1. 用计算器求$\sqrt[3]{10}$的值时，按键顺序是（）

B

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确计算器开立方的操作逻辑：计算器上的“√”按键默认是开平方功能，要实现开立方，需要先通过第二功能键“2ndF”切换“√”键的功能为开立方，之后输入被开方数，最后按等号得出结果，我们只需对照这个操作顺序匹配选项即可。
【解析】
用计算器求$\sqrt[3]{10}$的步骤如下：
1. 先按第二功能键$\boxed{2ndF}$，切换开方键的功能；
2. 再按开方键$\boxed{\sqrt{}}$，此时该键对应开立方功能；
3. 输入被开方数$\boxed{10}$；
4. 最后按$\boxed{=}$键，即可得到结果。
因此符合的按键顺序是选项B。
【答案】
B
【知识点】
计算器开立方，按键顺序操作
【点评】
本题主要考查使用计算器进行开立方运算的操作方法，解题关键是明确第二功能键的作用，理清开立方的操作先后顺序，属于基础操作类题型。
【难度系数】
0.8

2.用计算器依次按键$\sqrt{}$，3，=，得到的结果最接近()

A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8

C

【分析】
首先明确按键操作对应的是求$\sqrt{3}$的近似值，解题可从两个方向思考：一是直接通过计算器得到$\sqrt{3}$的近似值，再对比各选项找最接近的数；二是通过平方运算反向验证，计算每个选项的平方，对比其与3的差值，差值越小说明对应的数越接近$\sqrt{3}$。
【解析】
按键$\sqrt{}$、3、=对应的运算为求3的算术平方根，即计算$\sqrt{3}$的值。
我们通过平方验证的方法判断：
1. 计算各选项的平方：
A选项：$1.5^2=2.25$，与3的差值为$3-2.25=0.75$
B选项：$1.6^2=2.56$，与3的差值为$3-2.56=0.44$
C选项：$1.7^2=2.89$，与3的差值为$3-2.89=0.11$
D选项：$1.8^2=3.24$，与3的差值为$3.24-3=0.24$
2. 对比差值大小：$0.11＜0.24＜0.44＜0.75$，可知1.7的平方最接近3，因此$\sqrt{3}$的结果最接近1.7。
（也可直接用计算器计算得$\sqrt{3}\approx1.732$，对比可知最接近1.7）
【答案】
C
【知识点】
用计算器开方；算术平方根估算
【点评】
本题考查算术平方根近似值的判断，解题方法灵活，既可以直接操作计算器得到结果，也可以通过平方运算反向估算，是开方运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.85

3. 下列计算结果正确的是()

A.$\sqrt{0.43}\approx0.066$
B.$\sqrt{895}\approx30$
C.$\sqrt{2536}\approx60.4$
D.$\sqrt[3]{900}\approx96$

B

【分析】
这道题考查开方运算结果的正误判断，我们可以利用“乘方和开方互为逆运算”的思路解题：把每个选项给出的近似值进行对应的乘方运算，对比乘方结果和原被开方数的接近程度，就能快速判断对错，也可以直接用计算器计算开方结果验证。
【解析】
我们逐个验证选项：
A. 计算$0.066^2=0.004356$，和被开方数$0.43$差距极大，实际$\sqrt{0.43}\approx0.66$，故A错误；
B. 计算$30^2=900$，和被开方数$895$非常接近，因此$\sqrt{895}\approx30$，故B正确；
C. 计算$60.4^2=3648.16$，远大于被开方数$2536$，实际$\sqrt{2536}\approx50.4$，故C错误；
D. 计算$96^3=884736$，远大于被开方数$900$，实际$\sqrt[3]{900}\approx9.65$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
开方运算；逆运算验证；无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，既可以直接用计算器计算开方结果判断，也可以通过逆运算快速估算，掌握乘方与开方的互逆关系能大大提升解题效率。
【难度系数】
0.8

4.利用计算器计算：$\sqrt{1532}\approx$ ；$\sqrt{257.8}\approx$ 。（精确到0.01）

39.14；16.06

【分析】
这道题考查用计算器求算术平方根以及近似数的取法，解题思路如下：首先明确计算器开平方的操作步骤：先按算术平方根按键（$\boldsymbol{\sqrt{}}$），再输入被开方数，按等号键就能得到对应算术平方根的结果；之后按照精确到0.01的要求，对结果保留两位小数，观察千分位上的数字，用四舍五入规则取近似值即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt{1532}$：
按计算器操作步骤计算可得$\sqrt{1532}\approx39.14077$，精确到0.01即保留两位小数，观察千分位数字为0，$0＜5$，直接舍去千分位及之后的数，因此$\sqrt{1532}\approx39.14$。
2. 计算$\sqrt{257.8}$：
按计算器操作步骤计算可得$\sqrt{257.8}\approx16.05615$，精确到0.01即保留两位小数，观察千分位数字为6，$6＞5$，向百分位进1，百分位的5加1得6，因此$\sqrt{257.8}\approx16.06$。
【答案】
39.14；16.06
【知识点】
用计算器开平方；近似数的精确度
【点评】
本题属于基础题型，重点考查计算器开平方的操作方法和四舍五入取近似值的规则，熟练掌握计算器相关按键的操作是解题的前提。
【难度系数】
0.9

5.用计算器比较 $5\sqrt{2},4\sqrt{3},3\sqrt{5}$ 的大小：。

$5\sqrt{2}＞4\sqrt{3}＞3\sqrt{5}$

【分析】
要比较这三个正数的大小，结合本题考查用计算器开方的要求，我们可以先通过计算器算出$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$的近似值，再分别乘各根号外的系数得到三个数的近似结果，最后比较近似值的大小，即可对应得到原式的大小关系。
【解析】
解：1. 用计算器计算得各算术平方根的近似值：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$；
2. 分别计算三个式子的近似值：
$5\sqrt{2}\approx5×1.414=7.07$，
$4\sqrt{3}\approx4×1.732=6.928$，
$3\sqrt{5}\approx3×2.236=6.708$；
3. 比较近似值大小：$7.07＞6.928＞6.708$，因此对应原数的大小关系为$5\sqrt{2}＞4\sqrt{3}＞3\sqrt{5}$。
【答案】
$5\sqrt{2}＞4\sqrt{3}＞3\sqrt{5}$
【知识点】
用计算器求算术平方根、实数大小比较
【点评】
本题属于开方运算的基础应用题，既可以通过计算器计算近似值比较大小，也可以通过平方法验证结果，解题的关键是准确计算出各含根号式子的数值。
【难度系数】
0.8

6.按要求填空。
(1)填表：

(2)根据你发现的规律填空：
已知$\sqrt{7.2} \approx 2.683$，则$\sqrt{720} \approx$ ，
$\sqrt{0.00072} \approx$ ；
已知$\sqrt{0.0038} \approx 0.06164$，$\sqrt{x} \approx 61.64$，
则$x \approx$ 。

(1)0.02 0.2 2 20
(2)26.83 0.026 83 3 800

【分析】
解题分为两部分：第一部分填写表格，依据算术平方根的定义（若正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根），分别计算每个a对应的算术平方根填入表格即可。第二部分应用规律填空，先观察表格中被开方数a的小数点移动位数和对应$\sqrt{a}$的小数点移动位数，总结出规律：被开方数的小数点每向左/向右移动2位，算术平方根的小数点同向移动1位，再用该规律计算对应结果即可。
【解析】
(1) 计算各数的算术平方根：
因为$0.02^2=0.0004$，所以$\sqrt{0.0004}=0.02$；
因为$0.2^2=0.04$，所以$\sqrt{0.04}=0.2$；
因为$2^2=4$，所以$\sqrt{4}=2$；
因为$20^2=400$，所以$\sqrt{400}=20$。
(2) 根据总结的规律解题：
① 720是将7.2的小数点向右移动2位得到的，因此$\sqrt{720}$是将$\sqrt{7.2}\approx2.683$的小数点向右移动1位，即$\sqrt{720}\approx26.83$；
② 0.00072是将7.2的小数点向左移动4位得到的，因此$\sqrt{0.00072}$是将$\sqrt{7.2}\approx2.683$的小数点向左移动2位，即$\sqrt{0.00072}\approx0.02683$；
③ $\sqrt{x}\approx61.64$是将$\sqrt{0.0038}\approx0.06164$的小数点向右移动3位得到的，因此x是将0.0038的小数点向右移动$3×2=6$位，即$x\approx3800$。
【答案】
(1) 0.02；0.2；2；20
(2) 26.83；0.02683；3800
【知识点】
算术平方根的计算；算术平方根的变化规律
【点评】
本题考查算术平方根的运算和规律探究能力，通过从特殊数据总结出被开方数和算术平方根的小数点移动规律，可大幅简化同类运算，该规律是开方运算中常用的技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

7.用计算器探究下列各组数据：
①$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$；②$\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}$；③$\sqrt{19},\sqrt{91},\sqrt{191}$；④$\sqrt{10},\sqrt{11},\sqrt{50}$。
其中能构成三角形的是
（只填序号）。

①②③

【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法为：只需验证两条较短边的和大于最长边即可。解题步骤为：先用计算器计算出每组三个算术平方根的近似值，再找出每组中最大的数，最后将另外两个较小数的和与最大数比较，若和大于最大数则能构成三角形，反之不能。
【解析】
我们逐组计算验证：
① $\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$
最大数是$\sqrt{5}\approx2.236$，较短两边和：$1.414+1.732=3.146＞2.236$，能构成三角形；
② $\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{15}\approx3.872$
最大数是$\sqrt{15}\approx3.872$，较短两边和：$1.732+2.236=3.968＞3.872$，能构成三角形；
③ $\sqrt{19}\approx4.359$，$\sqrt{91}\approx9.539$，$\sqrt{191}\approx13.820$
最大数是$\sqrt{191}\approx13.820$，较短两边和：$4.359+9.539=13.898＞13.820$，能构成三角形；
④ $\sqrt{10}\approx3.162$，$\sqrt{11}\approx3.317$，$\sqrt{50}\approx7.071$
最大数是$\sqrt{50}\approx7.071$，较短两边和：$3.162+3.317=6.479＜7.071$，不能构成三角形。
综上，能构成三角形的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
三角形三边关系；用计算器开平方
【点评】
本题结合计算器开方的操作，考查三角形三边关系的实际应用，掌握“只需比较较短两边之和与最长边的大小”的简便判断方法，能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7

8. 用计算器计算：
$\sqrt{0.0314}\approx$ （结果精确到0.001）；
$\sqrt{3.14}\approx$ （结果精确到0.01）；
$\sqrt{314}\approx$ （结果精确到0.1）；
$\sqrt{0.314}\approx$ （结果精确到0.01）；
$\sqrt{31.4}\approx$ （结果精确到0.1）；
$\sqrt{3140}\approx$ （结果精确到个位）。
观察上面的计算结果并填空：
(1)被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位。
(2)被开方数的小数点每向左移动 位，相应的算术平方根的小数点就向 移动1位。

0.177 1.77 17.7
0.56 5.6 56
(1)右 1 (2)2 左

【分析】
本题分为两部分求解，第一部分是用计算器求算术平方根，操作时先输入被开方数，再按开平方键得到结果，最后按照题目要求的精确度对结果进行四舍五入即可；第二部分是规律探究，将计算得到的算术平方根和对应的被开方数放在一起对比，观察小数点移动的位数关系，即可总结出规律。
【解析】
1. 逐个计算算术平方根并按要求取近似值：
① 计算$\sqrt{0.0314}$，得结果约为0.1772，精确到0.001，四舍五入得0.177；
② 计算$\sqrt{3.14}$，得结果约为1.772，精确到0.01，四舍五入得1.77；
③ 计算$\sqrt{314}$，得结果约为17.72，精确到0.1，四舍五入得17.7；
④ 计算$\sqrt{0.314}$，得结果约为0.5603，精确到0.01，四舍五入得0.56；
⑤ 计算$\sqrt{31.4}$，得结果约为5.603，精确到0.1，四舍五入得5.6；
⑥ 计算$\sqrt{3140}$，得结果约为56.03，精确到个位，四舍五入得56。
2. 探究规律：
对比$\sqrt{0.0314}=0.177$、$\sqrt{3.14}=1.77$、$\sqrt{314}=17.7$，被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位；
反向对比可知，被开方数的小数点每向左移动2位，算术平方根的小数点向左移动1位。
因此(1)填右、1；(2)填2、左。
【答案】
0.177 1.77 17.7
0.56 5.6 56
(1)右 1 (2)2 左
【知识点】
1. 计算器开方运算
2. 算术平方根的性质
3. 近似数的精确度
【点评】
本题既考查了用计算器求算术平方根的基本操作，也考查了观察归纳的能力，总结得到的算术平方根与被开方数的小数点移动规律可用于快速估算同类数的算术平方根，解题时要注意严格按要求取近似值，观察规律时做好数位对应。
【难度系数】
0.8

9. 观察下列四个等式：
① $\sqrt[3]{2+\dfrac{2}{7}}=2×\sqrt[3]{\dfrac{2}{7}}$；
② $\sqrt[3]{3+\dfrac{3}{26}}=3×\sqrt[3]{\dfrac{3}{26}}$；
③ $\sqrt[3]{4+\dfrac{4}{63}}=4×\sqrt[3]{\dfrac{4}{63}}$；
④ $\sqrt[3]{5+\dfrac{5}{124}}=5×\sqrt[3]{\dfrac{5}{124}}$。
(1)用计算器验证上述四个等式是否成立。
(2)根据这四个式子的规律，你能写出第五个等式吗？
(3)根据上面的规律，你能写出第$n$个等式吗？

解:(1)这四个等式都成立。
(2)第五个等式是$\sqrt[3]{6+\dfrac{6}{215}}=6×\sqrt[3]{\dfrac{6}{215}}$。
(3)$\sqrt[3]{(n+1)+\dfrac{(n+1)}{(n+1)^3-1}}=(n+1)×\sqrt[3]{\dfrac{n+1}{(n+1)^3-1}}$

【分析】
（1）第一问只需利用计算器分别计算每个等式左右两边的立方根结果，对比数值是否相等即可验证；
（2）找规律时先观察每个等式的整数部分：①是2，②是3，③是4，④是5，依次递增1，可得第五个等式的整数为6；再观察分数的分母：7=2³-1，26=3³-1，63=4³-1，124=5³-1，即分母为对应整数的立方减1，分数的分子和整数相等，据此即可写出第五个等式；
（3）将上述规律推广到第n个式子，第n个式子的整数部分为n+1，分数的分子等于整数部分，分母为（n+1）³-1，按照等式左右两边的结构即可写出第n个等式。
【解析】
(1) 利用计算器分别计算四个等式左右两边的值：
① 左边：$\sqrt[3]{2+\dfrac{2}{7}}=\sqrt[3]{\dfrac{16}{7}}\approx1.310$，右边：$2×\sqrt[3]{\dfrac{2}{7}}\approx2×0.655=1.310$，两边相等；
同理计算②③④的左右两边，数值均相等，故四个等式都成立。
(2) 观察规律：等式左侧整数依次为2、3、4、5，分数分子与整数相同，分母为对应整数的立方减1；等式右侧为整数乘三次根号下对应分数。
第五个等式的整数为6，分母为$6^3-1=216-1=215$，因此第五个等式为：$\sqrt[3]{6+\dfrac{6}{215}}=6×\sqrt[3]{\dfrac{6}{215}}$。
(3) 第n个等式中，整数部分为$n+1$，分母为$(n+1)^3-1$，因此第n个等式为：$\sqrt[3]{(n+1)+\dfrac{n+1}{(n+1)^3-1}}=(n+1)·\sqrt[3]{\dfrac{n+1}{(n+1)^3-1}}$（n为正整数）。
【答案】
(1) 四个等式都成立；
(2) $\sqrt[3]{6+\dfrac{6}{215}}=6×\sqrt[3]{\dfrac{6}{215}}$；
(3) $\sqrt[3]{(n+1)+\dfrac{n+1}{(n+1)^3-1}}=(n+1)×\sqrt[3]{\dfrac{n+1}{(n+1)^3-1}}$
【知识点】
立方根的运算、数字规律探究、计算器开方
【点评】
本题结合立方根的运算考查规律探究类问题，解题关键是观察出等式中整数、分数分子、分母分别对应的变化规律，侧重对学生观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.8