1. (★)如图,张伯伯准备把长为 m m,宽为a m 的长方形鱼塘进行扩建,使得长增加n m,宽增加b m.他用了三种方法求出扩建后的鱼塘面积.

方法一:扩建后的鱼塘可以看成长为$(m+n)$ m、宽为$(a+b)$ m 的长方形,所以面积为________ m².
方法二:扩建后的鱼塘面积可以看成长为$(a+b)$ m、宽为 m m,与长为$(a+b)$ m、宽为 n m 的两个长方形的面积和,所以面积为[______ + ______] m².
方法三:扩建后的鱼塘面积可以看成四个小长方形的面积和,所以面积为( ) m².
因此,可得________ ______.上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法.

解：
方法一：$\boldsymbol{(m+n)(a+b)}$
方法二：$\boldsymbol{m(a+b)}$；$\boldsymbol{n(a+b)}$
方法三：$\boldsymbol{ma+mb+na+nb}$
因此，可得 $\boldsymbol{(m+n)(a+b) = m(a+b) + n(a+b) = ma + mb + na + nb}$。

【分析】
本题利用“同一图形用不同方式计算面积，结果相等”的等积思想推导多项式乘多项式的法则，解题思路如下：1. 方法一：先确定扩建后大长方形的长和宽，直接用长方形面积公式“面积=长×宽”列式；2. 方法二：将大长方形沿水平方向拆分为左右两个长方形，二者长均为$(a+b)$，宽分别为$m$、$n$，分别计算面积后求和即可；3. 方法三：将大长方形拆分为四个小长方形，分别计算每个小长方形的面积后求和；4. 由于三种方法计算的是同一个图形的面积，因此三个表达式相等，即可得到多项式乘多项式的运算公式。
【解析】
1. 方法一：扩建后大长方形的长为$(m+n)\ \mathrm{m}$，宽为$(a+b)\ \mathrm{m}$，根据长方形面积公式可得面积为$(m+n)(a+b)\ \mathrm{m}^2$。
2. 方法二：拆分得到的左侧长方形长为$(a+b)\ \mathrm{m}$、宽为$m\ \mathrm{m}$，面积为$m(a+b)\ \mathrm{m}^2$；右侧长方形长为$(a+b)\ \mathrm{m}$、宽为$n\ \mathrm{m}$，面积为$n(a+b)\ \mathrm{m}^2$，因此总面积为$[m(a+b)+n(a+b)]\ \mathrm{m}^2$。
3. 方法三：四个小长方形的面积分别为$ma\ \mathrm{m}^2$、$mb\ \mathrm{m}^2$、$na\ \mathrm{m}^2$、$nb\ \mathrm{m}^2$，求和可得总面积为$(ma+mb+na+nb)\ \mathrm{m}^2$。
4. 三种方法表示的是同一个大长方形的面积，因此可得等式：$(m+n)(a+b) = m(a+b) + n(a+b) = ma + mb + na + nb$。
【答案】
方法一：$\boldsymbol{(m+n)(a+b)}$
方法二：$\boldsymbol{m(a+b)}$；$\boldsymbol{n(a+b)}$
方法三：$\boldsymbol{ma+mb+na+nb}$
因此可得：$\boldsymbol{(m+n)(a+b) = m(a+b) + n(a+b) = ma + mb + na + nb}$
【知识点】
长方形面积计算；等积法；多项式乘多项式
【点评】
本题借助几何图形的面积推导多项式乘多项式的运算法则，将代数运算与几何图形结合，能帮助我们直观理解整式乘法的含义，属于基础概念应用题，熟练掌握长方形面积公式即可轻松作答。
【难度系数】
0.9

2. (★)$(m+n)(a+b)=$______.
一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘________,再把所得的________相加.

解：
$(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb$
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

【分析】
本题包含多项式乘多项式的基础计算和法则填空两类问题，解题思路如下：1. 计算$(m+n)(a+b)$的展开式时，先回忆多项式乘多项式的运算规则，将第一个多项式的两项分别与第二个多项式的两项相乘，再把所有乘积相加即可得到结果；2. 法则填空部分直接对应多项式乘多项式的运算规则原文填写即可。
【解析】
计算$(m+n)(a+b)$：
根据多项式乘多项式法则，先用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，即：
$m× a + m× b + n× a + n× b$
整理后得：$ma+mb+na+nb$
根据多项式与多项式相乘的法则原文：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。因此后两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
$ma+mb+na+nb$；另一个多项式的每一项；积
【知识点】
多项式乘多项式法则；整式的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考查对多项式乘多项式运算法则的记忆和基础应用，属于必得分的基础题，熟练掌握相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9

3. (★)计算：
(1)$(x+1)(x+2)=$；
(2)$(x-2)(2x+1)=$。

(1) $\boldsymbol{x^2+3x+2}$；(2) $\boldsymbol{2x^2-3x-2}$

【分析】
本题考查多项式与多项式的乘法运算，解题核心是运用多项式乘多项式的法则：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到最终结果。计算过程中要注意不要漏乘任意一项，同时要准确识别每项的符号，避免符号运算出错。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(x+1)(x+2)&=x· x + x·2 + 1· x + 1×2\\&=x^2 + 2x + x + 2\\&=x^2+3x+2\end{aligned}$
(2) 同理按照运算法则计算：
$\begin{aligned}(x-2)(2x+1)&=x·2x + x·1 + (-2)·2x + (-2)×1\\&=2x^2 + x - 4x -2\\&=2x^2-3x-2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x^2+3x+2}$；(2) $\boldsymbol{2x^2-3x-2}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查多项式乘多项式的运算法则，计算时要注意不要漏乘项，带负号的项相乘时要准确判断运算符号，合并同类项时系数计算要细心。
【难度系数】
0.9

4. (★)填空：
$(2x-5y)(3x-y)=2x· 3x+2x· \_\_\_\_\_\_ + (-5y)· 3x+(-5y)· \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_.$

解：
根据多项式乘多项式的运算法则：
$\begin{aligned}(2x-5y)(3x-y)&= 2x· 3x+2x· \boldsymbol{(-y)} + (-5y)· 3x+(-5y)· \boldsymbol{(-y)}\\&=6x^2 -2xy -15xy +5y^2\\&=6x^2 -17xy +5y^2\end{aligned}$
答案依次为：$\boldsymbol{-y}$；$\boldsymbol{-y}$；$\boldsymbol{6x^2 -17xy +5y^2}$。

【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题时首先回忆多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。首先明确第二个多项式$3x-y$的两项分别是$3x$和$-y$，因此第一个多项式的$2x$和$-5y$要分别与这两项相乘，相乘时注意要带上每一项的符号，最后将得到的积合并同类项即可得到最终化简结果。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则：
$\begin{aligned}(2x-5y)(3x-y)&= 2x· 3x+2x· (-y) + (-5y)· 3x+(-5y)· (-y)\\&=6x^2 -2xy -15xy +5y^2\\&=6x^2 -17xy +5y^2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-y}$；$\boldsymbol{-y}$；$\boldsymbol{6x^2 -17xy +5y^2}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，解题的关键是牢记多项式乘多项式的运算规则，运算时要注意每项的符号，避免出现符号错误，同时合并同类项时要准确计算同类项的系数和。
【难度系数】
0.8

5. (★)计算$(2x-1)(5x+2)$的结果是
【 】

A.$10x^2 - 2$
B.$10x^2 -5x -2$
C.$10x^2 +4x -2$
D.$10x^2 -x -2$

D

【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则：用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所有的乘积相加，运算过程中要注意每一项的符号，最后合并同类项得到最简结果，再匹配选项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的法则计算：
$\begin{aligned}(2x-1)(5x+2)&=2x·5x + 2x·2 + (-1)·5x + (-1)·2\\&=10x^2 + 4x -5x -2\\&=10x^2 -x -2\end{aligned}$
因此计算结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对多项式乘法法则的掌握，运算时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断每一项的符号，合并同类项时同类项的系数计算要准确，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8

6. (★)计算：
(1)$(3m-2n)^2$；
(2)$(x-y)(2x+y-3)$.

解：
(1) 原式$=(3m)^2 - 2· 3m· 2n + (2n)^2$
$=9m^2 -12mn +4n^2$
(2) 原式$=x·(2x+y-3) - y·(2x+y-3)$
$=2x^2 + xy - 3x -2xy -y^2 +3y$
$=2x^2 -xy -3x -y^2 +3y$

【分析】
（1）第(1)小题是两个整式差的平方形式，符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构特征，解题时可将$3m$看作公式中的$a$，$2n$看作公式中的$b$，直接代入公式展开化简即可。
（2）第(2)小题是多项式乘多项式运算，根据多项式乘法法则，需将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，最后合并同类项得到结果，运算时要注意每项的符号不要出错。
【解析】
(1) 原式$=(3m)^2 - 2· 3m· 2n + (2n)^2$
$=9m^2 -12mn +4n^2$
(2) 原式$=x·(2x+y-3) - y·(2x+y-3)$
$=2x^2 + xy - 3x -2xy -y^2 +3y$
$=2x^2 -xy -3x -y^2 +3y$
【答案】
(1) $9m^2 -12mn +4n^2$
(2) $2x^2 -xy -3x -y^2 +3y$
【知识点】
完全平方公式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
这两道题是整式乘法的常规基础题，难度不大。解题时要注意：应用完全平方公式时不要遗漏系数的平方项以及中间项的2倍系数；多项式乘多项式展开时要注意符号的正负，不要出现漏乘的情况，最后要确认所有同类项都已合并。
【难度系数】
0.8

7. (★)先化简,再求值:$(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)$,其中$x=-1,y=2$.

解：
先展开多项式：
$\begin{aligned}&(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)\\=&x^2+3xy-2xy-6y^2-(2x^2-8xy-xy+4y^2)\\=&x^2+xy-6y^2-2x^2+9xy-4y^2\\=&-x^2+10xy-10y^2\end{aligned}$
将$x=-1$，$y=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}&-(-1)^2 + 10×(-1)×2 -10×2^2\\=&-1 -20 -40\\=&-61\end{aligned}$
最终结果为$-61$。

【分析】
本题是整式化简求值类基础题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，利用多项式乘多项式的运算法则分别计算两个乘积项，再通过去括号、合并同类项将原式化为最简形式，可减少后续计算量、降低出错概率；第二步代入已知的x、y的取值，按照有理数运算顺序计算出最终结果即可。解题时需重点注意去括号时的符号变化，以及合并同类项时系数的运算规则。
【解析】
解：先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简：
$\begin{aligned}&(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)\\=&x^2+3xy-2xy-6y^2-(2x^2-8xy-xy+4y^2)\\=&x^2+xy-6y^2-2x^2+9xy-4y^2\\=&-x^2+10xy-10y^2\end{aligned}$
将$x=-1$，$y=2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}&-(-1)^2 + 10×(-1)×2 -10×2^2\\=&-1 -20 -40\\=&-61\end{aligned}$
【答案】
$-61$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题型，重点考查整式乘法与整式加减的运算能力，解题时要格外注意去括号的符号变化，代入数值计算时要遵循先乘方、再乘法、最后加减的运算顺序，避免因符号或运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8

8. (★★)填空：
$(x+3)(x+4)=$；
$(x-3)(x-4)=$；
$(x-3)(x+4)=$；
$(x+3)(x-4)=$。
观察以上四个等式，用式子表示你发现的规律：。
运用你发现的规律直接写出下列式子的结果：
$(x-3)(x-5)=$；
$(x+4)(x-6)=$。

解：
$(x+3)(x+4)=x^2+7x+12$；
$(x-3)(x-4)=x^2-7x+12$；
$(x-3)(x+4)=x^2+x-12$；
$(x+3)(x-4)=x^2-x-12$。
规律：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$。
$(x-3)(x-5)=x^2-8x+15$；
$(x+4)(x-6)=x^2-2x-24$。

【分析】
解题时首先回忆多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，据此先计算出前四个式子的结果；接下来观察四个式子的左右两边，分析结果中一次项系数、常数项与原式两个因式中常数项的关系，即可总结出通用规律；最后直接套用总结出的规律，快速计算后两个式子的结果即可。
【解析】
1. 计算前四个式子：
(1) $(x+3)(x+4) = x· x + x·4 + 3· x + 3×4 = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 +7x +12$
(2) $(x-3)(x-4) = x· x + x·(-4) + (-3)· x + (-3)×(-4) = x^2 -4x -3x +12 = x^2 -7x +12$
(3) $(x-3)(x+4) = x· x + x·4 + (-3)· x + (-3)×4 = x^2 +4x -3x -12 = x^2 +x -12$
(4) $(x+3)(x-4) = x· x + x·(-4) + 3· x + 3×(-4) = x^2 -4x +3x -12 = x^2 -x -12$
2. 总结规律：
观察上述式子，左边都是形如$(x+a)(x+b)$的整式乘法，右边二次项为$x^2$，一次项系数为$a+b$，常数项为$ab$，因此规律为：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
3. 运用规律计算：
(1) 对于$(x-3)(x-5)$，对应$a=-3$，$b=-5$，则$a+b=-8$，$ab=15$，因此结果为$x^2 -8x +15$
(2) 对于$(x+4)(x-6)$，对应$a=4$，$b=-6$，则$a+b=-2$，$ab=-24$，因此结果为$x^2 -2x -24$
【答案】
$x^2+7x+12$；$x^2-7x+12$；$x^2+x-12$；$x^2-x-12$；$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$；$x^2-8x+15$；$x^2-2x-24$
【知识点】
多项式乘多项式法则；规律探究与归纳；整式乘法运算
【点评】
本题考查整式乘法的基础运算和规律归纳能力，通过基础运算总结出的通用公式，能帮助我们简化同类型整式乘法的计算步骤，提升运算效率，是整式乘法中非常实用的基础规律。
【难度系数】
0.85