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9. 如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC和ODEF均为矩形。若AB=3，BC=4，则DF的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9. C
解析
【分析】
解题时我们可以利用“矩形对角线相等”和“同圆的半径相等”两个性质，做等量转化：首先要求DF的长，观察到DF是矩形ODEF的对角线，因此DF等于半圆的半径OE；再看矩形OABC的对角线OB也是半圆的半径，因此OB=OE=DF，我们只需要计算OB的长度即可。已知矩形OABC的两边长，用勾股定理计算对角线OB的长度，就能得到DF的长。
【解析】
解：连接OB、OE。
1. 因为四边形OABC是矩形，根据矩形的性质：矩形的对角线相等，四个角为直角，可得OB=AC，∠ABC=90°。
已知AB=3，BC=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，因此$OB=AC=5$。
2. 因为四边形ODEF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得$DF=OE$。
3. 因为点B、E都在半圆O上，OB、OE都是半圆O的半径，所以$OB=OE$。
4. 等量代换可得：$DF=OE=OB=5$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是典型的几何等量转化类题目，解题的核心是找到所求线段和已知线段之间的中间桥梁（本题中为圆的半径），把未知转化为已知后就能快速求解，计算量小，侧重对性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用“矩形对角线相等”和“同圆的半径相等”两个性质，做等量转化：首先要求DF的长，观察到DF是矩形ODEF的对角线，因此DF等于半圆的半径OE；再看矩形OABC的对角线OB也是半圆的半径，因此OB=OE=DF，我们只需要计算OB的长度即可。已知矩形OABC的两边长，用勾股定理计算对角线OB的长度，就能得到DF的长。
【解析】
解：连接OB、OE。
1. 因为四边形OABC是矩形，根据矩形的性质：矩形的对角线相等，四个角为直角，可得OB=AC，∠ABC=90°。
已知AB=3，BC=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，因此$OB=AC=5$。
2. 因为四边形ODEF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得$DF=OE$。
3. 因为点B、E都在半圆O上，OB、OE都是半圆O的半径，所以$OB=OE$。
4. 等量代换可得：$DF=OE=OB=5$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是典型的几何等量转化类题目，解题的核心是找到所求线段和已知线段之间的中间桥梁（本题中为圆的半径），把未知转化为已知后就能快速求解，计算量小，侧重对性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
二、填空题
10. 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D。若AB=4，则$\overset{\frown}{CD}$的长是
10. 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D。若AB=4，则$\overset{\frown}{CD}$的长是
$\frac{\sqrt{2}}{2}π$
。答案
10. $\frac{\sqrt{2}}{2}π$
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{CD}$的长，需先明确该弧对应的圆心角度数和半径长度。首先根据AB是直径、$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$的条件，先判断△OBC的形状，得到∠B的度数和BC的长度：AB=4可得半圆半径为2，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$说明C是半圆中点，故∠COB=90°，△OBC为等腰直角三角形，即可求出∠B=45°、BC的长；再结合$\overset{\frown}{CD}$是以B为圆心、BC为半径的弧，代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接OC，
∵AB为半圆O的直径，AB=4，
∴OB=OC=$\frac{1}{2}$AB=2。
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠COB=$\frac{1}{2}$×180°=90°，即△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=$\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
由题意可知，$\overset{\frown}{CD}$是以点B为圆心，BC长为半径的弧，圆心角为∠CBD=45°，
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=45，r=2$\sqrt{2}$得：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{45×π×2\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}π$
【知识点】
弧长公式计算，等腰直角三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的核心是先确定所求弧对应的圆心与半径，不要误将半圆的半径当做$\overset{\frown}{CD}$的半径，整体解题思路清晰，计算量不大。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{CD}$的长，需先明确该弧对应的圆心角度数和半径长度。首先根据AB是直径、$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$的条件，先判断△OBC的形状，得到∠B的度数和BC的长度：AB=4可得半圆半径为2，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$说明C是半圆中点，故∠COB=90°，△OBC为等腰直角三角形，即可求出∠B=45°、BC的长；再结合$\overset{\frown}{CD}$是以B为圆心、BC为半径的弧，代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接OC，
∵AB为半圆O的直径，AB=4，
∴OB=OC=$\frac{1}{2}$AB=2。
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠COB=$\frac{1}{2}$×180°=90°，即△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=$\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
由题意可知，$\overset{\frown}{CD}$是以点B为圆心，BC长为半径的弧，圆心角为∠CBD=45°，
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=45，r=2$\sqrt{2}$得：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{45×π×2\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}π$
【知识点】
弧长公式计算，等腰直角三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的核心是先确定所求弧对应的圆心与半径，不要误将半圆的半径当做$\overset{\frown}{CD}$的半径，整体解题思路清晰，计算量不大。
【难度系数】
0.7
11. 如图，两个半径都为4的圆重叠放置，$\odot O'$过$\odot O$的圆心，则阴影部分的面积为
$\frac{32π}{3}-8\sqrt{3}$
。答案
11. $\frac{32π}{3}-8\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求解阴影部分（两圆重叠区域）的面积，首先分析两圆的位置特征：两圆半径均为4，且⊙O'过⊙O的圆心O，因此圆心距OO'=4。我们可以通过添加辅助线，连接两圆交点与两个圆心，将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积和差：阴影面积等于两个圆心角为120°的扇形面积之和减去由两个圆心和两个交点构成的四边形的面积。先根据等边三角形的性质推出扇形的圆心角，再分别计算扇形和四边形的面积即可求解。
【解析】
设两圆的交点为A、B，连接OA、OB、O'A、O'B、OO'，AB与OO'交于点C。
∵两圆半径均为4，且⊙O'过点O，
∴OA=O'A=OO'=4，
∴△OO'A、△OO'B均为等边三角形，
∴∠AOO'=60°。
根据相交两圆的性质，连心线OO'垂直平分公共弦AB，即AB⊥OO'，AC=BC。
在Rt△AOC中，∠OAC=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=2，AC=$\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴AB=2AC=4√3，∠AOB=2∠AOC=120°。
单个圆心角为120°的扇形面积为：
$S_{\mathrm{扇}}=\frac{120°}{360°} × π r^2=\frac{1}{3} × π × 4^2=\frac{16π}{3}$
两个扇形的面积和为：$2 × \frac{16π}{3}=\frac{32π}{3}$
四边形AOBO'的面积等于2倍△AOB的面积：
$S_{\mathrm{四边形}AOBO'}=2 × \frac{1}{2} × AB × OC=2 × \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 2=8\sqrt{3}$
因此阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{32π}{3}-8\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{32π}{3}-8\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，相交两圆的性质，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积求解的典型题，解题核心是通过添加辅助线将阴影面积转化为规则的扇形、三角形的面积和差，解题的关键是根据两圆的位置关系推导出扇形的圆心角度数，熟练掌握相关图形的面积公式和圆的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
要求解阴影部分（两圆重叠区域）的面积，首先分析两圆的位置特征：两圆半径均为4，且⊙O'过⊙O的圆心O，因此圆心距OO'=4。我们可以通过添加辅助线，连接两圆交点与两个圆心，将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积和差：阴影面积等于两个圆心角为120°的扇形面积之和减去由两个圆心和两个交点构成的四边形的面积。先根据等边三角形的性质推出扇形的圆心角，再分别计算扇形和四边形的面积即可求解。
【解析】
设两圆的交点为A、B，连接OA、OB、O'A、O'B、OO'，AB与OO'交于点C。
∵两圆半径均为4，且⊙O'过点O，
∴OA=O'A=OO'=4，
∴△OO'A、△OO'B均为等边三角形，
∴∠AOO'=60°。
根据相交两圆的性质，连心线OO'垂直平分公共弦AB，即AB⊥OO'，AC=BC。
在Rt△AOC中，∠OAC=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=2，AC=$\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴AB=2AC=4√3，∠AOB=2∠AOC=120°。
单个圆心角为120°的扇形面积为：
$S_{\mathrm{扇}}=\frac{120°}{360°} × π r^2=\frac{1}{3} × π × 4^2=\frac{16π}{3}$
两个扇形的面积和为：$2 × \frac{16π}{3}=\frac{32π}{3}$
四边形AOBO'的面积等于2倍△AOB的面积：
$S_{\mathrm{四边形}AOBO'}=2 × \frac{1}{2} × AB × OC=2 × \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 2=8\sqrt{3}$
因此阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{32π}{3}-8\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{32π}{3}-8\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，相交两圆的性质，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积求解的典型题，解题核心是通过添加辅助线将阴影面积转化为规则的扇形、三角形的面积和差，解题的关键是根据两圆的位置关系推导出扇形的圆心角度数，熟练掌握相关图形的面积公式和圆的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
12. 若三角形的三条边长分别为5，12，13，则这个三角形外接圆的半径为
6.5
。答案
12. 6.5
解析
【分析】
解题思路：首先观察三角形的三边长，可先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再结合对应三角形外接圆半径的计算方法求解。第一步，验证三边长是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形；第二步，根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，即可直接求出外接圆半径。
【解析】
解：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且斜边长为13。
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度
∴ 这个三角形外接圆的半径 = $13÷2=6.5$
【答案】
6.5
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先判断三角形的形状，再利用直角三角形外接圆的特殊性快速计算半径，无需使用一般三角形外接圆半径的复杂公式。
【难度系数】
0.85
解题思路：首先观察三角形的三边长，可先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再结合对应三角形外接圆半径的计算方法求解。第一步，验证三边长是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形；第二步，根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，即可直接求出外接圆半径。
【解析】
解：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且斜边长为13。
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度
∴ 这个三角形外接圆的半径 = $13÷2=6.5$
【答案】
6.5
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先判断三角形的形状，再利用直角三角形外接圆的特殊性快速计算半径，无需使用一般三角形外接圆半径的复杂公式。
【难度系数】
0.85
13. 如图，AB为$\odot O$的直径，构造四边形OACD，且弦$CD // AB$。若$∠ D = 40°$，则$∠ C$的度数是
$110°$
。答案
13. $110°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用平行线的内错角相等，由$CD// AB$、$∠ D=40°$求出圆心角$∠ DOB$的度数；再根据平行弦所夹的弧相等，得到弧$AC=$弧$BD$，进而推出$∠ AOC=∠ DOB$；接着结合$OA$、$OC$都是半径，$△ AOC$为等腰三角形，计算出$∠ OAC$的度数；最后再次利用平行线同旁内角互补的性质，即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
解：
1. 由$CD // AB$，$∠ D = 40°$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ DOB = ∠ D = 40°$；
2. 因为弦$CD // AB$，所以平行弦所夹的弧相等，即$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$，同圆中等弧对应的圆心角相等，故$∠ AOC = ∠ DOB = 40°$；
3. 又$OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，$OA=OC$，$△ AOC$为等腰三角形，因此$∠ OAC = ∠ OCA = \frac{180° - ∠ AOC}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$；
4. 再次根据$CD // AB$，两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ ACD + ∠ OAC = 180°$，代入$∠ OAC = 70°$，计算得$∠ ACD = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
平行线的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与几何基础性质结合的常规考题，解题的核心是熟练掌握平行弦的性质，结合平行线、等腰三角形的性质逐步推导角的关系，整体逻辑清晰，没有复杂的辅助线要求。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用平行线的内错角相等，由$CD// AB$、$∠ D=40°$求出圆心角$∠ DOB$的度数；再根据平行弦所夹的弧相等，得到弧$AC=$弧$BD$，进而推出$∠ AOC=∠ DOB$；接着结合$OA$、$OC$都是半径，$△ AOC$为等腰三角形，计算出$∠ OAC$的度数；最后再次利用平行线同旁内角互补的性质，即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
解：
1. 由$CD // AB$，$∠ D = 40°$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ DOB = ∠ D = 40°$；
2. 因为弦$CD // AB$，所以平行弦所夹的弧相等，即$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$，同圆中等弧对应的圆心角相等，故$∠ AOC = ∠ DOB = 40°$；
3. 又$OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，$OA=OC$，$△ AOC$为等腰三角形，因此$∠ OAC = ∠ OCA = \frac{180° - ∠ AOC}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$；
4. 再次根据$CD // AB$，两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ ACD + ∠ OAC = 180°$，代入$∠ OAC = 70°$，计算得$∠ ACD = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
平行线的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与几何基础性质结合的常规考题，解题的核心是熟练掌握平行弦的性质，结合平行线、等腰三角形的性质逐步推导角的关系，整体逻辑清晰，没有复杂的辅助线要求。
【难度系数】
0.7
14. 如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为3 m，母线长为6 m. 为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡. 如果油毡的市场价为10元/m²，那么购买油毡所需要的费用至少是
$180π$
元（结果保留π）.答案
14. $180π$
解析
【分析】
要计算购买油毡的费用，首先需要明确铺油毡的面积就是圆锥顶部的侧面积，解题思路为：1. 回忆圆锥侧面积的计算公式；2. 将已知的底面半径、母线长代入公式算出侧面积；3. 用侧面积乘油毡的单价，即可得到总费用。
【解析】
解：粮仓顶部为圆锥，铺油毡的面积等于圆锥的侧面积。
圆锥侧面积公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$为底面圆半径，$l$为母线长）
已知$r=3\ \mathrm{m}$，$l=6\ \mathrm{m}$，代入得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×6=18π\ \mathrm{m}^2$
油毡单价为10元/$\mathrm{m}^2$，总费用为：
$18π×10=180π$（元）
【答案】
$180π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，总价计算
【点评】
本题是结合生活实际的几何应用题，解题的关键是明确所需油毡的面积对应圆锥的侧面积，熟记圆锥侧面积公式后代入数值计算即可，注意不要混淆圆锥侧面积和表面积的计算公式。
【难度系数】
0.8
要计算购买油毡的费用，首先需要明确铺油毡的面积就是圆锥顶部的侧面积，解题思路为：1. 回忆圆锥侧面积的计算公式；2. 将已知的底面半径、母线长代入公式算出侧面积；3. 用侧面积乘油毡的单价，即可得到总费用。
【解析】
解：粮仓顶部为圆锥，铺油毡的面积等于圆锥的侧面积。
圆锥侧面积公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$为底面圆半径，$l$为母线长）
已知$r=3\ \mathrm{m}$，$l=6\ \mathrm{m}$，代入得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×6=18π\ \mathrm{m}^2$
油毡单价为10元/$\mathrm{m}^2$，总费用为：
$18π×10=180π$（元）
【答案】
$180π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，总价计算
【点评】
本题是结合生活实际的几何应用题，解题的关键是明确所需油毡的面积对应圆锥的侧面积，熟记圆锥侧面积公式后代入数值计算即可，注意不要混淆圆锥侧面积和表面积的计算公式。
【难度系数】
0.8
15. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径$OB=10$，水面宽$AB=12$，如果再注入一些水，当水面$AB$的宽变为16时，那么水面$AB$上升的高度为
2或14
。答案
15. 2或14
解析
【分析】
本题是圆中弦长变化相关的高度计算问题，解题思路如下：首先运用垂径定理，过圆心作弦的垂线，将弦长转化为半弦长，结合半径用勾股定理分别求出两种弦长对应的弦心距；其次要注意水面上升存在两种情况：新水面位于圆心下方、新水面位于圆心上方，分别计算两种情况的上升高度即可。
【解析】
过圆心$O$作$OC⊥AB$于点$C$，根据垂径定理可得：$BC=\frac{1}{2}AB$。
1. 计算初始水面（$AB=12$）时的弦心距：
此时$BC=\frac{1}{2}×12=6$，已知半径$OB=10$，在$Rt△ OBC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，即初始水面到圆心$O$的距离为8。
2. 计算水面宽变为16时的弦心距：
此时半弦长为$\frac{1}{2}×16=8$，同理在直角三角形中，弦心距$OC'=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
3. 分情况计算水面上升高度：
① 若新水面在圆心$O$的下方：此时水面上升高度为$8-6=2$；
② 若新水面在圆心$O$的上方：此时水面上升高度为$8+6=14$。
综上，水面上升的高度为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略水面上升到圆心上方的情况，造成漏解，解题时要结合圆的对称性，全面考虑弦相对于圆心的位置关系。
【难度系数】
0.6
本题是圆中弦长变化相关的高度计算问题，解题思路如下：首先运用垂径定理，过圆心作弦的垂线，将弦长转化为半弦长，结合半径用勾股定理分别求出两种弦长对应的弦心距；其次要注意水面上升存在两种情况：新水面位于圆心下方、新水面位于圆心上方，分别计算两种情况的上升高度即可。
【解析】
过圆心$O$作$OC⊥AB$于点$C$，根据垂径定理可得：$BC=\frac{1}{2}AB$。
1. 计算初始水面（$AB=12$）时的弦心距：
此时$BC=\frac{1}{2}×12=6$，已知半径$OB=10$，在$Rt△ OBC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，即初始水面到圆心$O$的距离为8。
2. 计算水面宽变为16时的弦心距：
此时半弦长为$\frac{1}{2}×16=8$，同理在直角三角形中，弦心距$OC'=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
3. 分情况计算水面上升高度：
① 若新水面在圆心$O$的下方：此时水面上升高度为$8-6=2$；
② 若新水面在圆心$O$的上方：此时水面上升高度为$8+6=14$。
综上，水面上升的高度为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略水面上升到圆心上方的情况，造成漏解，解题时要结合圆的对称性，全面考虑弦相对于圆心的位置关系。
【难度系数】
0.6
