷ (-2a) = 2ab^2 ÷ (-2a) - 16a^2b ÷ (-2a) = -b^2 + 8ab$
④ 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(4a^2 - b^2) + (8a^2 - 8ab + 2b^2) + (-b^2 + 8ab)\\&=4a^2 + 8a^2 - b^2 + 2b^2 - b^2 - 8ab + 8ab\\&=12a^2\end{aligned}$
化简结果为$12a^2$，不含字母b，说明原式的值仅和a有关，与b无关，因此小张说的有道理。
(2) 将$a=\frac{1}{2}$代入$12a^2$得：
$12×(\frac{1}{2})^2 = 12×\frac{1}{4}=3$，即$x^m=3$
根据幂的乘方逆运算$x^{2m}=(x^m)^2$，代入得：
$x^{2m}=3^2=9$
【答案】
(1) 小张说的有道理，因为原式化简后为$12a^2$，与$b$无关；(2) 9
【知识点】
整式的混合运算，幂的乘方运算，乘法公式
【点评】
本题是整式运算的常见题型，核心解题思路是先化简再求值，避免直接代入增大运算量，需要学生熟练掌握平方差、完全平方公式及整式运算法则，能灵活运用幂的运算性质进行变形计算。
【难度系数】
0.7
