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变式训练1 | 如图,已知∠ADC=90°,AD=4 m,CD=3 m,AB=13 m,BC=12 m。
(1)试判断以点A,B,C为顶点的三角形的形状,并说明理由;
(2)求该图形的面积。
(1)试判断以点A,B,C为顶点的三角形的形状,并说明理由;
(2)求该图形的面积。
答案
解:(1)以点 A,B,C 为顶点的三角形是直角三角形。理由如下：
如图,连接 AC。
因为$∠ ADC=90°,AD=4\ \mathrm{m},CD=3\ \mathrm{m}$,
所以在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,根据勾股定理得
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2$,
解得$AC=5\ \mathrm{m}$。
又因为$AB=13\ \mathrm{m},BC=12\ \mathrm{m}$,
所以$AC^2+BC^2=AB^2$,
所以$∠ ACB=90°$,
即以点 A,B,C 为顶点的三角形是直角三角形。
(2)图形的面积$S=S_{△ ACB}-S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AC× BC-\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3=24(\mathrm{m}^2)$。
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，首先需要得到△ABC三边的长度关系，已知△ADC是直角三角形，因此第一步先连接AC，利用勾股定理求出AC的长度；再将AC、BC、AB的长度进行验证，看是否满足勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状。求图形面积时，观察图形可知该图形是不规则图形，可转化为直角△ABC的面积减去直角△ADC的面积，代入对应边长计算即可。
【解析】
(1) 以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
如图，连接AC。
已知∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，在Rt△ADC中，根据勾股定理，可得
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，因此$AC=5\mathrm{m}$。
又已知AB=13m，BC=12m，计算得$AC^2+BC^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2+BC^2=AB^2$。
根据勾股定理的逆定理，可得∠ACB=90°，即以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角形。
(2) 该图形的面积等于直角△ACB的面积减去直角△ADC的面积，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=S_{△ACB}-S_{△ADC}=\frac{1}{2}×AC×BC-\frac{1}{2}×AD×CD$
代入数值计算：$\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3=30-6=24(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) 以点 A,B,C 为顶点的三角形是直角三角形。理由如下：
如图,连接AC。
因为$∠ ADC=90°,AD=4\ \mathrm{m},CD=3\ \mathrm{m}$,
所以在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,根据勾股定理得
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2$,
解得$AC=5\ \mathrm{m}$。
又因为$AB=13\ \mathrm{m},BC=12\ \mathrm{m}$,
所以$AC^2+BC^2=AB^2$,
所以$∠ ACB=90°$,
即以点 A,B,C 为顶点的三角形是直角三角形。
(2)图形的面积$S=S_{△ ACB}-S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AC× BC-\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3=24(\mathrm{m}^2)$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形，将未知边长求解和不规则图形面积分别转化为勾股定理计算、规则三角形面积的差，是几何基础综合类的常考题型。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的形状，首先需要得到△ABC三边的长度关系，已知△ADC是直角三角形，因此第一步先连接AC，利用勾股定理求出AC的长度；再将AC、BC、AB的长度进行验证，看是否满足勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状。求图形面积时，观察图形可知该图形是不规则图形，可转化为直角△ABC的面积减去直角△ADC的面积，代入对应边长计算即可。
【解析】
(1) 以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
如图，连接AC。
已知∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，在Rt△ADC中，根据勾股定理，可得
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，因此$AC=5\mathrm{m}$。
又已知AB=13m，BC=12m，计算得$AC^2+BC^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2+BC^2=AB^2$。
根据勾股定理的逆定理，可得∠ACB=90°，即以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角形。
(2) 该图形的面积等于直角△ACB的面积减去直角△ADC的面积，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=S_{△ACB}-S_{△ADC}=\frac{1}{2}×AC×BC-\frac{1}{2}×AD×CD$
代入数值计算：$\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3=30-6=24(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) 以点 A,B,C 为顶点的三角形是直角三角形。理由如下：
如图,连接AC。
因为$∠ ADC=90°,AD=4\ \mathrm{m},CD=3\ \mathrm{m}$,
所以在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,根据勾股定理得
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2$,
解得$AC=5\ \mathrm{m}$。
又因为$AB=13\ \mathrm{m},BC=12\ \mathrm{m}$,
所以$AC^2+BC^2=AB^2$,
所以$∠ ACB=90°$,
即以点 A,B,C 为顶点的三角形是直角三角形。
(2)图形的面积$S=S_{△ ACB}-S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AC× BC-\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3=24(\mathrm{m}^2)$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形，将未知边长求解和不规则图形面积分别转化为勾股定理计算、规则三角形面积的差，是几何基础综合类的常考题型。
【难度系数】
0.7
例2 如图，
△ABC中，点D是BC上的一点。已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积。
[点拨] 此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形。根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求出CD的长，最后利用三角形面积公式即可得出答案。
[解] 因为$BD^2 + AD^2 = 6^2 + 8^2 = 10^2 = AB^2$，
所以△ABD是直角三角形，
所以$AD ⊥ BC$。
在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理得
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 17^2 - 8^2 = 15^2$，
所以$CD = 15$，
所以$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AD = \frac{1}{2} (BD + CD) · AD = \frac{1}{2} × 21 × 8 = 84$。
因此，△ABC的面积为84。
△ABC中，点D是BC上的一点。已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积。
[点拨] 此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形。根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求出CD的长，最后利用三角形面积公式即可得出答案。
[解] 因为$BD^2 + AD^2 = 6^2 + 8^2 = 10^2 = AB^2$，
所以△ABD是直角三角形，
所以$AD ⊥ BC$。
在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理得
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 17^2 - 8^2 = 15^2$，
所以$CD = 15$，
所以$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AD = \frac{1}{2} (BD + CD) · AD = \frac{1}{2} × 21 × 8 = 84$。
因此，△ABC的面积为84。
答案
解：
$\because BD^2 + AD^2 = 6^2 + 8^2 = 100 = 10^2 = AB^2$，
$\therefore △ ABD$ 是直角三角形，$∠ ADB = 90°$，
$\therefore AD ⊥ BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 17^2 - 8^2 = 225 = 15^2$，
$\therefore CD = 15$。
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2}(BD + CD) · AD = \frac{1}{2} × (6 + 15) × 8 = 84$。
答：$△ ABC$的面积为84。
$\because BD^2 + AD^2 = 6^2 + 8^2 = 100 = 10^2 = AB^2$，
$\therefore △ ABD$ 是直角三角形，$∠ ADB = 90°$，
$\therefore AD ⊥ BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 17^2 - 8^2 = 225 = 15^2$，
$\therefore CD = 15$。
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2}(BD + CD) · AD = \frac{1}{2} × (6 + 15) × 8 = 84$。
答：$△ ABC$的面积为84。
解析
【分析】
解题时首先观察△ABD的三边长：BD=6，AD=8，AB=10，这三个数满足较小两边的平方和等于最大边的平方，因此可以先用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，且AD垂直于BC，即AD是△ABC的高；接下来要求△ABC的面积，只需要求出底边BC的长度即可，BC由BD和CD组成，BD已知，CD可以在Rt△ACD中，利用勾股定理，结合已知的AC=17、AD=8求出；最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
$\because BD^2 + AD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AB^2$，
$\therefore △ ABD$是直角三角形，$∠ ADB=90°$，即$AD ⊥ BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 = 15^2$，
$\therefore CD=15$。
$\therefore BC = BD + CD = 6 + 15 = 21$，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2} × 21 × 8 = 84$。
【答案】
84
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的典型综合应用题，解题核心是先通过逆定理判定直角三角形得到三角形的高，再借助勾股定理求出完整底边长，最终计算面积，熟记常见勾股数可以加快解题速度。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察△ABD的三边长：BD=6，AD=8，AB=10，这三个数满足较小两边的平方和等于最大边的平方，因此可以先用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，且AD垂直于BC，即AD是△ABC的高；接下来要求△ABC的面积，只需要求出底边BC的长度即可，BC由BD和CD组成，BD已知，CD可以在Rt△ACD中，利用勾股定理，结合已知的AC=17、AD=8求出；最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
$\because BD^2 + AD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AB^2$，
$\therefore △ ABD$是直角三角形，$∠ ADB=90°$，即$AD ⊥ BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 = 15^2$，
$\therefore CD=15$。
$\therefore BC = BD + CD = 6 + 15 = 21$，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2} × 21 × 8 = 84$。
【答案】
84
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的典型综合应用题，解题核心是先通过逆定理判定直角三角形得到三角形的高，再借助勾股定理求出完整底边长，最终计算面积，熟记常见勾股数可以加快解题速度。
【难度系数】
0.7
|变式训练2| 如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，BC=10 cm，AC=4 cm，AD=3 cm，求△ABC的面积。
是。（请写出所有正确的序号）
是。（请写出所有正确的序号）
答案
解:因为 AD 是 BC 边上的中线,BC=10 cm,
所以 CD=5 cm。
因为$3^2+4^2=5^2$,所以$AD^2+AC^2=CD^2$,
所以$△ ACD$是直角三角形。
如图,过点 A 作$AE⊥ BC$于点 E,
则$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· AC=\frac{1}{2}CD· AE$,
所以$AE=\frac{AD· AC}{CD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}(\mathrm{cm})$,
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}×10×\frac{12}{5}=12(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质求出CD的长度，再结合AD、AC的长度，根据勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形；要求△ABC的面积，已知底BC的长度，只需要求出BC边上的高即可，因此过点A作AE垂直BC于E，利用△ACD面积的两种计算方式（直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，也等于底乘高的一半）求出高AE的长度，最后代入三角形面积公式即可算出△ABC的面积。
【解析】
解：因为AD是BC边上的中线，BC=10 cm，
所以$CD=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$。
因为$3^2+4^2=5^2$，所以$AD^2+AC^2=CD^2$，
所以△ACD是直角三角形，且$∠ CAD=90°$。
如图，过点A作$AE⊥ BC$于点E，
则$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· AC=\frac{1}{2}CD· AE$，
所以$AE=\frac{AD· AC}{CD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}(\mathrm{cm})$，
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}×10×\frac{12}{5}=12(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理逆定理，三角形中线性质，面积法求高
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先通过勾股定理逆定理判定直角三角形，再利用等面积法求出三角形的高，能有效锻炼学生对几何基础知识的融合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用三角形中线的性质求出CD的长度，再结合AD、AC的长度，根据勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形；要求△ABC的面积，已知底BC的长度，只需要求出BC边上的高即可，因此过点A作AE垂直BC于E，利用△ACD面积的两种计算方式（直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，也等于底乘高的一半）求出高AE的长度，最后代入三角形面积公式即可算出△ABC的面积。
【解析】
解：因为AD是BC边上的中线，BC=10 cm，
所以$CD=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$。
因为$3^2+4^2=5^2$，所以$AD^2+AC^2=CD^2$，
所以△ACD是直角三角形，且$∠ CAD=90°$。
如图，过点A作$AE⊥ BC$于点E，
则$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· AC=\frac{1}{2}CD· AE$，
所以$AE=\frac{AD· AC}{CD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}(\mathrm{cm})$，
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}×10×\frac{12}{5}=12(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理逆定理，三角形中线性质，面积法求高
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先通过勾股定理逆定理判定直角三角形，再利用等面积法求出三角形的高，能有效锻炼学生对几何基础知识的融合应用能力。
【难度系数】
0.6
