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10.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10 m的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐水果。一只猴子先从D处往上爬到树顶A处，再沿滑绳AC滑到C处；另一只猴子先从D滑到B，再由B跑到C处。已知两只猴子所经过的路程都为15 m，求树高AB。
答案
10. 解:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$。设$BC=a\ \mathrm{m},AC=b\ \mathrm{m},AD=x\ \mathrm{m}$，则$10+a=x+b=15$，所以$a=5,b=15-x$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理得$(10+x)^2+a^2=b^2$，所以$(10+x)^2+5^2=(15-x)^2$，解得$x=2$,即$AD=2\ \mathrm{m}$。所以$AB=AD+DB=2\ \mathrm{m}+10\ \mathrm{m}=12\ \mathrm{m}$。答:树高 AB 为 12 m。
解析
【分析】
解题时先梳理两只猴子的运动路程对应的线段：①第二只猴子的路程为DB+BC=15m，已知DB=10m，可先求出BC的长度；②第一只猴子的路程为AD+AC=15m，我们可以设AD的长度为x m，即可用含x的代数式表示出AC和树高AB的长度。观察图形可知△ABC是直角三角形，∠B=90°，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，就可以列出关于x的一元一次方程，解方程求出x后即可计算树高AB。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=90°$，设$AD=x\ \mathrm{m}$。
根据两只猴子的路程都为15m，可得：
$BC=15-DB=15-10=5\ \mathrm{m}$，$AC=15-AD=(15-x)\ \mathrm{m}$，树高$AB=AD+DB=(10+x)\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理$AB^2+BC^2=AC^2$，代入各线段长度得：
$(10+x)^2+5^2=(15-x)^2$
展开得：$100+20x+x^2+25=225-30x+x^2$
移项、合并同类项得：$50x=100$
解得：$x=2$
所以$AB=10+2=12\ \mathrm{m}$
【答案】
12 m
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想的实际应用类题目，解题核心是理清运动路程对应的线段长度，找到直角三角形三边的等量关系建立方程，能够有效考察学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理两只猴子的运动路程对应的线段：①第二只猴子的路程为DB+BC=15m，已知DB=10m，可先求出BC的长度；②第一只猴子的路程为AD+AC=15m，我们可以设AD的长度为x m，即可用含x的代数式表示出AC和树高AB的长度。观察图形可知△ABC是直角三角形，∠B=90°，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，就可以列出关于x的一元一次方程，解方程求出x后即可计算树高AB。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=90°$，设$AD=x\ \mathrm{m}$。
根据两只猴子的路程都为15m，可得：
$BC=15-DB=15-10=5\ \mathrm{m}$，$AC=15-AD=(15-x)\ \mathrm{m}$，树高$AB=AD+DB=(10+x)\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理$AB^2+BC^2=AC^2$，代入各线段长度得：
$(10+x)^2+5^2=(15-x)^2$
展开得：$100+20x+x^2+25=225-30x+x^2$
移项、合并同类项得：$50x=100$
解得：$x=2$
所以$AB=10+2=12\ \mathrm{m}$
【答案】
12 m
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想的实际应用类题目，解题核心是理清运动路程对应的线段长度，找到直角三角形三边的等量关系建立方程，能够有效考察学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
知识点一 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长$a,b,c$满足
那么这个三角形是直角三角形。
如果三角形的三边长$a,b,c$满足
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
，那么这个三角形是直角三角形。
答案
如果三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形。
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的基础概念，解题时首先回忆勾股定理逆定理的具体内容：勾股定理是直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，其逆定理是将条件和结论互换，明确三边对应的数量关系即可直接填出结果。
【解析】
根据勾股定理逆定理的标准定义：如果三角形的三边长$a,b,c$（通常$c$为三边中的最长边）满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，因此横线处填入对应表达式即可。
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念识记类题型，主要考察对核心定理内容的掌握程度，熟记相关定理即可快速作答，属于基础送分题。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理逆定理的基础概念，解题时首先回忆勾股定理逆定理的具体内容：勾股定理是直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，其逆定理是将条件和结论互换，明确三边对应的数量关系即可直接填出结果。
【解析】
根据勾股定理逆定理的标准定义：如果三角形的三边长$a,b,c$（通常$c$为三边中的最长边）满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，因此横线处填入对应表达式即可。
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念识记类题型，主要考察对核心定理内容的掌握程度，熟记相关定理即可快速作答，属于基础送分题。
【难度系数】
0.9
知识点二 勾股数
满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个
满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个
正整数
，称为勾股数。答案
满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。
解析
【分析】
本题考查勾股数的基本定义，解题时先回忆勾股数的概念要点：首先要满足$a^2+b^2=c^2$的数量关系，其次这三个数必须是正整数，若为小数、分数等非正整数，即便满足平方和的关系，也不属于勾股数，据此就能确定空缺处的内容。
【解析】
根据勾股数的定义可知，满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数，因此横线处应填入“正整数”。
【答案】
正整数
【知识点】
勾股数的定义
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，熟记勾股数的两个核心判定条件即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股数的基本定义，解题时先回忆勾股数的概念要点：首先要满足$a^2+b^2=c^2$的数量关系，其次这三个数必须是正整数，若为小数、分数等非正整数，即便满足平方和的关系，也不属于勾股数，据此就能确定空缺处的内容。
【解析】
根据勾股数的定义可知，满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数，因此横线处应填入“正整数”。
【答案】
正整数
【知识点】
勾股数的定义
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，熟记勾股数的两个核心判定条件即可快速得分。
【难度系数】
0.9
例1 如图，已知等腰$△ ABC$的底边$BC=20\ \mathrm{cm}$，点$D$是腰$AB$上一点，且$CD=16\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$。
(1)$CD⊥ AB$吗？请说明理由；
(2)求该等腰三角形的腰的长度。
[点拨] (1)依据勾股定理的逆定理可得$∠ BDC=90°$，从而得到$CD⊥ AB$。
(2)设腰长为$x\ \mathrm{cm}$，则$AD=(x-12)\mathrm{cm}$。由(1)可知$AD^2+CD^2=AC^2$，解方程$(x-12)^2+16^2=x^2$，即可求得腰长。
本题主要考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$，那么
这个三角形是直角三角形。
[解] (1)$CD⊥ AB$。
因为$BC=20\ \mathrm{cm}$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$，
所以$BD^2+CD^2=BC^2$。
所以$∠ BDC=90°$，
即$CD⊥ AB$。
(2)设该等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，
则$AD=(x-12)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得
$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$(x-12)^2+16^2=x^2$，
解得$x=\dfrac{50}{3}$。
所以该等腰三角形的腰长为$\dfrac{50}{3}\ \mathrm{cm}$。
(1)$CD⊥ AB$吗？请说明理由；
(2)求该等腰三角形的腰的长度。
[点拨] (1)依据勾股定理的逆定理可得$∠ BDC=90°$，从而得到$CD⊥ AB$。
(2)设腰长为$x\ \mathrm{cm}$，则$AD=(x-12)\mathrm{cm}$。由(1)可知$AD^2+CD^2=AC^2$，解方程$(x-12)^2+16^2=x^2$，即可求得腰长。
本题主要考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$，那么
这个三角形是直角三角形。
[解] (1)$CD⊥ AB$。
因为$BC=20\ \mathrm{cm}$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$，
所以$BD^2+CD^2=BC^2$。
所以$∠ BDC=90°$，
即$CD⊥ AB$。
(2)设该等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，
则$AD=(x-12)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得
$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$(x-12)^2+16^2=x^2$，
解得$x=\dfrac{50}{3}$。
所以该等腰三角形的腰长为$\dfrac{50}{3}\ \mathrm{cm}$。
答案
解：
(1) $CD⊥ AB$，理由如下：
$\because BD=12\ \mathrm{cm}$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，$BC=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD^2+CD^2=12^2+16^2=400$，$BC^2=20^2=400$，
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$，
由勾股定理的逆定理可知$△ BDC$是直角三角形，$∠ BDC=90°$，
$\therefore CD⊥ AB$。
(2) 设该等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，则$AC=AB=x\ \mathrm{cm}$，
$AD=AB-BD=(x-12)\ \mathrm{cm}$。
由(1)得$∠ ADC=180°-∠ BDC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$(x-12)^2+16^2=x^2$，
展开整理得$-24x+400=0$，
解得$x=\frac{50}{3}$。
答：该等腰三角形的腰的长度为$\frac{50}{3}\ \mathrm{cm}$。
(1) $CD⊥ AB$，理由如下：
$\because BD=12\ \mathrm{cm}$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，$BC=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD^2+CD^2=12^2+16^2=400$，$BC^2=20^2=400$，
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$，
由勾股定理的逆定理可知$△ BDC$是直角三角形，$∠ BDC=90°$，
$\therefore CD⊥ AB$。
(2) 设该等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，则$AC=AB=x\ \mathrm{cm}$，
$AD=AB-BD=(x-12)\ \mathrm{cm}$。
由(1)得$∠ ADC=180°-∠ BDC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$(x-12)^2+16^2=x^2$，
展开整理得$-24x+400=0$，
解得$x=\frac{50}{3}$。
答：该等腰三角形的腰的长度为$\frac{50}{3}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 要判断CD与AB是否垂直，本质是判断∠BDC是否为直角，已知△BDC的三边长度，可直接运用勾股定理的逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，即可得到结论。
(2) 已知△ABC是等腰三角形，即两腰AB=AC，可设腰长为x cm，用含x的式子表示出AD的长度，结合(1)中得到的垂直关系可知△ADC是直角三角形，根据勾股定理列方程求解，就能得到腰长。
【解析】
(1) $CD⊥ AB$，理由如下：
$\because BD=12\ \mathrm{cm}$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，$BC=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD^2+CD^2=12^2+16^2=144+256=400$，$BC^2=20^2=400$，
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$，
由勾股定理的逆定理可知$△ BDC$是直角三角形，$∠ BDC=90°$，
$\therefore CD⊥ AB$。
(2) 设该等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，则$AC=AB=x\ \mathrm{cm}$，
$AD=AB-BD=(x-12)\ \mathrm{cm}$。
由(1)得$∠ ADC=180°-∠ BDC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$(x-12)^2+16^2=x^2$，
展开整理得$-24x+400=0$，
解得$x=\frac{50}{3}$。
【答案】
(1) $CD⊥ AB$；
(2) 该等腰三角形的腰的长度为$\frac{50}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题将勾股定理及其逆定理与等腰三角形的性质结合考查，第一问是勾股定理逆定理的基础应用，通过边长关系可直接判断直角；第二问需要结合几何性质用方程思想求解，是数形结合解题的典型题型，掌握这类解题方法对后续几何计算类题目有很大帮助。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断CD与AB是否垂直，本质是判断∠BDC是否为直角，已知△BDC的三边长度，可直接运用勾股定理的逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，即可得到结论。
(2) 已知△ABC是等腰三角形，即两腰AB=AC，可设腰长为x cm，用含x的式子表示出AD的长度，结合(1)中得到的垂直关系可知△ADC是直角三角形，根据勾股定理列方程求解，就能得到腰长。
【解析】
(1) $CD⊥ AB$，理由如下：
$\because BD=12\ \mathrm{cm}$，$CD=16\ \mathrm{cm}$，$BC=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD^2+CD^2=12^2+16^2=144+256=400$，$BC^2=20^2=400$，
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$，
由勾股定理的逆定理可知$△ BDC$是直角三角形，$∠ BDC=90°$，
$\therefore CD⊥ AB$。
(2) 设该等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，则$AC=AB=x\ \mathrm{cm}$，
$AD=AB-BD=(x-12)\ \mathrm{cm}$。
由(1)得$∠ ADC=180°-∠ BDC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$(x-12)^2+16^2=x^2$，
展开整理得$-24x+400=0$，
解得$x=\frac{50}{3}$。
【答案】
(1) $CD⊥ AB$；
(2) 该等腰三角形的腰的长度为$\frac{50}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题将勾股定理及其逆定理与等腰三角形的性质结合考查，第一问是勾股定理逆定理的基础应用，通过边长关系可直接判断直角；第二问需要结合几何性质用方程思想求解，是数形结合解题的典型题型，掌握这类解题方法对后续几何计算类题目有很大帮助。
【难度系数】
0.7
