7.如图，已知$△ ABC$为等边三角形，点$D,E$分别在$BC,AC$边上，且$AE=CD$，$AD$与$BE$相交于点$F$。
(1)$△ ABE$与$△ CAD$全等吗？请说明理由；
(2)求$∠ BFD$的度数。

7. 解:(1)$△ ABE≌△ CAD$。
因为$△ ABC$为等边三角形，
所以$∠ BAC=∠ C,AB=AC$。
在$△ ABE$和$△ CAD$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ C, \\ AE=CD, \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ CAD(\mathrm{SAS})$。
(2)因为$△ ABE≌△ CAD$，
所以$∠ ABE=∠ CAD$。
因为$∠ BFD+∠ AFB=180°$，
$∠ ABE+∠ BAD+∠ AFB=180°$，
所以$∠ BFD=∠ ABE+∠ BAD$，
所以$∠ BFD=∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=60°$。

【分析】
(1) 要判断△ABE与△CAD是否全等，首先结合等边三角形的性质可得边相等、角相等的条件，再结合已知的AE=CD，验证是否满足全等三角形的判定定理即可；(2) 求∠BFD的度数时，可先借助第一问的全等结论得到对应角相等，再结合平角的性质和三角形内角和定理，将∠BFD转化为等边三角形的内角进行求解。
【解析】
(1) $△ ABE≌△ CAD$，理由如下：
因为$△ ABC$为等边三角形，
所以$∠ BAE=∠ C=60°$，$AB=AC$。
在$△ ABE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ C, \\ AE=CD, \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ CAD(\mathrm{SAS})$。
(2) 因为$△ ABE≌△ CAD$，
所以$∠ ABE=∠ CAD$。
因为$∠ BFD+∠ AFB=180°$（平角的定义），
$∠ ABE+∠ BAD+∠ AFB=180°$（三角形内角和为$180°$），
所以$∠ BFD=∠ ABE+∠ BAD$，
代入$∠ ABE=∠ CAD$可得：
$∠ BFD=∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC$，
又因为等边三角形$△ ABC$中$∠ BAC=60°$，
所以$∠ BFD=60°$。
【答案】
(1) $△ ABE≌△ CAD$，理由见解析；
(2) $∠ BFD$的度数为$60°$。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础常考题，解题关键是先利用等边三角形的性质得到全等判定所需的边角条件，再通过全等得到的等角关系，将待求角度转化为已知的等边三角形内角求解，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.8

8.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$AC$上,点$E$在$AB$上,且$AD=DE=BE$,$BD=BC$,求$∠ A$的度数。

8. 解:设$∠ EBD=x°$。
因为$BE=DE$，
所以$∠ EDB=∠ EBD=x°$，
所以$∠ AED=∠ EBD+∠ EDB=2x°$。
因为$AD=DE$，
所以$∠ A=∠ AED=2x°$，
所以$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=3x°$。
因为$BD=BC$，
所以$∠ C=∠ BDC=3x°$。
因为$AB=AC$，
所以$∠ ABC=∠ C=3x°$。
因为$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，
所以$2x+3x+3x=180$。
解得$x=22.5$，
所以$∠ A=2x°=45°$。

【分析】
题目中存在多组相等的边，对应多个等腰三角形，解题时可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角的性质，将所有相关的角用同一个未知数表示，最后借助三角形内角和为180°的定理列方程求解。我们可以先从最小的等腰△BED入手设未知数，逐步向外推导其他角的表达式，避免角度关系混乱。
【解析】
设$∠ EBD=x°$。
因为$BE=DE$，根据等腰三角形等边对等角的性质，
所以$∠ EDB=∠ EBD=x°$，
根据三角形外角的性质，$∠ AED=∠ EBD+∠ EDB=2x°$。
因为$AD=DE$，同理可得
所以$∠ A=∠ AED=2x°$，
$∠ BDC$是$△ ABD$的外角，因此$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x°+x°=3x°$。
因为$BD=BC$，
所以$∠ C=∠ BDC=3x°$。
因为$AB=AC$，
所以$∠ ABC=∠ C=3x°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，
代入角度表达式得：$2x+3x+3x=180$，
解得$x=22.5$，
因此$∠ A=2x°=2×22.5°=45°$。
【答案】
$∠ A=45°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与角度计算的综合应用题，通过设参数将多个关联角用同一字母表示，利用内角和构造方程是这类问题的常用解题思路，要熟练掌握角度之间的转化关系。
【难度系数】
0.6

9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F。
(1)∠CBE与∠BAD相等吗?请说明理由；
(2)若CE=EF,试说明AF=2BD。

9. 解:(1)$∠ CBE=∠ BAD$。
因为$AB=AC$,AD是BC边上的中线，
所以$AD⊥ BC,∠ CAD=∠ BAD$，
所以$∠ CAD+∠ C=90°$。
又因为$BE⊥ AC$，
所以$∠ CBE+∠ C=90°$，
所以$∠ CBE=∠ BAD$。
(2)由(1)知$∠ CBE=∠ CAD$。
在$△ BCE$和$△ AFE$中，
$\begin{cases} ∠ CBE=∠ FAE, \\ ∠ BEC=∠ FEA, \\ CE=EF, \end{cases}$
所以$△ BCE≌△ AFE(\mathrm{AAS})$，
所以$AF=BC$。
因为$BC=2BD$，
所以$AF=2BD$。

【分析】
(1) 要判断∠CBE和∠BAD是否相等，首先结合等腰三角形的性质：AB=AC，AD是BC中线，根据“三线合一”可得AD⊥BC且AD平分∠BAC，即∠CAD=∠BAD；再结合BE⊥AC的条件，可知∠CBE和∠CAD都与∠C互余，根据“同角的余角相等”可得∠CBE=∠CAD，即可推出和∠BAD相等。
(2) 要证明AF=2BD，已知AD是BC中线，因此BC=2BD，只需证明AF=BC即可；观察图形，AF在△AFE中，BC在△BCE中，结合已知CE=EF、两个三角形均为直角三角形，再加上(1)得到的角相等的结论，可通过AAS证明两个三角形全等，得到对应边AF=BC，进而推导出AF=2BD。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠CBE=∠BAD}$，理由如下：
因为$AB=AC$，AD是BC边上的中线，
所以$AD⊥ BC,∠ CAD=∠ BAD$（等腰三角形三线合一），
所以$∠ CAD+∠ C=90°$。
又因为$BE⊥ AC$，
所以$∠ CBE+∠ C=90°$，
所以$∠ CBE=∠ CAD$，
因此$∠ CBE=∠ BAD$。
(2) 由(1)知$∠ CBE=∠ CAD$，即$∠ CBE=∠ FAE$，
在$△ BCE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases} ∠ CBE=∠ FAE, \\ ∠ BEC=∠ FEA=90°, \\ CE=EF, \end{cases}$
所以$△ BCE≌△ AFE(\mathrm{AAS})$，
所以$AF=BC$。
因为AD是BC边上的中线，所以$BC=2BD$，
因此$AF=2BD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CBE=∠BAD}$；
(2) 可证得$\boldsymbol{AF=2BD}$，过程见上述解析。
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的基础证明题，解题时要注意运用等腰三角形三线合一的性质，同时可借助前一问的结论推导后一问，降低解题难度。
【难度系数】
0.7

10.如图,已知点E为等腰△ABC的底边BC上的动点,过点E作EF⊥BC交AB于点D,交CA的延长线于点F。
(1)∠F与∠ADF之间有什么关系?请说明理由。
(2)若点E在BC的延长线上,其余条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若不成立,请说明理由;若成立,请画出图形并写出分析过程。

10. 解:(1)$∠ F=∠ ADF$,理由如下：
因为等腰$△ ABC$中BC为底边，
所以$∠ B=∠ C$。
因为$EF⊥ BC$，
所以$∠ B+∠ BDE=90°,∠ C+∠ F=90°$，
所以$∠ BDE=∠ F$。
又因为$∠ ADF=∠ BDE$，
所以$∠ F=∠ ADF$。
(2)成立，分析如下：
如图，因为等腰$△ ABC$中BC为底边，

所以$∠ B=∠ ACB$。
又因为$∠ ACB=∠ ECF$，
所以$∠ B=∠ ECF$。
因为$EF⊥ BC$，
所以$∠ B+∠ BDE=90°,∠ ECF+∠ F=90°$，
所以$∠ BDE=∠ F$，
即$∠ F=∠ ADF$。

【分析】
(1) 要推导∠F和∠ADF的关系，先从已知条件入手：首先等腰△ABC以BC为底边，可得两底角∠B=∠C；再由EF⊥BC可知△BDE和△EFC都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B+∠BDE=90°、∠C+∠F=90°，结合∠B=∠C可推出∠BDE=∠F；最后∠ADF与∠BDE是对顶角，二者相等，即可得到∠F和∠ADF的相等关系。
(2) 当点E在BC延长线上时，推导思路与(1)一致：先利用等腰三角形底角相等得∠B=∠ACB，再通过对顶角相等将∠ACB转换为∠ECF，得到∠B=∠ECF；仍结合EF⊥BC的条件，用直角三角形两锐角互余推出∠BDE=∠F，再通过对顶角相等转换即可验证结论仍然成立。
【解析】
(1) 推导∠F与∠ADF的关系：
已知△ABC是等腰三角形，BC为底边，因此∠B=∠C。
因为EF⊥BC，所以∠BED=∠CEF=90°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠B+∠BDE=90°，∠C+∠F=90°，
因为∠B=∠C，所以∠BDE=∠F。
又因为∠ADF与∠BDE是对顶角，所以∠ADF=∠BDE，
因此∠F=∠ADF。
(2) 验证E在BC延长线上时结论是否成立：
此时等腰△ABC的底角仍满足∠B=∠ACB，
∠ACB与∠ECF是对顶角，因此∠ACB=∠ECF，即∠B=∠ECF。
因为EF⊥BC，所以∠BED=∠CEF=90°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠B+∠BDE=90°，∠ECF+∠F=90°，
因为∠B=∠ECF，所以∠BDE=∠F。
又因为∠ADF与∠BDE是对顶角，所以∠ADF=∠BDE，
因此∠F=∠ADF，结论仍然成立。
【答案】
(1)$∠ F=∠ ADF$,理由如下：
因为等腰$△ ABC$中BC为底边，
所以$∠ B=∠ C$。
因为$EF⊥ BC$，
所以$∠ B+∠ BDE=90°,∠ C+∠ F=90°$，
所以$∠ BDE=∠ F$。
又因为$∠ ADF=∠ BDE$，
所以$∠ F=∠ ADF$。
(2)成立，分析如下：
如图，
因为等腰$△ ABC$中BC为底边，
所以$∠ B=∠ ACB$。
又因为$∠ ACB=∠ ECF$，
所以$∠ B=∠ ECF$。
因为$EF⊥ BC$，
所以$∠ B+∠ BDE=90°,∠ ECF+∠ F=90°$，
所以$∠ BDE=∠ F$，
即$∠ F=∠ ADF$。
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础的几何角关系推导题，核心是通过等腰三角形、直角三角形的性质，结合对顶角相等完成角的等量转换，掌握等角的余角相等这一推导规律是解题的关键。
【难度系数】
0.75