1.若△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积是()

A.30
B.40
C.50
D.60

1.A

【分析】
解题思路：已知三角形的三边长度，首先可利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且两条较短边就是直角边。判定为直角三角形后，直接用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
先计算三边的平方：
较短两边的平方和：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
最长边的平方：$13^2 = 169$
可得$5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且直角边为5和12。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×直角边×直角边$，代入数据得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×5×12=30$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先通过勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，再结合面积公式求解，熟记常见勾股数可快速判断三角形类型，提升解题效率。
【难度系数】
0.9

2.已知三角形的三边长分别为$n$,$n+1$,$m$(其中$m^2=2n+1$),则此三角形()

A.一定是等边三角形
B.一定是等腰三角形
C.一定是直角三角形
D.形状无法确定

2.C

【分析】
要判断三角形的形状，已知三边的数量关系，我们可以借助勾股定理的逆定理来分析：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。首先我们先确定三边中的最长边：边长n、n+1为相邻正数，因此n+1＞n；再通过平方比较m和n+1的大小，最后结合已知的m²=2n+1验证三边的平方关系即可得出结论。
【解析】
第一步：确定最长边
∵ 三角形边长均为正数，
∴ n＞0，可得n+1＞n
又
∵ 展开完全平方得$(n+1)^2 =n^2+2n+1$，题目已知$m^2=2n+1$
∴ 代入可得$(n+1)^2 =n^2 + m^2 ＞ m^2$，因此$n+1＞m$，即最长边为$n+1$。
第二步：利用勾股定理逆定理验证
由上面的推导可得：$n^2 + m^2 = (n+1)^2$，符合勾股定理逆定理的条件，因此该三角形是直角三角形。
再分析其余选项：
A选项：等边三角形要求三边相等，n和n+1显然不相等，排除；
B选项：无明确条件证明任意两边相等，不是一定为等腰三角形，排除；
D选项：形状可确定为直角三角形，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，完全平方公式
【点评】
本题重点考查勾股定理逆定理的应用，解题的关键是先确定最长边，再结合已知条件通过完全平方公式变形验证三边的平方关系，熟练掌握勾股定理逆定理是解答这类题型的核心。
【难度系数】
0.7

3.下列四组数中,不是勾股数的是()

A.$a=15,b=8,c=17$
B.$a=9,b=12,c=15$
C.$a=7,b=24,c=25$
D.$a=3,b=5,c=7$

3.D

【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先明确勾股数的判定条件：①三个数均为正整数；②三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时只需逐个验证四个选项是否满足以上两个条件即可，本题四个选项的数均为正整数，因此只需验证平方和的关系就能选出答案。
【解析】
根据勾股数的定义，若三个正整数中两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，逐一验证选项：
A选项：最大数为17，计算得$15^2+8^2=225+64=289$，$17^2=289$，即$15^2+8^2=17^2$，是勾股数，不符合题意；
B选项：最大数为15，计算得$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，即$9^2+12^2=15^2$，是勾股数，不符合题意；
C选项：最大数为25，计算得$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，即$7^2+24^2=25^2$，是勾股数，不符合题意；
D选项：最大数为7，计算得$3^2+5^2=9+25=34$，$7^2=49$，$34≠49$，不满足勾股数的条件，不是勾股数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；乘方运算；勾股定理逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，解题关键是牢记勾股数的两个判定要求，避免仅验证平方和忽略正整数要求的错误，日常可以积累常见的勾股数，提高解题效率。
【难度系数】
0.9

4.如图，已知$∠ ADC=90°$，$AD=8\ \mathrm{m}$，$CD=6\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，$AB=26\ \mathrm{m}$，则图中阴影部分的面积为。

4.$96\ \mathrm{m}^2$

【分析】
要求阴影部分的面积，可通过△ABC的面积减去Rt△ADC的面积求解。首先在Rt△ADC中，已知两条直角边长度，用勾股定理算出斜边AC的长度；再结合已知的BC、AB的长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，算出△ABC的面积；最后用两个三角形的面积作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m，根据勾股定理：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$，因此$AC=10\ \mathrm{m}$（边长为正数）。
2. 判断△ABC的形状：
已知$BC=24\ \mathrm{m}$，$AB=26\ \mathrm{m}$，计算得：
$AC^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，$AB^2 = 26^2 = 676$，
因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
3. 计算阴影部分面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 10 × 24 = 120\ \mathrm{m}^2$，
$S_{△ ADC} = \frac{1}{2} × AD × CD = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24\ \mathrm{m}^2$，
所以阴影部分面积$= S_{△ ABC} - S_{△ ADC} = 120 - 24 = 96\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$96\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的典型综合应用题，解题核心是先求出公共边AC的长度，再判定大三角形为直角三角形，通过面积差即可求出阴影部分面积，解题时注意计算不要出错。
【难度系数】
0.7

5.已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b和c,给出下面五组条件:
①∠A:∠B:∠C=1:2:3;
②a:b:c=3:4:5;
③2∠A=∠B+∠C;
④$a^2 - b^2 = c^2$;
⑤a=6,b=8,c=13。
其中能独立判定△ABC是直角三角形的

5.①②④

【分析】
判定△ABC为直角三角形有两类思路：一是从角的角度，证明三角形存在90°的内角；二是从边的角度，验证三边满足勾股定理的逆定理（即两条较短边的平方和等于最长边的平方）。我们只需逐个分析5组条件是否符合上述两类判定规则即可。
【解析】
我们对每组条件逐一验证：
①已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，结合三角形内角和为180°，可得最大角∠C=180°×$\frac{3}{1+2+3}$=90°，因此△ABC是直角三角形，符合要求；
②已知a:b:c=3:4:5，设a=3k，b=4k，c=5k（k＞0），计算得$a^2+b^2=(3k)^2+(4k)^2=25k^2=(5k)^2=c^2$，满足勾股定理逆定理，因此△ABC是直角三角形，符合要求；
③已知2∠A=∠B+∠C，结合∠A+∠B+∠C=180°，代入可得∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，仅能得到∠B+∠C=120°，无法确定是否存在90°的角，不能判定△ABC是直角三角形，不符合要求；
④已知$a^2 - b^2 = c^2$，移项得$a^2=b^2+c^2$，满足勾股定理逆定理，说明a对应的∠A是直角，因此△ABC是直角三角形，符合要求；
⑤已知a=6，b=8，c=13，计算两条短边的平方和：$6^2+8^2=36+64=100$，最长边平方为$13^2=169$，$100≠169$，不满足勾股定理逆定理，不能判定△ABC是直角三角形，不符合要求。
综上，能独立判定△ABC是直角三角形的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
直角三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查直角三角形的判定方法，解题时需分别从角、边两个维度逐一验证条件，注意区分能直接推出直角的条件和仅能得到固定角、无法确定是否存在直角的条件。
【难度系数】
0.7

6.如图，点P是等边$△ ABC$内一点，连接PA，PB，PC，满足$PA:PB:PC=3:4:5$，以AC为边作$△ AP'C ≌ △ APB$，连接$PP'$。有以下结论：①$△ APP'$是等边三角形；②$△ PCP'$是直角三角形；③$∠ APB=150°$；④$∠ APC=105°$。其中一定正确的是。（把所有正确答案的序号都填在横线上）

6.①②③

【分析】
解题时先结合已知全等三角形的性质推导边和角的关系，再结合等边△ABC的内角特征判断△APP'的形状；接下来利用线段比例设参数，通过勾股定理逆定理判断△PCP'的形状；再结合角的和差关系推导∠APB的度数，最后验证∠APC是否为固定值即可判断结论是否正确。
【解析】
设$PA=3k$，$PB=4k$，$PC=5k$（$k＞0$）。
1. 证明结论①：
∵ $△ AP'C ≌ △ APB$，
∴ $AP=AP'$，$∠ BAP=∠ CAP'$，$PB=P'C=4k$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ BAC=60°$，即$∠ BAP+∠ PAC=60°$。
等量代换得$∠ CAP'+∠ PAC=∠ PAP'=60°$，又$AP=AP'$，
∴ $△ APP'$是等边三角形，故①正确。
2. 证明结论②：
由①得$△ APP'$是等边三角形，
∴ $PP'=PA=3k$。
在$△ PCP'$中，$PP'=3k$，$P'C=4k$，$PC=5k$，
∵ $(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ PCP'$是直角三角形，且$∠ PP'C=90°$，故②正确。
3. 证明结论③：
$∠ AP'C=∠ AP'P+∠ PP'C=60°+90°=150°$，
∵ $△ AP'C ≌ △ APB$，
∴ $∠ APB=∠ AP'C=150°$，故③正确。
4. 判断结论④：
在$Rt△ PCP'$中，$PP'=3k≠ P'C=4k$，
∴ $∠ P'PC≠45°$，
$∠ APC=∠ APP'+∠ P'PC=60°+∠ P'PC≠105°$，故④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是三角形综合类题目，通过全等三角形的边、角传递关系，结合勾股定理逆定理判断直角三角形，能很好地考查学生对三角形相关性质的综合运用能力，是该章节的典型题型。
【难度系数】
0.6

7.如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝15，求BC边上的高AD的长。

7. 解:因为$AB^2+AC^2=9^2+12^2=225=BC^2$,
所以$△ ABC$是直角三角形。
所以$\frac{1}{2}AB× AC=\frac{1}{2}BC× AD$,
所以$AD=\frac{AB× AC}{BC}=\frac{9×12}{15}=\frac{36}{5}$。

【分析】
首先我们已知△ABC三边的长度，第一步可以先通过勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形：计算两条短边的平方和，再和最长边的平方比较，如果相等就说明是直角三角形。如果确定是直角三角形，我们就可以用两种方法计算它的面积：一种是用两条直角边的乘积除以2，另一种是用斜边BC乘BC边上的高AD再除以2，两种方法算的面积相等，就能列出等式求出AD的长度。
【解析】
解：先计算三边的平方：
$AB^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225$，
$BC^2=15^2=225$，
所以$AB^2+AC^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
因为三角形的面积可以用两种方式表示：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB× AC$，也等于$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC× AD$，
所以$\frac{1}{2}AB× AC=\frac{1}{2}BC× AD$，两边同时乘2消去$\frac{1}{2}$，得$AB× AC=BC× AD$，
代入数值计算：$AD=\frac{AB× AC}{BC}=\frac{9×12}{15}=\frac{36}{5}$。
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
勾股定理逆定理，等面积法求高，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础题型，解题核心是先判定三角形的形状，再利用等面积法建立边长和高的等量关系求解，这类题型是勾股定理相关考点的常考类型，熟练掌握后很容易得分。
【难度系数】
0.7