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3. 小华把3个长为$a$，宽为$b(a＞b)$的长方形如图所示放置，恰好可以拼成1个大的长方形。
(1)求大长方形的面积$S$(用含有字母$a$，$b$的式子表示)。
(2)写出$a$，$b$之间的等量关系。
(3)当$b=2$时，求$S$的值；当$b=3$时，求$S$的值。
(1)求大长方形的面积$S$(用含有字母$a$，$b$的式子表示)。
(2)写出$a$，$b$之间的等量关系。
(3)当$b=2$时，求$S$的值；当$b=3$时，求$S$的值。
答案
(1)$S=3ab$ 或 $S=a(a+b)$ 或 $S=2b(a+b)$ (2)$a=2b$ (3)$S=24$，$S=54$
解析
【分析】
(1)求大长方形面积可从两个角度思考：一是计算3个小长方形的面积之和，每个小长方形面积为ab，3个的总面积就是3ab；二是先确定大长方形的长和宽，再用长乘宽计算，观察图形可知大长方形的长为a（或2b），宽为a+b，因此面积也可表示为a(a+b)或2b(a+b)。
(2)找a、b的等量关系时，利用长方形对边相等的性质，上方两个小长方形的宽之和等于下方小长方形的长，即可推导关系。
(3)求S的值时，先把a和b的等量关系代入面积表达式，得到只含b的式子，再代入b的数值计算即可。
【解析】
(1) 方法一：大长方形由3个长为a、宽为b的小长方形拼成，面积等于3个小长方形的面积和：
$S=3× a× b=3ab$
方法二：观察图形得大长方形的长为a，宽为$a+b$，因此面积：
$S=a(a+b)$
结合边长关系$a=2b$，也可写为$S=2b(a+b)$，三个表达式均正确。
(2) 因为大长方形上下对边长度相等，上方两个小长方形的宽之和等于下方小长方形的长：
$a=b+b$
$\therefore a=2b$
(3) 将$a=2b$代入$S=3ab$，得：
$S=3×2b× b=6b^2$
当$b=2$时，$S=6×2^2=6×4=24$
当$b=3$时，$S=6×3^2=6×9=54$
【答案】
(1) $S=3ab$（或$S=a(a+b)$、$S=2b(a+b)$）
(2) $a=2b$
(3) 当$b=2$时$S=24$，当$b=3$时$S=54$
【知识点】
列代数式、代数式求值、长方形面积计算
【点评】
本题结合图形考查代数式的应用，解题关键是通过观察图形找到边长之间的等量关系，结合面积公式求解，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
(1)求大长方形面积可从两个角度思考：一是计算3个小长方形的面积之和，每个小长方形面积为ab，3个的总面积就是3ab；二是先确定大长方形的长和宽，再用长乘宽计算，观察图形可知大长方形的长为a（或2b），宽为a+b，因此面积也可表示为a(a+b)或2b(a+b)。
(2)找a、b的等量关系时，利用长方形对边相等的性质，上方两个小长方形的宽之和等于下方小长方形的长，即可推导关系。
(3)求S的值时，先把a和b的等量关系代入面积表达式，得到只含b的式子，再代入b的数值计算即可。
【解析】
(1) 方法一：大长方形由3个长为a、宽为b的小长方形拼成，面积等于3个小长方形的面积和：
$S=3× a× b=3ab$
方法二：观察图形得大长方形的长为a，宽为$a+b$，因此面积：
$S=a(a+b)$
结合边长关系$a=2b$，也可写为$S=2b(a+b)$，三个表达式均正确。
(2) 因为大长方形上下对边长度相等，上方两个小长方形的宽之和等于下方小长方形的长：
$a=b+b$
$\therefore a=2b$
(3) 将$a=2b$代入$S=3ab$，得：
$S=3×2b× b=6b^2$
当$b=2$时，$S=6×2^2=6×4=24$
当$b=3$时，$S=6×3^2=6×9=54$
【答案】
(1) $S=3ab$（或$S=a(a+b)$、$S=2b(a+b)$）
(2) $a=2b$
(3) 当$b=2$时$S=24$，当$b=3$时$S=54$
【知识点】
列代数式、代数式求值、长方形面积计算
【点评】
本题结合图形考查代数式的应用，解题关键是通过观察图形找到边长之间的等量关系，结合面积公式求解，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
4. 为响应“创建全国文明城市”的号召，某市把一块长为a m，宽为b m的长方形空地改造成如图所示的花园，准备在中间阴影部分种花，其余空白部分(空白部分是以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径画弧)种草。
(1)用含a，b的代数式分别表示图中种草和种花的面积；
(2)若种草的费用为每平方米40元，种花的费用为每平方米80元，当a=10，b=4时，求美化这块空地共需要多少元(π取3.14)。
(1)用含a，b的代数式分别表示图中种草和种花的面积；
(2)若种草的费用为每平方米40元，种花的费用为每平方米80元，当a=10，b=4时，求美化这块空地共需要多少元(π取3.14)。
答案
4. (1)种草的面积为 $π(\dfrac{b}{2})^2$，种花的面积为 $ab-π(\dfrac{b}{2})^2$ (2)2 697.6 元
解析
【分析】
(1) 求解面积问题时先观察空白部分特征：四个空白扇形的圆心角都是90°，半径均为$\frac{b}{2}$，因此四个扇形刚好可以拼接成1个完整的圆，种草面积就是这个圆的面积；种花的阴影部分面积等于长方形总面积减去种草的面积即可。
(2) 第二问属于代数式求值问题，把$a=10$、$b=4$、$π=3.14$分别代入种草、种花面积的代数式，再结合各自单价算出两类区域的费用，相加即可得到总花费。
【解析】
(1) 4个空白扇形的圆心角均为90°，半径均为$\frac{b}{2}\ \mathrm{m}$，因此4个扇形的面积和等于1个半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{m}$的圆的面积：
种草的面积：$S_{\mathrm{草}}=π × (\frac{b}{2})^2\ (\mathrm{m}^2)$
长方形空地的面积为$ab\ \mathrm{m}^2$，因此种花的面积：
$S_{\mathrm{花}}=ab - S_{\mathrm{草}}=ab - π(\frac{b}{2})^2\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 当$a=10$，$b=4$，$π=3.14$时：
种草面积：$S_{\mathrm{草}}=3.14× (\frac{4}{2})^2=3.14×4=12.56\ (\mathrm{m}^2)$
种花面积：$S_{\mathrm{花}}=10×4 -12.56=40-12.56=27.44\ (\mathrm{m}^2)$
总费用为种草费用与种花费用之和：
$40×12.56 + 80×27.44=502.4 + 2195.2=2697.6$（元）
【答案】
(1) 种草面积为$π(\frac{b}{2})^2\ \mathrm{m}^2$，种花面积为$(ab-π(\frac{b}{2})^2)\ \mathrm{m}^2$；(2)2697.6元
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题结合实际生活的绿化场景命题，解题的核心是将零散的扇形拼接为整圆简化不规则图形的面积计算，代入求值时要注意运算准确性，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解面积问题时先观察空白部分特征：四个空白扇形的圆心角都是90°，半径均为$\frac{b}{2}$，因此四个扇形刚好可以拼接成1个完整的圆，种草面积就是这个圆的面积；种花的阴影部分面积等于长方形总面积减去种草的面积即可。
(2) 第二问属于代数式求值问题，把$a=10$、$b=4$、$π=3.14$分别代入种草、种花面积的代数式，再结合各自单价算出两类区域的费用，相加即可得到总花费。
【解析】
(1) 4个空白扇形的圆心角均为90°，半径均为$\frac{b}{2}\ \mathrm{m}$，因此4个扇形的面积和等于1个半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{m}$的圆的面积：
种草的面积：$S_{\mathrm{草}}=π × (\frac{b}{2})^2\ (\mathrm{m}^2)$
长方形空地的面积为$ab\ \mathrm{m}^2$，因此种花的面积：
$S_{\mathrm{花}}=ab - S_{\mathrm{草}}=ab - π(\frac{b}{2})^2\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 当$a=10$，$b=4$，$π=3.14$时：
种草面积：$S_{\mathrm{草}}=3.14× (\frac{4}{2})^2=3.14×4=12.56\ (\mathrm{m}^2)$
种花面积：$S_{\mathrm{花}}=10×4 -12.56=40-12.56=27.44\ (\mathrm{m}^2)$
总费用为种草费用与种花费用之和：
$40×12.56 + 80×27.44=502.4 + 2195.2=2697.6$（元）
【答案】
(1) 种草面积为$π(\frac{b}{2})^2\ \mathrm{m}^2$，种花面积为$(ab-π(\frac{b}{2})^2)\ \mathrm{m}^2$；(2)2697.6元
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题结合实际生活的绿化场景命题，解题的核心是将零散的扇形拼接为整圆简化不规则图形的面积计算，代入求值时要注意运算准确性，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
1. 某长方形人行道由相同的蓝色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成. 图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列.
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图2)：
(1)如图3，当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有
【观察思考】(2)以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加
【规律总结】(3)若一条这样的人行道一共有$n$($n$为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为
【问题解决】(4)现有2024块正方形地砖. 若按此规律再建一条人行道，则需要等腰直角三角形地砖多少块？
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图2)：
(1)如图3，当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有
$8$
块.【观察思考】(2)以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加
$2$
块.【规律总结】(3)若一条这样的人行道一共有$n$($n$为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为
$2n+4$
(用含$n$的代数式表示).【问题解决】(4)现有2024块正方形地砖. 若按此规律再建一条人行道，则需要等腰直角三角形地砖多少块？
答案
1. (1) 8 (2) 2 (3)$2n+4$ (4)4 052
解析
【分析】
我们从已知的特殊情况入手逐步推导：首先(1)已知1块正方形对应6块三角形，观察2块正方形的排列，对比1块正方形的情况数出三角形总数量；(2)计算1块和2块正方形对应的三角形数量差，即可得到每增加1块正方形新增的三角形数量；(3)结合初始值和增量推导通用代数式：n=1时三角形为6块，每多1块正方形多2块三角形，据此整理出含n的表达式；(4)将n=2024代入第(3)问的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知1块正方形地砖对应6块等腰直角三角形地砖，当正方形增加到2块时，相比1块的情况新增2块三角形，总数量为6+2=8块。
(2) 对比1块正方形对应6块三角形、2块正方形对应8块三角形，可得每增加1块正方形地砖，等腰直角三角形地砖增加8-6=2块。
(3) 当n=1时，三角形地砖数=2×1+4=6；当n=2时，三角形地砖数=2×2+4=8；符合前面的数量规律，因此n块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为2n+4。
(4) 把n=2024代入代数式2n+4计算：
2×2024+4=4048+4=4052（块）
【答案】
(1)8；(2)2；(3)$2n+4$；(4)4052
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心是通过观察特殊实例的数量变化总结通用规律，再利用规律解决实际计算问题，侧重考察观察归纳能力和代数式的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
我们从已知的特殊情况入手逐步推导：首先(1)已知1块正方形对应6块三角形，观察2块正方形的排列，对比1块正方形的情况数出三角形总数量；(2)计算1块和2块正方形对应的三角形数量差，即可得到每增加1块正方形新增的三角形数量；(3)结合初始值和增量推导通用代数式：n=1时三角形为6块，每多1块正方形多2块三角形，据此整理出含n的表达式；(4)将n=2024代入第(3)问的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知1块正方形地砖对应6块等腰直角三角形地砖，当正方形增加到2块时，相比1块的情况新增2块三角形，总数量为6+2=8块。
(2) 对比1块正方形对应6块三角形、2块正方形对应8块三角形，可得每增加1块正方形地砖，等腰直角三角形地砖增加8-6=2块。
(3) 当n=1时，三角形地砖数=2×1+4=6；当n=2时，三角形地砖数=2×2+4=8；符合前面的数量规律，因此n块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为2n+4。
(4) 把n=2024代入代数式2n+4计算：
2×2024+4=4048+4=4052（块）
【答案】
(1)8；(2)2；(3)$2n+4$；(4)4052
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心是通过观察特殊实例的数量变化总结通用规律，再利用规律解决实际计算问题，侧重考察观察归纳能力和代数式的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
