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8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=17\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=15\ \mathrm{cm}$。将$△ ABC$沿$AE$折叠，使得点$C$与$AB$上的点$D$重合。
(1)$△ ABC$是直角三角形吗？请说明理由；
(2)求$△ AEB$的面积。
(1)$△ ABC$是直角三角形吗？请说明理由；
(2)求$△ AEB$的面积。
答案
8. 解:(1)因为$AC^2+BC^2=8^2+15^2=289$,$AB^2=289$,
所以$AC^2+BC^2=AB^2$,
所以$△ ABC$是直角三角形。
(2)由翻折的性质可知 $EC=DE$,$AC=AD=8\ \mathrm{cm}$,$∠ ADE=∠ C=∠ BDE=90°$,
所以$BD=AB-AD=17\ \mathrm{cm}-8\ \mathrm{cm}=9\ \mathrm{cm}$。
设$EC=DE=x\ \mathrm{cm}$,则$BE=(15-x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,由勾股定理得
$DE^2+BD^2=BE^2$,
即$x^2+9^2=(15-x)^2$,
解得$x=\frac{24}{5}$。
所以$BE=BC-EC=15\ \mathrm{cm}-\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}=\frac{51}{5}\ \mathrm{cm}$,
所以$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× BE× AC=\frac{1}{2}×\frac{51}{5}×8=\frac{204}{5}(\mathrm{cm}^2)$。
所以$AC^2+BC^2=AB^2$,
所以$△ ABC$是直角三角形。
(2)由翻折的性质可知 $EC=DE$,$AC=AD=8\ \mathrm{cm}$,$∠ ADE=∠ C=∠ BDE=90°$,
所以$BD=AB-AD=17\ \mathrm{cm}-8\ \mathrm{cm}=9\ \mathrm{cm}$。
设$EC=DE=x\ \mathrm{cm}$,则$BE=(15-x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,由勾股定理得
$DE^2+BD^2=BE^2$,
即$x^2+9^2=(15-x)^2$,
解得$x=\frac{24}{5}$。
所以$BE=BC-EC=15\ \mathrm{cm}-\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}=\frac{51}{5}\ \mathrm{cm}$,
所以$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× BE× AC=\frac{1}{2}×\frac{51}{5}×8=\frac{204}{5}(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
(1) 判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，先计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方比较，若二者相等则该三角形为直角三角形。
(2) 首先根据折叠的性质得到相等的边和角：$EC=DE$，$AC=AD=8\ \mathrm{cm}$，$∠ADE=∠C=90°$，进而求出$BD$的长度；再设$EC=DE=x\ \mathrm{cm}$，用含$x$的式子表示出$BE$的长度，在$\mathrm{Rt}△BDE$中利用勾股定理列方程求解得到$EC$的长度，最后根据三角形面积公式计算$△AEB$的面积即可。
【解析】
(1) $△ABC$是直角三角形，理由如下：
已知$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=15\ \mathrm{cm}$，$AB=17\ \mathrm{cm}$，
计算可得：$AC^2+BC^2=8^2+15^2=64+225=289$，$AB^2=17^2=289$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可判定$△ABC$是直角三角形，且$∠C=90°$。
(2) 由折叠的性质可知：$EC=DE$，$AC=AD=8\ \mathrm{cm}$，$∠ADE=∠C=90°$，
因此$∠BDE=180°-∠ADE=90°$，$BD=AB-AD=17-8=9\ \mathrm{cm}$。
设$EC=DE=x\ \mathrm{cm}$，则$BE=BC-EC=(15-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△BDE$中，由勾股定理得：$DE^2+BD^2=BE^2$，
代入数据得：$x^2+9^2=(15-x)^2$，
展开整理得：$x^2+81=225-30x+x^2$，
消去$x^2$后解得$x=\frac{24}{5}$，即$EC=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$，
因此$BE=15-\frac{24}{5}=\frac{51}{5}\ \mathrm{cm}$，
则$S_{△AEB}=\frac{1}{2}×BE×AC=\frac{1}{2}×\frac{51}{5}×8=\frac{204}{5}\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $△ABC$是直角三角形，理由见解析；
(2) $\frac{204}{5}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理逆定理，折叠的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是直角三角形相关知识的综合应用题型，既考查了直角三角形的判定方法，也考查了折叠性质的应用及利用勾股定理列方程求解未知线段的思路，是几何中方程思想应用的典型题，需熟练掌握折叠前后对应边、对应角相等的性质。
【难度系数】
0.7
(1) 判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，先计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方比较，若二者相等则该三角形为直角三角形。
(2) 首先根据折叠的性质得到相等的边和角：$EC=DE$，$AC=AD=8\ \mathrm{cm}$，$∠ADE=∠C=90°$，进而求出$BD$的长度；再设$EC=DE=x\ \mathrm{cm}$，用含$x$的式子表示出$BE$的长度，在$\mathrm{Rt}△BDE$中利用勾股定理列方程求解得到$EC$的长度，最后根据三角形面积公式计算$△AEB$的面积即可。
【解析】
(1) $△ABC$是直角三角形，理由如下：
已知$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=15\ \mathrm{cm}$，$AB=17\ \mathrm{cm}$，
计算可得：$AC^2+BC^2=8^2+15^2=64+225=289$，$AB^2=17^2=289$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可判定$△ABC$是直角三角形，且$∠C=90°$。
(2) 由折叠的性质可知：$EC=DE$，$AC=AD=8\ \mathrm{cm}$，$∠ADE=∠C=90°$，
因此$∠BDE=180°-∠ADE=90°$，$BD=AB-AD=17-8=9\ \mathrm{cm}$。
设$EC=DE=x\ \mathrm{cm}$，则$BE=BC-EC=(15-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△BDE$中，由勾股定理得：$DE^2+BD^2=BE^2$，
代入数据得：$x^2+9^2=(15-x)^2$，
展开整理得：$x^2+81=225-30x+x^2$，
消去$x^2$后解得$x=\frac{24}{5}$，即$EC=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$，
因此$BE=15-\frac{24}{5}=\frac{51}{5}\ \mathrm{cm}$，
则$S_{△AEB}=\frac{1}{2}×BE×AC=\frac{1}{2}×\frac{51}{5}×8=\frac{204}{5}\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $△ABC$是直角三角形，理由见解析；
(2) $\frac{204}{5}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理逆定理，折叠的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是直角三角形相关知识的综合应用题型，既考查了直角三角形的判定方法，也考查了折叠性质的应用及利用勾股定理列方程求解未知线段的思路，是几何中方程思想应用的典型题，需熟练掌握折叠前后对应边、对应角相等的性质。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，$DE$是$BC$边的垂直平分线，交$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$，$AF⊥ BC$于点$F$。
(1)若$∠ BAC=90°$，求$AE$的长；
(2)若$DF=1.4$，试说明$△ ABC$为直角三角形。
(1)若$∠ BAC=90°$，求$AE$的长；
(2)若$DF=1.4$，试说明$△ ABC$为直角三角形。
答案
9. 解:(1)如图,连接 CE。
设$AE=x$,
因为$AB=8$,
所以$BE=8-x$。
因为 DE 是 BC 的垂直平分线,
所以$CE=BE=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ CAE$中,由勾股定理得
$AE^2+AC^2=EC^2$,
所以$x^2+6^2=(8-x)^2$,
解得$x=\frac{7}{4}$,即$AE=\frac{7}{4}$。
(2)设$BD=y$,则$CD=y$。
因为$DF=1.4$,
所以$BF=y+1.4$,$CF=y-1.4$。
因为$AF⊥ BC$,
所以$△ AFB$和$△ AFC$是直角三角形,
所以$AB^2-BF^2=AC^2-CF^2=AF^2$,
即$8^2-(y+1.4)^2=6^2-(y-1.4)^2$,
解得$y=5$,
所以$BC=10$。
因为$AC^2+AB^2=6^2+8^2=10^2=BC^2$,
所以$△ ABC$为直角三角形。
解析
【分析】
(1) 求AE的长度时，首先结合线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，连接CE可得BE=CE。已知∠BAC=90°，因此△EAC为直角三角形，我们可以设AE为x，将CE、AE用含x的式子表示，再利用勾股定理列方程即可求解。
(2) 要证明△ABC是直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只需证明AB²+AC²=BC²即可。已知AF⊥BC，△ABF和△ACF都是直角三角形且共用直角边AF，因此可得AB²-BF²=AC²-CF²。结合DE是BC的垂直平分线可知BD=CD，设BD为y，将BF、CF用含y和DF的式子表示，代入等量关系列方程求出BD的长度，即可得到BC的长度，最后验证三边是否满足勾股定理逆定理即可。
【解析】
(1) 如图，连接CE。
设$AE=x$，
因为$AB=8$，
所以$BE=8-x$。
因为DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，
所以$CE=BE=8-x$。
已知$∠ BAC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ CAE$中，由勾股定理得：
$AE^2+AC^2=EC^2$，
代入得$x^2+6^2=(8-x)^2$，
展开计算得$x^2+36=64-16x+x^2$，
化简解得$x=\frac{7}{4}$，即$AE=\frac{7}{4}$。
(2) 设$BD=y$，因为DE是BC的垂直平分线，所以$CD=BD=y$。
因为$DF=1.4$，
所以$BF=BD+DF=y+1.4$，$CF=CD-DF=y-1.4$。
因为$AF⊥ BC$，所以$△ AFB$和$△ AFC$都是直角三角形，
由勾股定理可得公共边$AF^2$满足：
$AB^2-BF^2=AC^2-CF^2=AF^2$，
代入得$8^2-(y+1.4)^2=6^2-(y-1.4)^2$，
展开整理得$64-2.8y=36+2.8y$，
解得$y=5$，
所以$BC=2y=10$。
因为$AC^2+AB^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$为直角三角形。
【答案】
9. 解:(1)如图,连接 CE。
设$AE=x$,
因为$AB=8$,
所以$BE=8-x$。
因为 DE 是 BC 的垂直平分线,
所以$CE=BE=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ CAE$中,由勾股定理得
$AE^2+AC^2=EC^2$,
所以$x^2+6^2=(8-x)^2$,
解得$x=\frac{7}{4}$,即$AE=\frac{7}{4}$。
(2)设$BD=y$,则$CD=y$。
因为$DF=1.4$,
所以$BF=y+1.4$,$CF=y-1.4$。
因为$AF⊥ BC$,
所以$△ AFB$和$△ AFC$是直角三角形,
所以$AB^2-BF^2=AC^2-CF^2=AF^2$,
即$8^2-(y+1.4)^2=6^2-(y-1.4)^2$,
解得$y=5$,
所以$BC=10$。
因为$AC^2+AB^2=6^2+8^2=10^2=BC^2$,
所以$△ ABC$为直角三角形。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查了几何性质定理的应用和方程思想的运用，解题关键是合理利用垂直平分线的性质转化相等线段，结合勾股定理构造方程求解，能够有效锻炼学生的逻辑推理和数形结合能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求AE的长度时，首先结合线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，连接CE可得BE=CE。已知∠BAC=90°，因此△EAC为直角三角形，我们可以设AE为x，将CE、AE用含x的式子表示，再利用勾股定理列方程即可求解。
(2) 要证明△ABC是直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只需证明AB²+AC²=BC²即可。已知AF⊥BC，△ABF和△ACF都是直角三角形且共用直角边AF，因此可得AB²-BF²=AC²-CF²。结合DE是BC的垂直平分线可知BD=CD，设BD为y，将BF、CF用含y和DF的式子表示，代入等量关系列方程求出BD的长度，即可得到BC的长度，最后验证三边是否满足勾股定理逆定理即可。
【解析】
(1) 如图，连接CE。
设$AE=x$，
因为$AB=8$，
所以$BE=8-x$。
因为DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，
所以$CE=BE=8-x$。
已知$∠ BAC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ CAE$中，由勾股定理得：
$AE^2+AC^2=EC^2$，
代入得$x^2+6^2=(8-x)^2$，
展开计算得$x^2+36=64-16x+x^2$，
化简解得$x=\frac{7}{4}$，即$AE=\frac{7}{4}$。
(2) 设$BD=y$，因为DE是BC的垂直平分线，所以$CD=BD=y$。
因为$DF=1.4$，
所以$BF=BD+DF=y+1.4$，$CF=CD-DF=y-1.4$。
因为$AF⊥ BC$，所以$△ AFB$和$△ AFC$都是直角三角形，
由勾股定理可得公共边$AF^2$满足：
$AB^2-BF^2=AC^2-CF^2=AF^2$，
代入得$8^2-(y+1.4)^2=6^2-(y-1.4)^2$，
展开整理得$64-2.8y=36+2.8y$，
解得$y=5$，
所以$BC=2y=10$。
因为$AC^2+AB^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$为直角三角形。
【答案】
9. 解:(1)如图,连接 CE。
设$AE=x$,
因为$AB=8$,
所以$BE=8-x$。
因为 DE 是 BC 的垂直平分线,
所以$CE=BE=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ CAE$中,由勾股定理得
$AE^2+AC^2=EC^2$,
所以$x^2+6^2=(8-x)^2$,
解得$x=\frac{7}{4}$,即$AE=\frac{7}{4}$。
(2)设$BD=y$,则$CD=y$。
因为$DF=1.4$,
所以$BF=y+1.4$,$CF=y-1.4$。
因为$AF⊥ BC$,
所以$△ AFB$和$△ AFC$是直角三角形,
所以$AB^2-BF^2=AC^2-CF^2=AF^2$,
即$8^2-(y+1.4)^2=6^2-(y-1.4)^2$,
解得$y=5$,
所以$BC=10$。
因为$AC^2+AB^2=6^2+8^2=10^2=BC^2$,
所以$△ ABC$为直角三角形。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查了几何性质定理的应用和方程思想的运用，解题关键是合理利用垂直平分线的性质转化相等线段，结合勾股定理构造方程求解，能够有效锻炼学生的逻辑推理和数形结合能力。
【难度系数】
0.6
10.如图，在$△ ABC$中，点D是BC的中点，点M，N分别在AB，AC上，且$∠ MDN = 90°$，延长MD到点E，使$MD = DE$，连接CE，EN，已知$BM^2 + CN^2 = DM^2 + DN^2$。
(1)$MN = EN$吗？请说明理由；
(2)$△ ABC$是直角三角形吗？请说明理由。
(1)$MN = EN$吗？请说明理由；
(2)$△ ABC$是直角三角形吗？请说明理由。
答案
10. 解:(1)$MN=EN$。
因为$MD=DE$,$∠ MDN=90°$,
所以直线 ND 垂直平分 ME,
所以$MN=EN$。
(2)$△ ABC$是直角三角形。
因为点 D 是 BC 的中点,
所以$BD=CD$。
在$△ BDM$和$△ CDE$中,
$\begin{cases} DM=DE, \\ ∠ MDB=∠ CDE, \\ BD=CD, \end{cases}$
所以$△ BDM≌△ CDE(\mathrm{SAS})$,
所以$BM=CE$,$∠ B=∠ DCE$。
在$\mathrm{Rt}△ MDN$中,由勾股定理得
$DM^2+DN^2=MN^2=EN^2$。
又因为$BM^2+CN^2=DM^2+DN^2$,
所以$CE^2+CN^2=EN^2$,
所以$∠ NCE=90°$。
所以$∠ ACB+∠ DCE=∠ ACB+∠ B=90°$,
所以$∠ A=90°$,
所以$△ ABC$是直角三角形。
因为$MD=DE$,$∠ MDN=90°$,
所以直线 ND 垂直平分 ME,
所以$MN=EN$。
(2)$△ ABC$是直角三角形。
因为点 D 是 BC 的中点,
所以$BD=CD$。
在$△ BDM$和$△ CDE$中,
$\begin{cases} DM=DE, \\ ∠ MDB=∠ CDE, \\ BD=CD, \end{cases}$
所以$△ BDM≌△ CDE(\mathrm{SAS})$,
所以$BM=CE$,$∠ B=∠ DCE$。
在$\mathrm{Rt}△ MDN$中,由勾股定理得
$DM^2+DN^2=MN^2=EN^2$。
又因为$BM^2+CN^2=DM^2+DN^2$,
所以$CE^2+CN^2=EN^2$,
所以$∠ NCE=90°$。
所以$∠ ACB+∠ DCE=∠ ACB+∠ B=90°$,
所以$∠ A=90°$,
所以$△ ABC$是直角三角形。
解析
【分析】
本题分两小问解答，思路如下：
(1) 判断MN与EN是否相等：结合已知MD=DE，∠MDN=90°，可知ND垂直平分线段ME，根据垂直平分线的性质即可直接得到两条线段的关系。
(2) 判断△ABC是否为直角三角形：只需证明∠A=90°，即推导∠B+∠ACB=90°。首先利用D是BC中点的条件，结合对顶角相等和MD=DE，通过SAS证明△BDM≌△CDE，得到BM=CE、∠B=∠DCE。再结合题干给出的线段平方关系，结合勾股定理和第一问的结论，用勾股定理逆定理推出∠NCE=90°，将∠DCE替换为∠B，即可得到∠B与∠ACB的和为90°，最终证明∠A为直角。
【解析】
(1) $MN=EN$，理由如下：
$\because MD=DE$，$∠ MDN=90°$，
$\therefore ND$垂直且平分线段$ME$，即直线$ND$是$ME$的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得$MN=EN$。
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：
$\because$ 点$D$是$BC$的中点，$\therefore BD=CD$。
在$△ BDM$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}DM=DE \\∠ MDB=∠ CDE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD=CD\end{cases}$
$\therefore △ BDM ≌ △ CDE (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BM=CE$，$∠ B=∠ DCE$。
在$\mathrm{Rt}△ MDN$中，由勾股定理得：$DM^2 + DN^2 = MN^2$，
由(1)知$MN=EN$，$\therefore DM^2 + DN^2 = EN^2$。
又$\because BM^2 + CN^2 = DM^2 + DN^2$，将$BM=CE$代入得：
$CE^2 + CN^2 = EN^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$∠ NCE=90°$，即$∠ ACB + ∠ DCE = 90°$。
将$∠ DCE=∠ B$代入得：$∠ ACB + ∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ A = 180° - (∠ B + ∠ ACB) = 90°$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) $MN=EN$；
(2) $△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 勾股定理及逆定理
【点评】
本题属于三角形模块的综合基础题，融合了多个核心知识点，解题关键是通过全等三角形实现线段、角的等量转化，再结合勾股相关结论推导直角，能够有效锻炼逻辑推理和条件转化的能力。
【难度系数】
0.65
本题分两小问解答，思路如下：
(1) 判断MN与EN是否相等：结合已知MD=DE，∠MDN=90°，可知ND垂直平分线段ME，根据垂直平分线的性质即可直接得到两条线段的关系。
(2) 判断△ABC是否为直角三角形：只需证明∠A=90°，即推导∠B+∠ACB=90°。首先利用D是BC中点的条件，结合对顶角相等和MD=DE，通过SAS证明△BDM≌△CDE，得到BM=CE、∠B=∠DCE。再结合题干给出的线段平方关系，结合勾股定理和第一问的结论，用勾股定理逆定理推出∠NCE=90°，将∠DCE替换为∠B，即可得到∠B与∠ACB的和为90°，最终证明∠A为直角。
【解析】
(1) $MN=EN$，理由如下：
$\because MD=DE$，$∠ MDN=90°$，
$\therefore ND$垂直且平分线段$ME$，即直线$ND$是$ME$的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得$MN=EN$。
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：
$\because$ 点$D$是$BC$的中点，$\therefore BD=CD$。
在$△ BDM$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}DM=DE \\∠ MDB=∠ CDE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD=CD\end{cases}$
$\therefore △ BDM ≌ △ CDE (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BM=CE$，$∠ B=∠ DCE$。
在$\mathrm{Rt}△ MDN$中，由勾股定理得：$DM^2 + DN^2 = MN^2$，
由(1)知$MN=EN$，$\therefore DM^2 + DN^2 = EN^2$。
又$\because BM^2 + CN^2 = DM^2 + DN^2$，将$BM=CE$代入得：
$CE^2 + CN^2 = EN^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$∠ NCE=90°$，即$∠ ACB + ∠ DCE = 90°$。
将$∠ DCE=∠ B$代入得：$∠ ACB + ∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ A = 180° - (∠ B + ∠ ACB) = 90°$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) $MN=EN$；
(2) $△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 勾股定理及逆定理
【点评】
本题属于三角形模块的综合基础题，融合了多个核心知识点，解题关键是通过全等三角形实现线段、角的等量转化，再结合勾股相关结论推导直角，能够有效锻炼逻辑推理和条件转化的能力。
【难度系数】
0.65
