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6.如图,图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的。已知$AC=6$,$BC=5$,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到如图(2)所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是
76
。答案
6. 76
解析
【分析】
解题时首先要明确风车外围周长的构成：它由4条相等的长斜边和4条长度为6的短边组成。第一步先确定构成外围斜边的直角三角形的两条直角边长度：已知原直角三角形短直角边BC=5，将长为6的直角边向外延长一倍，因此长直角边长度为6×2=12；第二步利用勾股定理计算每条长斜边的长度；第三步将所有外围边相加即可得到总周长。
【解析】
解：由题意得，延长后用来求外围斜边的直角三角形的两条直角边长度分别为：
短直角边：$BC=5$
长直角边：$6×2=12$
根据勾股定理，每条斜边的长度为：
$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
观察图形可知，风车外围共有4条长度为13的斜边，还有4条长度为6的延长边，因此外围周长为：
$4×13 + 4×6 = 52 + 24 = 76$
【答案】
76
【知识点】
勾股定理；周长计算
【点评】
本题结合古代“赵爽弦图”的变形考查几何计算，解题核心是准确分析外围周长的组成部分，正确找到对应直角三角形的边长，只要理清图形结构就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确风车外围周长的构成：它由4条相等的长斜边和4条长度为6的短边组成。第一步先确定构成外围斜边的直角三角形的两条直角边长度：已知原直角三角形短直角边BC=5，将长为6的直角边向外延长一倍，因此长直角边长度为6×2=12；第二步利用勾股定理计算每条长斜边的长度；第三步将所有外围边相加即可得到总周长。
【解析】
解：由题意得，延长后用来求外围斜边的直角三角形的两条直角边长度分别为：
短直角边：$BC=5$
长直角边：$6×2=12$
根据勾股定理，每条斜边的长度为：
$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
观察图形可知，风车外围共有4条长度为13的斜边，还有4条长度为6的延长边，因此外围周长为：
$4×13 + 4×6 = 52 + 24 = 76$
【答案】
76
【知识点】
勾股定理；周长计算
【点评】
本题结合古代“赵爽弦图”的变形考查几何计算，解题核心是准确分析外围周长的组成部分，正确找到对应直角三角形的边长，只要理清图形结构就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
7.如图,有两棵树AB和CD,AB=18 m,CD=10 m,两棵树间的距离BD=15 m。一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行了多少米?
答案
7. 解:如图,过点 C 作$CE⊥ AB$于点 E,连接 AC。
由题意知四边形 BDCE 是长方形，所以$BE=CD=10\ \mathrm{m},CE=BD=15\ \mathrm{m}$。所以$AE=AB-BE=18\ \mathrm{m}-10\ \mathrm{m}=8\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ AEC$中,由勾股定理得$AC^2=AE^2+CE^2=8^2+15^2=17^2$，故$AC=17\ \mathrm{m}$。答:小鸟至少飞行了 17 m。解析
【分析】
要求小鸟至少飞行的距离，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短飞行路径是两棵树树梢A、C的连线，即求线段AC的长度。已知两棵树的高度和水平间距，没有直接可计算AC的直角三角形，因此通过作垂线构造直角三角形，将已知的高度差、水平距离转化为直角三角形的直角边，再利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
过点C作$CE ⊥ AB$于点E，连接AC。
由题意得四边形BDCE是长方形，因此：
$BE=CD=10\ \mathrm{m}$，$CE=BD=15\ \mathrm{m}$
则$AE=AB-BE=18\ \mathrm{m}-10\ \mathrm{m}=8\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，根据勾股定理：
$AC^2=AE^2+CE^2=8^2+15^2=64+225=289$
解得$AC=17\ \mathrm{m}$
【答案】
小鸟至少飞行了17 m。
【知识点】
勾股定理的应用；两点之间线段最短；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题中的长度关系转化为直角三角形的边长问题，需要熟练掌握勾股定理的使用条件，学会合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7
要求小鸟至少飞行的距离，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短飞行路径是两棵树树梢A、C的连线，即求线段AC的长度。已知两棵树的高度和水平间距，没有直接可计算AC的直角三角形，因此通过作垂线构造直角三角形，将已知的高度差、水平距离转化为直角三角形的直角边，再利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
过点C作$CE ⊥ AB$于点E，连接AC。
由题意得四边形BDCE是长方形，因此：
$BE=CD=10\ \mathrm{m}$，$CE=BD=15\ \mathrm{m}$
则$AE=AB-BE=18\ \mathrm{m}-10\ \mathrm{m}=8\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，根据勾股定理：
$AC^2=AE^2+CE^2=8^2+15^2=64+225=289$
解得$AC=17\ \mathrm{m}$
【答案】
小鸟至少飞行了17 m。
【知识点】
勾股定理的应用；两点之间线段最短；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题中的长度关系转化为直角三角形的边长问题，需要熟练掌握勾股定理的使用条件，学会合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7
8.如图，一棵大树在离地面5 m处断裂，大树顶部落在离大树底部12 m处，则大树断裂之前有多高？
答案
8. 解:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，因为$∠ BAC=90°,AB=5\ \mathrm{m},AC=12\ \mathrm{m}$，所以$BC^2=AC^2+AB^2=12^2+5^2=13^2$，所以$BC=13\ \mathrm{m}$，所以$AB+BC=5\ \mathrm{m}+13\ \mathrm{m}=18\ \mathrm{m}$。答:大树断裂之前的高度为 18 m。
解析
【分析】
解题时先将大树断裂的实际场景转化为直角三角形模型：大树未断裂的部分、地面、断裂倒下的部分构成直角三角形，其中大树与地面的夹角为直角。已知两条直角边的长度，首先用勾股定理求出断裂部分的长度，再将其与未断裂部分的长度相加，即可得到大树断裂前的总高度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$AC=12\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理可得：
$BC^2=AC^2+AB^2=12^2+5^2=144+25=169=13^2$，
因此$BC=13\ \mathrm{m}$，
大树断裂前的高度为未断裂部分与断裂部分之和，即$AB+BC=5\ \mathrm{m}+13\ \mathrm{m}=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
18 m
【知识点】
勾股定理、实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用，核心是将生活场景抽象为几何中的直角三角形模型，找准对应边长后代入公式计算即可，解题时注意不要遗漏未断裂部分的长度。
【难度系数】
0.8
解题时先将大树断裂的实际场景转化为直角三角形模型：大树未断裂的部分、地面、断裂倒下的部分构成直角三角形，其中大树与地面的夹角为直角。已知两条直角边的长度，首先用勾股定理求出断裂部分的长度，再将其与未断裂部分的长度相加，即可得到大树断裂前的总高度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$AC=12\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理可得：
$BC^2=AC^2+AB^2=12^2+5^2=144+25=169=13^2$，
因此$BC=13\ \mathrm{m}$，
大树断裂前的高度为未断裂部分与断裂部分之和，即$AB+BC=5\ \mathrm{m}+13\ \mathrm{m}=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
18 m
【知识点】
勾股定理、实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用，核心是将生活场景抽象为几何中的直角三角形模型，找准对应边长后代入公式计算即可，解题时注意不要遗漏未断裂部分的长度。
【难度系数】
0.8
9.如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2 m。他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6 m。请你帮小刚求出旗杆的高度AB。
答案
9. 解:设旗杆的高度为$x\ \mathrm{m}$，则绳子的长度为$(x+2)\mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得$x^2+6^2=(x+2)^2$。解得$x=8$。答:旗杆的高度为 8 m。
解析
【分析】
首先观察图形可知旗杆AB垂直于地面，因此△ABC是直角三角形，∠B为直角。要求旗杆高度AB，可采用设未知数列方程的方法求解：设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，由题意可知绳子比旗杆长2m，因此绳子AC的长度为$(x+2)\ \mathrm{m}$，已知BC长6m，在直角三角形中可利用勾股定理建立关于$x$的方程，解方程即可求出AB的长度。
【解析】
解：设旗杆的高度AB为$x\ \mathrm{m}$，则绳子AC的长度为$(x+2)\ \mathrm{m}$。
因为AB⊥BC，所以$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$。
根据勾股定理可得：
$x^2+6^2=(x+2)^2$
展开得：$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$
移项化简得：$4x=32$
解得：$x=8$
答：旗杆的高度AB为8 m。
【答案】
$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题核心是将实际场景转化为直角三角形的数学模型，通过设未知数结合勾股定理建立方程求解，能很好地考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知旗杆AB垂直于地面，因此△ABC是直角三角形，∠B为直角。要求旗杆高度AB，可采用设未知数列方程的方法求解：设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，由题意可知绳子比旗杆长2m，因此绳子AC的长度为$(x+2)\ \mathrm{m}$，已知BC长6m，在直角三角形中可利用勾股定理建立关于$x$的方程，解方程即可求出AB的长度。
【解析】
解：设旗杆的高度AB为$x\ \mathrm{m}$，则绳子AC的长度为$(x+2)\ \mathrm{m}$。
因为AB⊥BC，所以$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$。
根据勾股定理可得：
$x^2+6^2=(x+2)^2$
展开得：$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$
移项化简得：$4x=32$
解得：$x=8$
答：旗杆的高度AB为8 m。
【答案】
$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题核心是将实际场景转化为直角三角形的数学模型，通过设未知数结合勾股定理建立方程求解，能很好地考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
