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例1 用计算器计算$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的结果(精确到0.01)是()
A.0.30
B.0.31
C.0.32
D.0.33
[点拨] 首先用计算器求出$\sqrt{3}$,$\sqrt{2}$的近似值,再算出$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的近似值,结果精确到0.01即可。
[解] 因为$\sqrt{3}\approx1.732$,$\sqrt{2}\approx1.414$,
所以$\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx1.732-1.414=0.318\approx0.32$,
故选C。
A.0.30
B.0.31
C.0.32
D.0.33
[点拨] 首先用计算器求出$\sqrt{3}$,$\sqrt{2}$的近似值,再算出$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的近似值,结果精确到0.01即可。
[解] 因为$\sqrt{3}\approx1.732$,$\sqrt{2}\approx1.414$,
所以$\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx1.732-1.414=0.318\approx0.32$,
故选C。
答案
C
解析
【分析】
要计算$\sqrt{3}-\sqrt{2}$并精确到0.01，首先需借助计算器分别得到$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的近似值，为保证最终结果准确，取近似值时要比要求的精确度多保留1位（即保留到千分位），再将两个近似值相减，最后按四舍五入规则把结果精确到0.01，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：用计算器计算可得：$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{2}\approx1.414$
代入计算得：$\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx1.732-1.414=0.318$
将0.318精确到0.01，千分位数字为8，大于5需向百分位进1，得0.32。
故选C
【答案】
C
【知识点】
计算器开方；近似数取值；实数减法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查计算器开方操作和近似数的取舍规则，解题时注意中间运算的近似值要比最终要求的精确度多保留一位，可有效降低计算误差。
【难度系数】
0.85
要计算$\sqrt{3}-\sqrt{2}$并精确到0.01，首先需借助计算器分别得到$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的近似值，为保证最终结果准确，取近似值时要比要求的精确度多保留1位（即保留到千分位），再将两个近似值相减，最后按四舍五入规则把结果精确到0.01，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：用计算器计算可得：$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{2}\approx1.414$
代入计算得：$\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx1.732-1.414=0.318$
将0.318精确到0.01，千分位数字为8，大于5需向百分位进1，得0.32。
故选C
【答案】
C
【知识点】
计算器开方；近似数取值；实数减法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查计算器开方操作和近似数的取舍规则，解题时注意中间运算的近似值要比最终要求的精确度多保留一位，可有效降低计算误差。
【难度系数】
0.85
|变式训练1| 利用计算器计算：$\sqrt{18}+\sqrt[3]{6}\approx$
6.06
（精确到0.01）。答案
6.06
解析
【分析】
这道题要求计算算术平方根与立方根的和并精确到0.01，解题思路是先分别利用计算器求出$\sqrt{18}$和$\sqrt[3]{6}$的近似值，为了保证最终结果的精确度，中间计算时需比要求的精确位数多保留1位小数，再将两个近似值相加，最后对求和结果按四舍五入法保留两位小数即可。
【解析】
1. 用计算器计算$\sqrt{18}$的近似值，可得$\sqrt{18}\approx4.2426$；
2. 用计算器计算$\sqrt[3]{6}$的近似值，可得$\sqrt[3]{6}\approx1.8171$；
3. 计算两个近似值的和：$4.2426+1.8171=6.0597$；
4. 将结果精确到0.01，对千分位的9进行四舍五入，最终结果为6.06。
【答案】
6.06
【知识点】
计算器开方运算、近似数的精确度
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对计算器开方功能的使用，解题时注意中间运算过程多保留1位小数，可避免因中间计算的舍入误差导致最终结果不符合精确度要求。
【难度系数】
0.9
这道题要求计算算术平方根与立方根的和并精确到0.01，解题思路是先分别利用计算器求出$\sqrt{18}$和$\sqrt[3]{6}$的近似值，为了保证最终结果的精确度，中间计算时需比要求的精确位数多保留1位小数，再将两个近似值相加，最后对求和结果按四舍五入法保留两位小数即可。
【解析】
1. 用计算器计算$\sqrt{18}$的近似值，可得$\sqrt{18}\approx4.2426$；
2. 用计算器计算$\sqrt[3]{6}$的近似值，可得$\sqrt[3]{6}\approx1.8171$；
3. 计算两个近似值的和：$4.2426+1.8171=6.0597$；
4. 将结果精确到0.01，对千分位的9进行四舍五入，最终结果为6.06。
【答案】
6.06
【知识点】
计算器开方运算、近似数的精确度
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对计算器开方功能的使用，解题时注意中间运算过程多保留1位小数，可避免因中间计算的舍入误差导致最终结果不符合精确度要求。
【难度系数】
0.9
例2 借助计算器计算得到以下结果：
$\sqrt{11 - 2}=3$；
$\sqrt{1111 - 22}=33$；
$\sqrt{111111 - 222}=333$；
$\sqrt{11111111 - 2222}=3333$。
仔细观察上面几道算式及其计算结果，利用你发现的规律填空。
[点拨] 此题考查数的开方，解题的关键是得出规律，即根号内被开方数是$2n$个数字1和$n$个数字2的差，结果为$n$个数字3。
[解]
故答案为$33···3$。
(2) $\sqrt{11···1 - 22···2}=33···3$。
故答案为$33···3$。
变式训练2 (1)利用计算器求下列各式的值：
①$\sqrt{9×9 +19}=$
②$\sqrt{99×99 +199}=$
③$\sqrt{999×999 +1999}=$
④$\sqrt{9999×9999 +19999}=$
(2)观察上面算式的结果，你能发现什么规律？利用你发现的规律直接写出下题的结果。
$\sqrt{11 - 2}=3$；
$\sqrt{1111 - 22}=33$；
$\sqrt{111111 - 222}=333$；
$\sqrt{11111111 - 2222}=3333$。
仔细观察上面几道算式及其计算结果，利用你发现的规律填空。
[点拨] 此题考查数的开方，解题的关键是得出规律，即根号内被开方数是$2n$个数字1和$n$个数字2的差，结果为$n$个数字3。
[解]
故答案为$33···3$。
(2) $\sqrt{11···1 - 22···2}=33···3$。
故答案为$33···3$。
变式训练2 (1)利用计算器求下列各式的值：
①$\sqrt{9×9 +19}=$
10
；②$\sqrt{99×99 +199}=$
100
；③$\sqrt{999×999 +1999}=$
1000
；④$\sqrt{9999×9999 +19999}=$
10000
。(2)观察上面算式的结果，你能发现什么规律？利用你发现的规律直接写出下题的结果。
答案
解:(1)①$\sqrt{9×9+19}=10=10^{1}$；
②$\sqrt{99×99+199}=100=10^{2}$；
③$\sqrt{999×999+1 999}=1 000=10^{3}$；
④$\sqrt{9 999×9 999+19 999}=10 000=10^{4}$。
(2)$10^{n}$
②$\sqrt{99×99+199}=100=10^{2}$；
③$\sqrt{999×999+1 999}=1 000=10^{3}$；
④$\sqrt{9 999×9 999+19 999}=10 000=10^{4}$。
(2)$10^{n}$
解析
【分析】
解题分为两步：第一步解决第(1)小问，按照四则运算顺序，先计算根号内的乘法，再计算加法，最后用计算器求所得和的算术平方根，就能得到四个式子的结果；第二步解决第(2)小问，观察第(1)问四个式子中被开方数里9的个数和计算结果的对应关系，归纳出通用规律即可。
【解析】
(1) ① 先计算根号内的运算：$9×9+19=81+19=100$，再求算术平方根：$\sqrt{100}=10$；
② 先计算根号内的运算：$99×99+199=9801+199=10000$，再求算术平方根：$\sqrt{10000}=100$；
③ 先计算根号内的运算：$999×999+1999=998001+1999=1000000$，再求算术平方根：$\sqrt{1000000}=1000$；
④ 先计算根号内的运算：$9999×9999+19999=99980001+19999=100000000$，再求算术平方根：$\sqrt{100000000}=10000$；
(2) 观察上述结果可发现：若被开方数中相乘的两个数是由n个9组成的数，后续相加的数是由1后面带n个9组成的数，最终计算结果为$10^n$。
【答案】
(1) ①$10$；②$100$；③$1000$；④$10000$
(2) $10^n$
【知识点】
用计算器开方、算术平方根计算、规律探究
【点评】
本题先通过计算器计算具体的算术平方根，再引导学生归纳数字规律，既巩固了开方运算的基础操作，又锻炼了观察、归纳的逻辑思维能力，体现了从特殊到一般的数学研究方法。
【难度系数】
0.8
解题分为两步：第一步解决第(1)小问，按照四则运算顺序，先计算根号内的乘法，再计算加法，最后用计算器求所得和的算术平方根，就能得到四个式子的结果；第二步解决第(2)小问，观察第(1)问四个式子中被开方数里9的个数和计算结果的对应关系，归纳出通用规律即可。
【解析】
(1) ① 先计算根号内的运算：$9×9+19=81+19=100$，再求算术平方根：$\sqrt{100}=10$；
② 先计算根号内的运算：$99×99+199=9801+199=10000$，再求算术平方根：$\sqrt{10000}=100$；
③ 先计算根号内的运算：$999×999+1999=998001+1999=1000000$，再求算术平方根：$\sqrt{1000000}=1000$；
④ 先计算根号内的运算：$9999×9999+19999=99980001+19999=100000000$，再求算术平方根：$\sqrt{100000000}=10000$；
(2) 观察上述结果可发现：若被开方数中相乘的两个数是由n个9组成的数，后续相加的数是由1后面带n个9组成的数，最终计算结果为$10^n$。
【答案】
(1) ①$10$；②$100$；③$1000$；④$10000$
(2) $10^n$
【知识点】
用计算器开方、算术平方根计算、规律探究
【点评】
本题先通过计算器计算具体的算术平方根，再引导学生归纳数字规律，既巩固了开方运算的基础操作，又锻炼了观察、归纳的逻辑思维能力，体现了从特殊到一般的数学研究方法。
【难度系数】
0.8
