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三、解答题
16. 如图，AB为$\odot O$的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC = BD，求证：$∠ C=∠ D$.
16. 如图，AB为$\odot O$的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC = BD，求证：$∠ C=∠ D$.
答案
16. 证明 如图，过点O作$OH⊥ AB$于点H.
因为AB为$\odot O$的弦，$OH⊥ AB$，
所以$AH=BH$. 因为$AC=BD$，
所以$AH+AC=BH+BD$.
所以$CH=DH$. 又$OH⊥ AB$，
所以$OC=OD$. 所以$∠ C=∠ D$.
解析
【分析】要证明∠C=∠D，可转化为证明△OCD为等腰三角形，即证OC=OD。已知AB是⊙O的弦，结合圆的相关性质，过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理可得到AH=BH，再结合已知AC=BD，可推导出CH=DH，由此可知OH是线段CD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得到OC=OD，最后利用等腰三角形等边对等角的性质即可得证。
【解析】证明：如图，过点O作$OH⊥ AB$于点H。
因为AB为$\odot O$的弦，$OH⊥ AB$，根据垂径定理可得$AH=BH$。
又因为$AC=BD$，所以$AC+AH=BD+BH$，即$CH=DH$。
因为$OH⊥ AB$，所以OH是线段CD的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$OC=OD$。
所以△OCD为等腰三角形，根据等边对等角可得$∠ C=∠ D$。
【答案】
证明 如图，过点O作$OH⊥ AB$于点H.
因为AB为$\odot O$的弦，$OH⊥ AB$，
所以$AH=BH$. 因为$AC=BD$，
所以$AH+AC=BH+BD$.
所以$CH=DH$. 又$OH⊥ AB$，
所以$OC=OD$. 所以$∠ C=∠ D$.
【知识点】垂径定理；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】本题解题的关键是作过圆心垂直于弦的辅助线，利用垂径定理得到相等的线段，进而构造出线段的垂直平分线推导边相等，最终转化为角相等的结论，是圆与等腰三角形结合的基础题型。
【难度系数】
0.8
【解析】证明：如图，过点O作$OH⊥ AB$于点H。
因为AB为$\odot O$的弦，$OH⊥ AB$，根据垂径定理可得$AH=BH$。
又因为$AC=BD$，所以$AC+AH=BD+BH$，即$CH=DH$。
因为$OH⊥ AB$，所以OH是线段CD的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$OC=OD$。
所以△OCD为等腰三角形，根据等边对等角可得$∠ C=∠ D$。
【答案】
证明 如图，过点O作$OH⊥ AB$于点H.
因为AB为$\odot O$的弦，$OH⊥ AB$，
所以$AH=BH$. 因为$AC=BD$，
所以$AH+AC=BH+BD$.
所以$CH=DH$. 又$OH⊥ AB$，
所以$OC=OD$. 所以$∠ C=∠ D$.
【知识点】垂径定理；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】本题解题的关键是作过圆心垂直于弦的辅助线，利用垂径定理得到相等的线段，进而构造出线段的垂直平分线推导边相等，最终转化为角相等的结论，是圆与等腰三角形结合的基础题型。
【难度系数】
0.8
17. 如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC.
（1）求△ABC的外接圆的圆心坐标；
（2）求该圆圆心到弦AC的距离.
（1）求△ABC的外接圆的圆心坐标；
（2）求该圆圆心到弦AC的距离.
答案
17. 解 （1）如图，分别作BC与AB的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即是$△ ABC$的外接圆的圆心. 所以$△ ABC$的外接圆的圆心坐标是（5，2）.
（2）取AC的中点P，由（1）知$PD⊥ AC$. 故该圆圆心到弦AC的距离为$PD=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.
解析
【分析】
（1）求三角形外接圆圆心，首先要明确三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，因此我们先确定△ABC三个顶点的坐标，再求出两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心坐标。
（2）求圆心到弦AC的距离，根据垂径定理，圆心到弦的垂线经过弦的中点，因此我们先求出AC的中点坐标，再利用两点距离公式计算圆心到AC中点的距离，即为所求的距离。
【解析】
由平面直角坐标系可得△ABC三个顶点坐标：$A(3,6)$，$B(1,4)$，$C(1,0)$。
（1）求外接圆圆心坐标：
① 先求BC边的垂直平分线：B、C两点横坐标均为1，BC为竖直线段，中点坐标为$(1,\frac{4+0}{2})=(1,2)$，竖直线的垂直平分线为水平线，因此BC的垂直平分线为直线$y=2$。
② 再求AB边的垂直平分线：根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，设圆心坐标为$(x,2)$，则圆心到A、B的距离相等：
$\sqrt{(x-3)^2+(2-6)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(2-4)^2}$
两边平方化简得：$(x-3)^2+16=(x-1)^2+4$，展开计算得$x=5$，即圆心坐标为$(5,2)$。
（2）求圆心到弦AC的距离：
根据垂径定理，圆心到弦AC的距离为圆心与AC中点连线的长度：
AC的中点P坐标为$(\frac{3+1}{2},\frac{6+0}{2})=(2,3)$，由两点距离公式计算圆心$D(5,2)$到P的距离：
$PD=\sqrt{(5-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$
即圆心到弦AC的距离为$\sqrt{10}$。
【答案】
（1）$△ ABC$的外接圆的圆心坐标是$\boldsymbol{(5,2)}$；
（2）该圆圆心到弦AC的距离为$\boldsymbol{\sqrt{10}}$。
【知识点】
三角形外接圆性质；垂直平分线的性质；垂径定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查三角形外接圆相关计算，解题核心是明确外接圆圆心为三角形三边垂直平分线的交点，结合垂径定理求解线段长度，解题时可利用坐标系中点的坐标特征简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
（1）求三角形外接圆圆心，首先要明确三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，因此我们先确定△ABC三个顶点的坐标，再求出两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心坐标。
（2）求圆心到弦AC的距离，根据垂径定理，圆心到弦的垂线经过弦的中点，因此我们先求出AC的中点坐标，再利用两点距离公式计算圆心到AC中点的距离，即为所求的距离。
【解析】
由平面直角坐标系可得△ABC三个顶点坐标：$A(3,6)$，$B(1,4)$，$C(1,0)$。
（1）求外接圆圆心坐标：
① 先求BC边的垂直平分线：B、C两点横坐标均为1，BC为竖直线段，中点坐标为$(1,\frac{4+0}{2})=(1,2)$，竖直线的垂直平分线为水平线，因此BC的垂直平分线为直线$y=2$。
② 再求AB边的垂直平分线：根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，设圆心坐标为$(x,2)$，则圆心到A、B的距离相等：
$\sqrt{(x-3)^2+(2-6)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(2-4)^2}$
两边平方化简得：$(x-3)^2+16=(x-1)^2+4$，展开计算得$x=5$，即圆心坐标为$(5,2)$。
（2）求圆心到弦AC的距离：
根据垂径定理，圆心到弦AC的距离为圆心与AC中点连线的长度：
AC的中点P坐标为$(\frac{3+1}{2},\frac{6+0}{2})=(2,3)$，由两点距离公式计算圆心$D(5,2)$到P的距离：
$PD=\sqrt{(5-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$
即圆心到弦AC的距离为$\sqrt{10}$。
【答案】
（1）$△ ABC$的外接圆的圆心坐标是$\boldsymbol{(5,2)}$；
（2）该圆圆心到弦AC的距离为$\boldsymbol{\sqrt{10}}$。
【知识点】
三角形外接圆性质；垂直平分线的性质；垂径定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查三角形外接圆相关计算，解题核心是明确外接圆圆心为三角形三边垂直平分线的交点，结合垂径定理求解线段长度，解题时可利用坐标系中点的坐标特征简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
18. 如图，以$□ ABCD$的顶点A为圆心，AB为半径作$\odot A$，交AD，BC于点E，F，延长BA交$\odot A$于点G。求证：$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
答案
18. 证明 如图，连接AF. 因为$AB=AF$，所以$∠ ABF=∠ AFB$. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AD// BC$.
所以$∠ EAF=∠ AFB$，$∠ GAE=∠ ABF$. 所以$∠ GAE=∠ EAF$. 所以$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
解析
【分析】
要证明同圆中两条弧相等，根据圆的相关性质，可转化为证明两条弧所对的圆心角相等，即证$∠ GAE=∠ EAF$。首先构造辅助线连接AF，得到同圆半径$AF=AB$，可推出等腰三角形的等角关系；再结合平行四边形$AD// BC$的性质，利用平行线的同位角、内错角相等的性质进行角的等量代换，即可证得两个圆心角相等，进而得到对应弧相等。
【解析】
证明：如图，连接AF。
$\because$ AB和AF都是$\odot A$的半径，$\therefore AB=AF$，
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB$（等腰三角形两底角相等）。
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ EAF=∠ AFB$（两直线平行，内错角相等），$∠ GAE=∠ ABF$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore ∠ GAE=∠ EAF$（等量代换）。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
【答案】
证明 如图，连接AF. 因为$AB=AF$，所以$∠ ABF=∠ AFB$. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AD// BC$.
所以$∠ EAF=∠ AFB$，$∠ GAE=∠ ABF$. 所以$∠ GAE=∠ EAF$. 所以$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
【知识点】
平行四边形的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查基础几何性质的综合运用能力，辅助线的构造是常规思路，熟练掌握平行四边形、圆和等腰三角形的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明同圆中两条弧相等，根据圆的相关性质，可转化为证明两条弧所对的圆心角相等，即证$∠ GAE=∠ EAF$。首先构造辅助线连接AF，得到同圆半径$AF=AB$，可推出等腰三角形的等角关系；再结合平行四边形$AD// BC$的性质，利用平行线的同位角、内错角相等的性质进行角的等量代换，即可证得两个圆心角相等，进而得到对应弧相等。
【解析】
证明：如图，连接AF。
$\because$ AB和AF都是$\odot A$的半径，$\therefore AB=AF$，
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB$（等腰三角形两底角相等）。
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ EAF=∠ AFB$（两直线平行，内错角相等），$∠ GAE=∠ ABF$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore ∠ GAE=∠ EAF$（等量代换）。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
【答案】
证明 如图，连接AF. 因为$AB=AF$，所以$∠ ABF=∠ AFB$. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AD// BC$.
所以$∠ EAF=∠ AFB$，$∠ GAE=∠ ABF$. 所以$∠ GAE=∠ EAF$. 所以$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
【知识点】
平行四边形的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查基础几何性质的综合运用能力，辅助线的构造是常规思路，熟练掌握平行四边形、圆和等腰三角形的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
19. 如图，在$3×3$的方格图中，每个小方格的边长为1，分别以点A，E，F为圆心，3，2，1为半径，圆心角为$90°$作三条圆弧，圆弧与正方形ABCD的边界围成了两个带形，求这两个带形的面积$S_1$与$S_2$之比。
答案
19. 解 在$3×3$方格图中，三段圆弧所在圆的半径由大到小依次是3，2，1，每段圆弧所对的圆心角都是$90°$，所以$S_1=5+\frac{90π× 2^2}{360}-\frac{90π× 3^2}{360}=\frac{5}{4}(4-π)$，$S_2=8+\frac{90π× 1^2}{360}-(5+\frac{90π× 2^2}{360})=\frac{3}{4}(4-π)$.
所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{5}{4}(4-π)}{\frac{3}{4}(4-π)}=\frac{5}{3}$.
所以这两个带形的面积之比为$5:3$.
所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{5}{4}(4-π)}{\frac{3}{4}(4-π)}=\frac{5}{3}$.
所以这两个带形的面积之比为$5:3$.
解析
【分析】
我们要求的带形$S_1$、$S_2$都是不规则图形，无法直接用公式计算面积，因此采用割补法转化为规则图形的面积差求解。首先明确圆心角为$90°$的扇形面积等于对应圆面积的$\frac{1}{4}$，可借助扇形面积公式计算；其次观察图形可知，每个带形的面积等于相邻两个“正方形减去对应圆心角$90°$的扇形”的曲边区域的面积差，分别求出$S_1$、$S_2$后再计算比值即可。
【解析】
解：已知每个小方格边长为1，三个扇形的圆心角均为$90°$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ r^2}{360}$：
1. 计算$S_1$：
边长为3的正方形$ABCD$面积为$3×3=9$，半径为3的扇形面积为$\frac{90π×3^2}{360}=\frac{9π}{4}$，因此最外层曲边区域面积为$9-\frac{9π}{4}$；
边长为2的正方形面积为$2×2=4$，半径为2的扇形面积为$\frac{90π×2^2}{360}=π$，因此中间层曲边区域面积为$4-π$；
则$S_1=(9-\frac{9π}{4})-(4-π)=5-\frac{5π}{4}=\frac{5}{4}(4-π)$。
2. 计算$S_2$：
边长为1的正方形面积为$1×1=1$，半径为1的扇形面积为$\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$，因此最内层曲边区域面积为$1-\frac{π}{4}$；
则$S_2=(4-π)-(1-\frac{π}{4})=3-\frac{3π}{4}=\frac{3}{4}(4-π)$。
3. 求面积比：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{5}{4}(4-π)}{\frac{3}{4}(4-π)}=\frac{5}{3}$，即$S_1:S_2=5:3$。
【答案】
$5:3$
【知识点】
扇形面积计算、不规则图形面积求解、比的化简
【点评】
本题核心是用割补法将不规则的带形面积转化为正方形和扇形的面积差求解，计算过程中公共因式$(4-π)$可以直接约去，不用代入$π$的数值计算，能简化运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
我们要求的带形$S_1$、$S_2$都是不规则图形，无法直接用公式计算面积，因此采用割补法转化为规则图形的面积差求解。首先明确圆心角为$90°$的扇形面积等于对应圆面积的$\frac{1}{4}$，可借助扇形面积公式计算；其次观察图形可知，每个带形的面积等于相邻两个“正方形减去对应圆心角$90°$的扇形”的曲边区域的面积差，分别求出$S_1$、$S_2$后再计算比值即可。
【解析】
解：已知每个小方格边长为1，三个扇形的圆心角均为$90°$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ r^2}{360}$：
1. 计算$S_1$：
边长为3的正方形$ABCD$面积为$3×3=9$，半径为3的扇形面积为$\frac{90π×3^2}{360}=\frac{9π}{4}$，因此最外层曲边区域面积为$9-\frac{9π}{4}$；
边长为2的正方形面积为$2×2=4$，半径为2的扇形面积为$\frac{90π×2^2}{360}=π$，因此中间层曲边区域面积为$4-π$；
则$S_1=(9-\frac{9π}{4})-(4-π)=5-\frac{5π}{4}=\frac{5}{4}(4-π)$。
2. 计算$S_2$：
边长为1的正方形面积为$1×1=1$，半径为1的扇形面积为$\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$，因此最内层曲边区域面积为$1-\frac{π}{4}$；
则$S_2=(4-π)-(1-\frac{π}{4})=3-\frac{3π}{4}=\frac{3}{4}(4-π)$。
3. 求面积比：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{5}{4}(4-π)}{\frac{3}{4}(4-π)}=\frac{5}{3}$，即$S_1:S_2=5:3$。
【答案】
$5:3$
【知识点】
扇形面积计算、不规则图形面积求解、比的化简
【点评】
本题核心是用割补法将不规则的带形面积转化为正方形和扇形的面积差求解，计算过程中公共因式$(4-π)$可以直接约去，不用代入$π$的数值计算，能简化运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
