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6. 有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们的底面边长分别是5米、3米、2米，把两堆碎石分别沉入中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉入大水池的水中，大水池的水面升高多少厘米？
答案
6. 两堆碎石的总体积:3×3×0.06+2×2×0.04=0.7(m³),碎石的总体积等于大水池上升这部分水的体积,0.7÷(5×5)=0.028(m)=2.8(cm)
解析
【分析】
解题核心是排水法原理：沉入水中的碎石体积等于水面上升部分的水的体积。我们可以按三步思考：第一步统一单位，将水面升高的厘米单位转换为米，和水池边长的单位保持一致；第二步分别计算中、小水池中碎石的体积，相加得到两堆碎石的总体积；第三步用碎石总体积除以大水池的底面积，得到大水池水面上升的高度，最后转换回厘米单位即可。
【解析】
先统一单位：
6厘米=0.06米，4厘米=0.04米
1. 计算中水池碎石体积：
中水池底面积：$3×3=9$（平方米）
碎石体积：$9×0.06=0.54$（立方米）
2. 计算小水池碎石体积：
小水池底面积：$2×2=4$（平方米）
碎石体积：$4×0.04=0.16$（立方米）
3. 计算两堆碎石总体积：
$0.54+0.16=0.7$（立方米）
4. 计算大水池水面上升高度：
大水池底面积：$5×5=25$（平方米）
上升高度：$0.7÷25=0.028$（米）
转换单位：0.028米=2.8厘米
【答案】
2.8厘米
【知识点】
排水法求体积，长方体体积计算，单位换算
【点评】
本题考查利用排水法解决实际问题的能力，解题关键是明确碎石体积等于上升部分水的体积，计算时要注意单位统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题核心是排水法原理：沉入水中的碎石体积等于水面上升部分的水的体积。我们可以按三步思考：第一步统一单位，将水面升高的厘米单位转换为米，和水池边长的单位保持一致；第二步分别计算中、小水池中碎石的体积，相加得到两堆碎石的总体积；第三步用碎石总体积除以大水池的底面积，得到大水池水面上升的高度，最后转换回厘米单位即可。
【解析】
先统一单位：
6厘米=0.06米，4厘米=0.04米
1. 计算中水池碎石体积：
中水池底面积：$3×3=9$（平方米）
碎石体积：$9×0.06=0.54$（立方米）
2. 计算小水池碎石体积：
小水池底面积：$2×2=4$（平方米）
碎石体积：$4×0.04=0.16$（立方米）
3. 计算两堆碎石总体积：
$0.54+0.16=0.7$（立方米）
4. 计算大水池水面上升高度：
大水池底面积：$5×5=25$（平方米）
上升高度：$0.7÷25=0.028$（米）
转换单位：0.028米=2.8厘米
【答案】
2.8厘米
【知识点】
排水法求体积，长方体体积计算，单位换算
【点评】
本题考查利用排水法解决实际问题的能力，解题关键是明确碎石体积等于上升部分水的体积，计算时要注意单位统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
7. 一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水深2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米。在这个杯中放入棱长为6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，并且水未溢出，这时水深多少厘米？
答案
7. 方法一:设水深x厘米。 2.5×72+6²x=72x x=5
方法二:水的体积为72×2.5=180(cm³),放入铁块后,可以将水看做底面积为72−6×6=36(cm²)的柱体,所以水深180÷36=5(cm)
方法二:水的体积为72×2.5=180(cm³),放入铁块后,可以将水看做底面积为72−6×6=36(cm²)的柱体,所以水深180÷36=5(cm)
解析
【分析】
解题的核心是抓住水的体积不变这一关键条件。思路1（算术法）：先计算原有水的体积，放入铁块后水面未淹没铁块，水的有效底面积为玻璃杯底面积减去正方体铁块的底面积，再根据“高=体积÷底面积”算出新的水深。思路2（方程法）：设此时水深为x厘米，铁块浸入水中的高度也为x厘米，根据“原有水的体积+浸入水中部分铁块的体积=玻璃杯底面积×现在的水深”列方程求解即可。
【解析】
方法一（方程法）：
设这时水深x厘米。
原有水的体积为$72×2.5$，浸入水中的铁块体积为$6×6×x$，现在水和浸入铁块的总体积为$72x$，列方程：
$2.5×72 + 6²x = 72x$
$180 + 36x = 72x$
$36x = 180$
$x = 5$
方法二（算术法）：
先计算水的体积：$72×2.5 = 180$（立方厘米）
放入铁块后水的有效底面积：$72 - 6×6 = 36$（平方厘米）
根据“高=体积÷底面积”，得水深：$180÷36 = 5$（厘米）
【答案】
5厘米
【知识点】
圆柱体积计算，等积变形，排水法求体积
【点评】
这道题是排水法问题的典型应用，解题的关键是准确找到不变量，同时注意“水面没有淹没铁块”的前提条件，准确判断放入铁块后水的底面积变化即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住水的体积不变这一关键条件。思路1（算术法）：先计算原有水的体积，放入铁块后水面未淹没铁块，水的有效底面积为玻璃杯底面积减去正方体铁块的底面积，再根据“高=体积÷底面积”算出新的水深。思路2（方程法）：设此时水深为x厘米，铁块浸入水中的高度也为x厘米，根据“原有水的体积+浸入水中部分铁块的体积=玻璃杯底面积×现在的水深”列方程求解即可。
【解析】
方法一（方程法）：
设这时水深x厘米。
原有水的体积为$72×2.5$，浸入水中的铁块体积为$6×6×x$，现在水和浸入铁块的总体积为$72x$，列方程：
$2.5×72 + 6²x = 72x$
$180 + 36x = 72x$
$36x = 180$
$x = 5$
方法二（算术法）：
先计算水的体积：$72×2.5 = 180$（立方厘米）
放入铁块后水的有效底面积：$72 - 6×6 = 36$（平方厘米）
根据“高=体积÷底面积”，得水深：$180÷36 = 5$（厘米）
【答案】
5厘米
【知识点】
圆柱体积计算，等积变形，排水法求体积
【点评】
这道题是排水法问题的典型应用，解题的关键是准确找到不变量，同时注意“水面没有淹没铁块”的前提条件，准确判断放入铁块后水的底面积变化即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在台阶面上(阴影部分)铺上地毯,至少需要多少平方米的地毯?(各级台阶等高、等宽)
答案
8. (3.5+2.1)×4=22.4(m²)
解析
【分析】
解决台阶铺地毯的面积问题时，我们可以用转化思路简化计算：所有台阶的水平部分长度相加正好等于台阶的总深度3.5m，所有台阶的竖直部分高度相加正好等于台阶的总高度2.1m，把这些面拼接后，地毯的形状可转化为长是（3.5+2.1）m、宽是4m的长方形，计算这个长方形的面积就能得到所需地毯的最小面积。
【解析】
1. 先计算地毯展开后的总长度：台阶总深度加总高度，即$3.5 + 2.1 = 5.6(\mathrm{m})$
2. 已知地毯宽度等于台阶的宽度4m，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得地毯面积为：
$5.6×4=22.4(\mathrm{m}^2)$
也可列综合算式：$(3.5+2.1)×4=22.4(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$22.4\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
平移法应用、长方形面积计算、转化思想
【点评】
本题结合生活实际场景，核心是通过平移将不规则的台阶面转化为规则的长方形来计算，避免了逐阶计算的繁琐，能有效考查学生的空间想象能力和将实际问题转化为数学问题的思维能力。
【难度系数】
0.7
解决台阶铺地毯的面积问题时，我们可以用转化思路简化计算：所有台阶的水平部分长度相加正好等于台阶的总深度3.5m，所有台阶的竖直部分高度相加正好等于台阶的总高度2.1m，把这些面拼接后，地毯的形状可转化为长是（3.5+2.1）m、宽是4m的长方形，计算这个长方形的面积就能得到所需地毯的最小面积。
【解析】
1. 先计算地毯展开后的总长度：台阶总深度加总高度，即$3.5 + 2.1 = 5.6(\mathrm{m})$
2. 已知地毯宽度等于台阶的宽度4m，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得地毯面积为：
$5.6×4=22.4(\mathrm{m}^2)$
也可列综合算式：$(3.5+2.1)×4=22.4(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$22.4\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
平移法应用、长方形面积计算、转化思想
【点评】
本题结合生活实际场景，核心是通过平移将不规则的台阶面转化为规则的长方形来计算，避免了逐阶计算的繁琐，能有效考查学生的空间想象能力和将实际问题转化为数学问题的思维能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,一个圆锥形容器中装有 50 升水,水面高度是圆锥高度的一半。这个容器最多能装多少升水?
答案
9. 水的体积占容器容积的$(\frac{1}{2})^2 × \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$,$50 ÷ \frac{1}{8}=400(\mathrm{L})$
解析
【分析】
我们先回忆圆锥的体积计算公式：圆锥体积=1/3×底面积×高。观察图形可知，容器内的水形成了一个小圆锥，它的高度是整个圆锥容器高度的1/2，由于圆锥的底面半径随高度成比例变化，所以这个小圆锥的底面半径也是整个容器底面半径的1/2。我们先推导水的体积和容器总容积的比例关系，再结合已知的水的体积，就能求出容器最多能装的水的体积。
【解析】
设圆锥容器的底面半径为$r$，高为$h$，根据圆锥体积公式，容器的总容积为：
$V_{总}=\frac{1}{3}π r^2 h$
装水部分的小圆锥高为$\frac{1}{2}h$，底面半径为$\frac{1}{2}r$，则水的体积为：
$V_{水}=\frac{1}{3}π× (\frac{1}{2}r)^2× \frac{1}{2}h$
$=\frac{1}{3}π× \frac{1}{4}r^2× \frac{1}{2}h$
$=\frac{1}{3}π r^2 h × (\frac{1}{2})^2× \frac{1}{2}$
$=V_{总}× \frac{1}{8}$
可知水的体积是容器总容积的$\frac{1}{8}$，已知水的体积为50升，因此总容积为：
$50÷ \frac{1}{8}=400(\mathrm{L})$
【答案】
400升
【知识点】
1.圆锥体积计算 2.比例关系应用
【点评】
解题的关键是找到装水的小圆锥和整个圆锥容器的半径、高的比例关系，结合体积公式推导体积比，再根据部分量求出总量，要注意圆锥体积和底面半径的平方、高都成正比，不要漏算半径的平方项。
【难度系数】
0.6
我们先回忆圆锥的体积计算公式：圆锥体积=1/3×底面积×高。观察图形可知，容器内的水形成了一个小圆锥，它的高度是整个圆锥容器高度的1/2，由于圆锥的底面半径随高度成比例变化，所以这个小圆锥的底面半径也是整个容器底面半径的1/2。我们先推导水的体积和容器总容积的比例关系，再结合已知的水的体积，就能求出容器最多能装的水的体积。
【解析】
设圆锥容器的底面半径为$r$，高为$h$，根据圆锥体积公式，容器的总容积为：
$V_{总}=\frac{1}{3}π r^2 h$
装水部分的小圆锥高为$\frac{1}{2}h$，底面半径为$\frac{1}{2}r$，则水的体积为：
$V_{水}=\frac{1}{3}π× (\frac{1}{2}r)^2× \frac{1}{2}h$
$=\frac{1}{3}π× \frac{1}{4}r^2× \frac{1}{2}h$
$=\frac{1}{3}π r^2 h × (\frac{1}{2})^2× \frac{1}{2}$
$=V_{总}× \frac{1}{8}$
可知水的体积是容器总容积的$\frac{1}{8}$，已知水的体积为50升，因此总容积为：
$50÷ \frac{1}{8}=400(\mathrm{L})$
【答案】
400升
【知识点】
1.圆锥体积计算 2.比例关系应用
【点评】
解题的关键是找到装水的小圆锥和整个圆锥容器的半径、高的比例关系，结合体积公式推导体积比，再根据部分量求出总量，要注意圆锥体积和底面半径的平方、高都成正比，不要漏算半径的平方项。
【难度系数】
0.6
