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知识点一 等腰三角形的判定方法
1. 有
2. 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的
1. 有
两条边相等
的三角形是等腰三角形。2. 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的
边
也相等。答案
1. 两条边相等
2. 边
2. 边
解析
【分析】
这两道题均考查等腰三角形判定的基础概念，解题时只需回忆对应知识点直接填写即可。第1题对应等腰三角形的定义判定：等腰三角形最初是从边的特征给出定义的，符合定义特征的三角形就属于等腰三角形；第2题对应等腰三角形的角相关判定定理，也就是常说的“等角对等边”，明确角的相等关系可以直接推出对应边的相等关系。
【解析】
1. 根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，因此第一空填写“两条边相等”。
2. 根据等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（可简记为“等角对等边”），因此第二空填写“边”。
【答案】
1. 两条边相等
2. 边
【知识点】
等腰三角形的定义；等腰三角形的判定定理
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查等腰三角形判定的核心基础概念，熟练掌握相关定义和定理即可轻松得分，是后续学习等腰三角形性质、相关证明类题目的必备基础。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查等腰三角形判定的基础概念，解题时只需回忆对应知识点直接填写即可。第1题对应等腰三角形的定义判定：等腰三角形最初是从边的特征给出定义的，符合定义特征的三角形就属于等腰三角形；第2题对应等腰三角形的角相关判定定理，也就是常说的“等角对等边”，明确角的相等关系可以直接推出对应边的相等关系。
【解析】
1. 根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，因此第一空填写“两条边相等”。
2. 根据等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（可简记为“等角对等边”），因此第二空填写“边”。
【答案】
1. 两条边相等
2. 边
【知识点】
等腰三角形的定义；等腰三角形的判定定理
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查等腰三角形判定的核心基础概念，熟练掌握相关定义和定理即可轻松得分，是后续学习等腰三角形性质、相关证明类题目的必备基础。
【难度系数】
0.9
知识点二 等边三角形的判定方法
1.
2.
3.
1.
三条边
都相等的三角形是等边三角形。2.
三个角
都相等的三角形是等边三角形。3.
有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形。答案
1. 三条边
2. 三个角
3. 有一个角是60°
2. 三个角
3. 有一个角是60°
解析
【分析】
本题考查等边三角形的三类判定方法，解题时可从三个维度回忆相关概念：①从定义角度，结合等边三角形的边的长度特征判定；②从内角特征角度，结合三角形内角和性质推导角的相等关系对应的边的特征；③从特殊等腰三角形的角度，明确等腰三角形添加什么条件可成为等边三角形，对应填入三个空即可。
【解析】
1. 根据等边三角形的定义，三条边都相等的三角形是等边三角形，因此第一空填“三条边”；
2. 三角形内角和为180°，若三个角都相等，则每个角均为60°，对应三条边也相等，因此三个角都相等的三角形是等边三角形，第二空填“三个角”；
3. 等腰三角形已有两条边相等、两个底角相等，若存在一个角是60°，则剩余两个角也均为60°，三个角都相等、三条边也相等，因此有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，第三空填“有一个角是60°”。
【答案】
1. 三条边
2. 三个角
3. 有一个角是60°
【知识点】
等边三角形定义
等边三角形角判定
等腰特殊判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等边三角形三类判定方法的识记，解题的关键是区分不同判定方法的前提条件，尤其是第三种判定的适用前提是等腰三角形，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查等边三角形的三类判定方法，解题时可从三个维度回忆相关概念：①从定义角度，结合等边三角形的边的长度特征判定；②从内角特征角度，结合三角形内角和性质推导角的相等关系对应的边的特征；③从特殊等腰三角形的角度，明确等腰三角形添加什么条件可成为等边三角形，对应填入三个空即可。
【解析】
1. 根据等边三角形的定义，三条边都相等的三角形是等边三角形，因此第一空填“三条边”；
2. 三角形内角和为180°，若三个角都相等，则每个角均为60°，对应三条边也相等，因此三个角都相等的三角形是等边三角形，第二空填“三个角”；
3. 等腰三角形已有两条边相等、两个底角相等，若存在一个角是60°，则剩余两个角也均为60°，三个角都相等、三条边也相等，因此有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，第三空填“有一个角是60°”。
【答案】
1. 三条边
2. 三个角
3. 有一个角是60°
【知识点】
等边三角形定义
等边三角形角判定
等腰特殊判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等边三角形三类判定方法的识记，解题的关键是区分不同判定方法的前提条件，尤其是第三种判定的适用前提是等腰三角形，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
知识点三 含$30°$角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于
在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于
斜边的一半
。答案
斜边的一半
解析
【分析】
本题考查含30°角的直角三角形的性质，解题时可结合已学的等边三角形相关知识推导结论：取两个全等的含30°角的直角三角形，将二者的长直角边对齐拼接，可得到一个等边三角形，该等边三角形的边长与原直角三角形的斜边长度相等，而原直角三角形中30°角所对的直角边恰好是等边三角形边长的一半，由此即可得出对应的边的关系。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的固定性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
斜边的一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是对几何基础性质的直接考查，难度较低，熟记相关性质即可快速作答，该性质是几何中求解线段长度、推导边的关系的常用核心结论。
【难度系数】
0.9
本题考查含30°角的直角三角形的性质，解题时可结合已学的等边三角形相关知识推导结论：取两个全等的含30°角的直角三角形，将二者的长直角边对齐拼接，可得到一个等边三角形，该等边三角形的边长与原直角三角形的斜边长度相等，而原直角三角形中30°角所对的直角边恰好是等边三角形边长的一半，由此即可得出对应的边的关系。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的固定性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
斜边的一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是对几何基础性质的直接考查，难度较低，熟记相关性质即可快速作答，该性质是几何中求解线段长度、推导边的关系的常用核心结论。
【难度系数】
0.9
例1 如图,已知AD平分$△ ABC$的外角$∠ EAC$,且$∠ EAD=∠ C$。AB与AC相等吗？请说明理由。
[点拨] 根据角平分线的定义可得$∠ EAD=∠ DAC$,然后可得$AD// BC$;再利用平行线的性质,结合等量代换得出$∠ B=∠ C$;最后根据等角对等边可得$AB=AC$。
此题主要考查等腰三角形的判定方法,关键是掌握“等角对等边”。
[解] 因为AD平分$∠ EAC$,
所以$∠ EAD=∠ CAD$。
又因为$∠ EAD=∠ C$,
所以$∠ C=∠ CAD$,所以$AD// CB$。
所以$∠ EAD=∠ B$,所以$∠ B=∠ C$,
所以$AB=AC$。
[点拨] 根据角平分线的定义可得$∠ EAD=∠ DAC$,然后可得$AD// BC$;再利用平行线的性质,结合等量代换得出$∠ B=∠ C$;最后根据等角对等边可得$AB=AC$。
此题主要考查等腰三角形的判定方法,关键是掌握“等角对等边”。
[解] 因为AD平分$∠ EAC$,
所以$∠ EAD=∠ CAD$。
又因为$∠ EAD=∠ C$,
所以$∠ C=∠ CAD$,所以$AD// CB$。
所以$∠ EAD=∠ B$,所以$∠ B=∠ C$,
所以$AB=AC$。
答案
解：AB与AC相等，理由如下：
∵ AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴ ∠EAD=∠CAD。
又∵ ∠EAD=∠C，
∴ ∠C=∠CAD，
∴ AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
∴ ∠EAD=∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠B=∠C，
∴ AB=AC（等角对等边）。
∵ AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴ ∠EAD=∠CAD。
又∵ ∠EAD=∠C，
∴ ∠C=∠CAD，
∴ AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
∴ ∠EAD=∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠B=∠C，
∴ AB=AC（等角对等边）。
解析
【分析】
要判断AB和AC是否相等，可通过等腰三角形“等角对等边”的判定定理，将问题转化为证明∠B=∠C。首先利用角平分线的定义可得∠EAD=∠CAD，结合已知∠EAD=∠C，等量代换得到∠CAD=∠C，可判定AD//BC；再根据平行线的性质得到同位角∠EAD=∠B，再次等量代换即可推出∠B=∠C，最终得到AB和AC的数量关系。
【解析】
AB与AC相等，理由如下：
∵ AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴ ∠EAD=∠CAD。
又
∵ ∠EAD=∠C，
∴ ∠C=∠CAD，
∴ AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
∴ ∠EAD=∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠B=∠C，
∴ AB=AC（等角对等边）。
【答案】
AB与AC相等
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了角平分线、平行线、等腰三角形的核心知识点，解题关键是通过角的等量关系搭建平行线的推导桥梁，进而转化得到等腰三角形的判定条件，能有效锻炼学生的基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要判断AB和AC是否相等，可通过等腰三角形“等角对等边”的判定定理，将问题转化为证明∠B=∠C。首先利用角平分线的定义可得∠EAD=∠CAD，结合已知∠EAD=∠C，等量代换得到∠CAD=∠C，可判定AD//BC；再根据平行线的性质得到同位角∠EAD=∠B，再次等量代换即可推出∠B=∠C，最终得到AB和AC的数量关系。
【解析】
AB与AC相等，理由如下：
∵ AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴ ∠EAD=∠CAD。
又
∵ ∠EAD=∠C，
∴ ∠C=∠CAD，
∴ AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
∴ ∠EAD=∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠B=∠C，
∴ AB=AC（等角对等边）。
【答案】
AB与AC相等
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了角平分线、平行线、等腰三角形的核心知识点，解题关键是通过角的等量关系搭建平行线的推导桥梁，进而转化得到等腰三角形的判定条件，能有效锻炼学生的基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
