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变式训练1 | 如图,在$△ ABC$中,已知$AB=AC,∠ A=36°,BD$平分$∠ ABC$,则图中的等腰三角形有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①首先由AB=AC可直接确定△ABC是等腰三角形，结合三角形内角和算出底角∠ABC、∠C的度数；②再根据BD平分∠ABC，得到∠ABD和∠DBC的度数；③分别分析△ABD和△BDC的内角度数，利用“等角对等边”判断这两个三角形是否为等腰三角形，最终统计等腰三角形的总个数。
【解析】
1. 判定△ABC是等腰三角形：
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C。
根据三角形内角和为180°，∠A=36°，因此：
$∠ ABC=∠ C=(180°-36°)÷2=72°$。
2. 判定△ABD是等腰三角形：
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ ABD=∠ DBC=72°÷2=36°$。
在△ABD中，$∠ A=∠ ABD=36°$，根据“等角对等边”可得AD=BD，因此△ABD是等腰三角形。
3. 判定△BDC是等腰三角形：
在△BDC中，$∠ DBC=36°$，$∠ C=72°$，因此$∠ BDC=180°-36°-72°=72°$。
可得$∠ BDC=∠ C$，根据“等角对等边”可得BD=BC，因此△BDC是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有△ABC、△ABD、△BDC，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，解题的关键是结合已知条件逐步计算各内角的度数，通过“等角对等边”完成判定，注意不要漏数任意一个等腰三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①首先由AB=AC可直接确定△ABC是等腰三角形，结合三角形内角和算出底角∠ABC、∠C的度数；②再根据BD平分∠ABC，得到∠ABD和∠DBC的度数；③分别分析△ABD和△BDC的内角度数，利用“等角对等边”判断这两个三角形是否为等腰三角形，最终统计等腰三角形的总个数。
【解析】
1. 判定△ABC是等腰三角形：
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C。
根据三角形内角和为180°，∠A=36°，因此：
$∠ ABC=∠ C=(180°-36°)÷2=72°$。
2. 判定△ABD是等腰三角形：
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ ABD=∠ DBC=72°÷2=36°$。
在△ABD中，$∠ A=∠ ABD=36°$，根据“等角对等边”可得AD=BD，因此△ABD是等腰三角形。
3. 判定△BDC是等腰三角形：
在△BDC中，$∠ DBC=36°$，$∠ C=72°$，因此$∠ BDC=180°-36°-72°=72°$。
可得$∠ BDC=∠ C$，根据“等角对等边”可得BD=BC，因此△BDC是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有△ABC、△ABD、△BDC，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，解题的关键是结合已知条件逐步计算各内角的度数，通过“等角对等边”完成判定，注意不要漏数任意一个等腰三角形。
【难度系数】
0.7
例2 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=30°$,$∠ C=90°$,$BC=10$,点$D$是斜边$AB$的中点,$DE⊥ AC$,交$AC$于点$E$,求$DE$的长。
[点拨] 在直角三角形中,$30°$的锐角所对的直角边等于斜边的一半,关键是正确区分哪条直角边等于斜边的一半。
[解] 因为$∠ A=30°$,$∠ C=90°$,$BC=10$,
所以$AB=20$。
因为点$D$是$AB$的中点,
所以$AD=10$,
所以$DE=\frac{1}{2}AD=5$。
[点拨] 在直角三角形中,$30°$的锐角所对的直角边等于斜边的一半,关键是正确区分哪条直角边等于斜边的一半。
[解] 因为$∠ A=30°$,$∠ C=90°$,$BC=10$,
所以$AB=20$。
因为点$D$是$AB$的中点,
所以$AD=10$,
所以$DE=\frac{1}{2}AD=5$。
答案
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=10，
∴ AB=2BC=20。
∵ 点D是斜边AB的中点，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=10$。
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ AED=90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
在Rt△ADE中，∠A=30°，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD=5$。
∵ 在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=10，
∴ AB=2BC=20。
∵ 点D是斜边AB的中点，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=10$。
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ AED=90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
在Rt△ADE中，∠A=30°，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD=5$。
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：题目给出含30°角的Rt△ABC，且已知30°角所对的直角边BC的长度，首先可以利用“直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出斜边AB的长度；再结合点D是AB中点的条件，可求出AD的长度；接下来由DE⊥AC可知△ADE也是直角三角形，且∠A仍是30°，DE是该直角三角形中30°角所对的直角边，再次使用上述30°直角三角形的性质即可求出DE的长度。
【解析】
∵ 在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=10，
∴ AB=2BC=20。
∵ 点D是斜边AB的中点，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=10$。
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ AED=90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
在Rt△ADE中，∠A=30°，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD=5$。
【答案】
DE的长为5
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 线段中点的定义
3. 垂直的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查含30°角的直角三角形性质的应用，解题时需注意两次运用该性质时要准确对应30°角所对的直角边和斜边的关系，避免混淆边的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：题目给出含30°角的Rt△ABC，且已知30°角所对的直角边BC的长度，首先可以利用“直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出斜边AB的长度；再结合点D是AB中点的条件，可求出AD的长度；接下来由DE⊥AC可知△ADE也是直角三角形，且∠A仍是30°，DE是该直角三角形中30°角所对的直角边，再次使用上述30°直角三角形的性质即可求出DE的长度。
【解析】
∵ 在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=10，
∴ AB=2BC=20。
∵ 点D是斜边AB的中点，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=10$。
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ AED=90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
在Rt△ADE中，∠A=30°，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD=5$。
【答案】
DE的长为5
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 线段中点的定义
3. 垂直的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查含30°角的直角三角形性质的应用，解题时需注意两次运用该性质时要准确对应30°角所对的直角边和斜边的关系，避免混淆边的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
|变式训练2| 如图，在$△ ABC$中，已知$AB=BC$，$∠ B=120°$，$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$。若$AC=6\ \mathrm{cm}$，则$AD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
2
解析
【分析】
首先，根据△ABC是等腰三角形且顶角∠B=120°，先计算出两个底角的度数；再利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，推导对应角相等，进而求出∠DBC为直角；最后结合含30°角的直角三角形的性质得到BD与DC的关系，结合AC的总长度即可求出AD的长。解题时先连接辅助线BD，构建等腰三角形和直角三角形转化线段关系即可。
【解析】
解：连接BD。
∵ AB=BC，∠ABC=120°，
∴ ∠A=∠C = $\frac{180°-120°}{2}$ = 30°。
∵ 点D在AB的垂直平分线上，
∴ AD=BD，
∴ ∠ABD=∠A=30°，
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD = 120° - 30° = 90°，即△DBC是直角三角形。
在Rt△DBC中，∠C=30°，
∴ BD = $\frac{1}{2}$DC，
又
∵ BD=AD，
∴ DC=2AD。
∵ AC=AD + DC = AD + 2AD = 3AD = 6cm，
∴ AD=2cm。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，将分散的已知条件结合，通过角的关系推导线段的数量关系，最终求解目标线段长度，这类题也是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先，根据△ABC是等腰三角形且顶角∠B=120°，先计算出两个底角的度数；再利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，推导对应角相等，进而求出∠DBC为直角；最后结合含30°角的直角三角形的性质得到BD与DC的关系，结合AC的总长度即可求出AD的长。解题时先连接辅助线BD，构建等腰三角形和直角三角形转化线段关系即可。
【解析】
解：连接BD。
∵ AB=BC，∠ABC=120°，
∴ ∠A=∠C = $\frac{180°-120°}{2}$ = 30°。
∵ 点D在AB的垂直平分线上，
∴ AD=BD，
∴ ∠ABD=∠A=30°，
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD = 120° - 30° = 90°，即△DBC是直角三角形。
在Rt△DBC中，∠C=30°，
∴ BD = $\frac{1}{2}$DC，
又
∵ BD=AD，
∴ DC=2AD。
∵ AC=AD + DC = AD + 2AD = 3AD = 6cm，
∴ AD=2cm。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，将分散的已知条件结合，通过角的关系推导线段的数量关系，最终求解目标线段长度，这类题也是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
1. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点。已知A，B是两个格点，如果C也是图中的格点，且$△ ABC$为等腰三角形，那么点C的个数是(
A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
C
)A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
答案
C
解析
【分析】
要找出所有满足△ABC为等腰三角形的格点C，需根据等腰三角形“两边相等”的性质分类讨论，避免漏解：
1. 先设每个小正方形边长为1，计算得AB的长度平方为$2^2+1^2=5$，即$AB=\sqrt{5}$；
2. 分三类情况讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（$AC=AB$）；②AB为腰，B为顶角顶点（$BC=AB$）；③AB为底边（$AC=BC$）；
3. 分别在网格中找出符合三类条件的格点，排除重复的点和与A、B共线的点，统计总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算AB的长度：A、B的水平距离为2，竖直距离为1，因此$AB^2=2^2+1^2=5$，$AB=\sqrt{5}$。
分三种情况寻找符合条件的格点C：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点时（$AC=AB$）：
以A为圆心，AB长为半径画圆，与网格线的格点交点共有3个（排除点B本身，且均不与A、B共线，可构成等腰三角形）；
2. 当AB为腰，B为顶角顶点时（$BC=AB$）：
以B为圆心，AB长为半径画圆，与网格线的格点交点共有5个（排除点A本身，且均不与A、B共线，可构成等腰三角形）；
3. 当AB为底边时（$AC=BC$）：
作AB的垂直平分线，经排查，这条线上没有符合要求的格点，因此该情况没有符合条件的C点。
综上，符合条件的点C共有$3+5=8$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、分类讨论思想、网格作图
【点评】
本题核心考查等腰三角形的判定，解题关键是按照“AB为腰、AB为底”的分类标准逐一排查格点，易错点是分类不全导致漏数点，做题时可通过画圆弧、作垂直平分线的方法辅助找格点，避免遗漏。
【难度系数】
0.6
要找出所有满足△ABC为等腰三角形的格点C，需根据等腰三角形“两边相等”的性质分类讨论，避免漏解：
1. 先设每个小正方形边长为1，计算得AB的长度平方为$2^2+1^2=5$，即$AB=\sqrt{5}$；
2. 分三类情况讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（$AC=AB$）；②AB为腰，B为顶角顶点（$BC=AB$）；③AB为底边（$AC=BC$）；
3. 分别在网格中找出符合三类条件的格点，排除重复的点和与A、B共线的点，统计总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算AB的长度：A、B的水平距离为2，竖直距离为1，因此$AB^2=2^2+1^2=5$，$AB=\sqrt{5}$。
分三种情况寻找符合条件的格点C：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点时（$AC=AB$）：
以A为圆心，AB长为半径画圆，与网格线的格点交点共有3个（排除点B本身，且均不与A、B共线，可构成等腰三角形）；
2. 当AB为腰，B为顶角顶点时（$BC=AB$）：
以B为圆心，AB长为半径画圆，与网格线的格点交点共有5个（排除点A本身，且均不与A、B共线，可构成等腰三角形）；
3. 当AB为底边时（$AC=BC$）：
作AB的垂直平分线，经排查，这条线上没有符合要求的格点，因此该情况没有符合条件的C点。
综上，符合条件的点C共有$3+5=8$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、分类讨论思想、网格作图
【点评】
本题核心考查等腰三角形的判定，解题关键是按照“AB为腰、AB为底”的分类标准逐一排查格点，易错点是分类不全导致漏数点，做题时可通过画圆弧、作垂直平分线的方法辅助找格点，避免遗漏。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$∠ B=30°$，点$P$是$BC$边上的动点，则$AP$的长不可能是(
A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
D
)A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
答案
D
解析
【分析】
要判断AP的长不可能是哪个值，首先需要确定AP的取值范围：第一步，根据垂线段最短，找到AP的最小值；第二步，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长，得到AP的最大值；第三步，对比选项，找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
解：
∵ ∠C=90°，即AC⊥BC，
根据垂线段最短，点A到BC边上的点的最短距离为AC的长度，
∴ AP ≥ AC = 3。
在Rt△ABC中，∠B=30°，AC是∠B所对的直角边，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
AB = 2AC = 2×3 = 6。
∵ 点P在BC边上运动，
∴ 当P与点B重合时，AP最长，即AP ≤ AB = 6。
综上，AP的取值范围是3 ≤ AP ≤ 6。
观察选项，3.5、4.2、5.8都在该范围内，只有7＞6，不符合要求，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，动点线段最值
【点评】
本题是几何动点的基础题型，解题核心是先确定动线段的取值范围，再结合选项判断，需要熟练掌握垂线段的性质和特殊直角三角形的边角特征。
【难度系数】
0.7
要判断AP的长不可能是哪个值，首先需要确定AP的取值范围：第一步，根据垂线段最短，找到AP的最小值；第二步，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长，得到AP的最大值；第三步，对比选项，找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
解：
∵ ∠C=90°，即AC⊥BC，
根据垂线段最短，点A到BC边上的点的最短距离为AC的长度，
∴ AP ≥ AC = 3。
在Rt△ABC中，∠B=30°，AC是∠B所对的直角边，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
AB = 2AC = 2×3 = 6。
∵ 点P在BC边上运动，
∴ 当P与点B重合时，AP最长，即AP ≤ AB = 6。
综上，AP的取值范围是3 ≤ AP ≤ 6。
观察选项，3.5、4.2、5.8都在该范围内，只有7＞6，不符合要求，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，动点线段最值
【点评】
本题是几何动点的基础题型，解题核心是先确定动线段的取值范围，再结合选项判断，需要熟练掌握垂线段的性质和特殊直角三角形的边角特征。
【难度系数】
0.7
3.在$△ ABC$中，已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$，则$△ ABC$是(
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
D
)A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
答案
D
解析
【分析】
解决这道题的思路如下：首先回忆三角形内角和为180°的性质，题目给出了三个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方式，按比例分配求出三个角的具体度数；再结合三角形的分类标准，既看角的大小，也看是否有等角（对应等边），最终判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵ 三角形的内角和为180°，且∠A:∠B:∠C=1:1:2
∴ 设∠A = x，∠B = x，∠C = 2x，可得方程：
$x + x + 2x = 180°$
合并同类项得：$4x = 180°$
解得：$x = 45°$
∴ 三个内角的度数分别为：∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°
∵ 有两个角相等，说明三角形是等腰三角形，同时有一个角为90°属于直角三角形
∴ 该三角形是等腰直角三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形判定；三角形分类
【点评】
本题是三角形分类的基础题型，核心是利用内角和定理结合角度比例求出各内角度数，再结合等腰、直角三角形的特征判断即可，解题时注意不要漏看角度特征，避免只选等腰或只选直角的错误。
【难度系数】
0.85
解决这道题的思路如下：首先回忆三角形内角和为180°的性质，题目给出了三个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方式，按比例分配求出三个角的具体度数；再结合三角形的分类标准，既看角的大小，也看是否有等角（对应等边），最终判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵ 三角形的内角和为180°，且∠A:∠B:∠C=1:1:2
∴ 设∠A = x，∠B = x，∠C = 2x，可得方程：
$x + x + 2x = 180°$
合并同类项得：$4x = 180°$
解得：$x = 45°$
∴ 三个内角的度数分别为：∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°
∵ 有两个角相等，说明三角形是等腰三角形，同时有一个角为90°属于直角三角形
∴ 该三角形是等腰直角三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形判定；三角形分类
【点评】
本题是三角形分类的基础题型，核心是利用内角和定理结合角度比例求出各内角度数，再结合等腰、直角三角形的特征判断即可，解题时注意不要漏看角度特征，避免只选等腰或只选直角的错误。
【难度系数】
0.85
