4. 把一些边长为1厘米的正方体像下图这样层层叠放。当叠放到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？

4. (1+2+3+4+5)×(1×1×6)=90(cm²)

【分析】
要计算叠放到第5层的立体图形表面积，我们可以用观察法分析规律：这种层层叠放的立体图形，从上下、前后、左右6个方向观察，每个方向看到的小正方形面的数量是相同的，都等于从1到层数的连续数之和。先算出单个小正方形面的面积，再求出6个方向的总面数，乘单个面的面积就能得到总表面积。
【解析】
单个小正方形面的面积为：$1×1=1$（平方厘米）
叠到第5层时，每个方向看到的小正方形数量为：$1+2+3+4+5=15$（个）
六个方向的总表面积为：$15×6×1=90$（平方厘米）
列综合算式计算：$(1+2+3+4+5)×(1×1×6)=15×6=90(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
90平方厘米
【知识点】
组合体表面积计算，观察物体，规律归纳
【点评】
本题重点考查空间观察能力和规律总结能力，解题的核心是发现立体图形六个方向观察到的面数相等，都为1到层数的和，避免逐个数面的繁琐和错误，掌握该方法可快速解决同类叠放立体图形的表面积问题。
【难度系数】
0.7

5. 一个长方体容器的底面是边长为 60 厘米的正方形，里面直立着一根四棱柱铁棍，高 1 米，底面为正方形，边长 15 厘米。这时容器里的水深 0.5 米。如果把铁棍向正上方提起 24 厘米，铁棍浸在水中这部分有多少厘米？

5. 水的体积为(60²−15²)×50=168750(cm³)。将铁棍向正上方提起后，铁棍下方水的体积为 60² × 24 = 86400（cm³），所以铁棍浸在水中这部分高(168750−86400)÷(60²−15²)=24.4(cm)

【分析】
这道题的核心解题突破口是水的总体积始终不变，我们可以分三步思考：第一步先计算容器中水的总体积，因为初始状态铁棍浸在水中，所以水的底面积是容器底面积减去铁棍的底面积，再乘初始水深就能得到水的总体积；第二步，当铁棍向上提起24厘米后，铁棍下方24厘米的区域完全被水占据，先算出这部分水的体积；第三步，用总水体积减去这部分的体积，得到剩余和铁棍共存的水的体积，这部分水的底面积依然是容器底面积减铁棍底面积，用这部分水的体积除以对应底面积，就能得到铁棍浸在水中的高度。
【解析】
先统一单位：0.5米=50厘米
1. 计算水的总体积：
容器底面积：$60×60=3600$（平方厘米）
铁棍底面积：$15×15=225$（平方厘米）
水的总体积：$(3600-225)×50=3375×50=168750$（立方厘米）
2. 计算铁棍提起24厘米后，下方全是水的部分的体积：
$3600×24=86400$（立方厘米）
3. 计算铁棍浸在水中的高度：
剩余和铁棍共存的水的体积：$168750-86400=82350$（立方厘米）
浸湿高度：$82350÷(3600-225)=82350÷3375=24.4$（厘米）
【答案】
24.4厘米
【知识点】
长方体体积计算，浸没问题，体积不变原理
【点评】
本题属于液面变化类的立体几何应用题，解题的关键是抓住水的体积不变的隐含条件，将提棍后的水体拆分为无铁棍和有铁棍的两部分分别计算，就能快速理清数量关系，避免误直接用水深减去提起高度的错误。
【难度系数】
0.6