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20. 如图，$∠ AOB = 90°$，C，D是以O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，连接CD，连接AB分别交OC，OD于点E，F.求证：$AE=BF=CD$.
答案
20. 证明 连接AC，BD，如图. 因为在$\odot O$中，半径$OA⊥ OB$，C，D为以O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}× 90°=30°$.
因为$OA=OB$，
所以$∠ OAB=∠ OBA=45°$.
因为$∠ AOC=∠ BOD=30°$，所以$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=45°+30°=75°$.
因为$OA=OC$，$∠ AOC=30°$，
所以$∠ ACE=75°$. 所以$∠ ACE=∠ AEC$. 所以$AC=AE$. 同理$BF=BD$.
因为C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$AC=CD=BD$.
所以$AE=BF=CD$.
解析
【分析】
要证明$AE=BF=CD$，我们可以分两步推导：首先利用弧三等分点的性质，同圆中等弧对等弦，可得$AC=CD=BD$，接下来只需证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。首先根据$∠ AOB=90°$和三等分点的定义求出各段弧对应的圆心角为$30°$，再结合等腰直角$△ OAB$的底角为$45°$，利用三角形外角性质求出$∠ AEC$的度数，再通过等腰$△ OAC$计算底角$∠ ACE$的度数，利用等角对等边得到$AE=AC$，同理可证$BF=BD$，最终即可推出三条线段相等。
【解析】
证明：连接$AC$、$BD$。
∵ 在$\odot O$中，$OA⊥ OB$，$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ BOD=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×90°=30°$。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=90°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=45°+30°=75°$。
∵ $OA=OC$，$∠ AOC=30°$，
∴ $∠ ACE=∠ OAC=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ $∠ ACE=∠ AEC$，
∴ $AE=AC$。
同理可证：$BF=BD$。
又
∵ $C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ 同圆中等弧对等弦，得$AC=CD=BD$。
∴ $AE=BF=CD$。
【答案】
证明 连接AC，BD，如图. 因为在$\odot O$中，半径$OA⊥ OB$，C，D为以O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}× 90°=30°$.
因为$OA=OB$，
所以$∠ OAB=∠ OBA=45°$.
因为$∠ AOC=∠ BOD=30°$，所以$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=45°+30°=75°$.
因为$OA=OC$，$∠ AOC=30°$，
所以$∠ ACE=75°$. 所以$∠ ACE=∠ AEC$. 所以$AC=AE$. 同理$BF=BD$.
因为C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$AC=CD=BD$.
所以$AE=BF=CD$.
【知识点】
弧弦圆心角的关系；等腰三角形的判定与性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基本性质与三角形知识结合的典型题，解题的突破口是合理连接辅助线将待证线段转化为同圆中弧对应的弦，再通过角度计算利用等角对等边的性质完成证明，能够很好地考查学生对圆相关性质的运用能力。
【难度系数】
0.6
要证明$AE=BF=CD$，我们可以分两步推导：首先利用弧三等分点的性质，同圆中等弧对等弦，可得$AC=CD=BD$，接下来只需证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。首先根据$∠ AOB=90°$和三等分点的定义求出各段弧对应的圆心角为$30°$，再结合等腰直角$△ OAB$的底角为$45°$，利用三角形外角性质求出$∠ AEC$的度数，再通过等腰$△ OAC$计算底角$∠ ACE$的度数，利用等角对等边得到$AE=AC$，同理可证$BF=BD$，最终即可推出三条线段相等。
【解析】
证明：连接$AC$、$BD$。
∵ 在$\odot O$中，$OA⊥ OB$，$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ BOD=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×90°=30°$。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=90°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=45°+30°=75°$。
∵ $OA=OC$，$∠ AOC=30°$，
∴ $∠ ACE=∠ OAC=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ $∠ ACE=∠ AEC$，
∴ $AE=AC$。
同理可证：$BF=BD$。
又
∵ $C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ 同圆中等弧对等弦，得$AC=CD=BD$。
∴ $AE=BF=CD$。
【答案】
证明 连接AC，BD，如图. 因为在$\odot O$中，半径$OA⊥ OB$，C，D为以O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}× 90°=30°$.
因为$OA=OB$，
所以$∠ OAB=∠ OBA=45°$.
因为$∠ AOC=∠ BOD=30°$，所以$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=45°+30°=75°$.
因为$OA=OC$，$∠ AOC=30°$，
所以$∠ ACE=75°$. 所以$∠ ACE=∠ AEC$. 所以$AC=AE$. 同理$BF=BD$.
因为C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$AC=CD=BD$.
所以$AE=BF=CD$.
【知识点】
弧弦圆心角的关系；等腰三角形的判定与性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基本性质与三角形知识结合的典型题，解题的突破口是合理连接辅助线将待证线段转化为同圆中弧对应的弦，再通过角度计算利用等角对等边的性质完成证明，能够很好地考查学生对圆相关性质的运用能力。
【难度系数】
0.6
21. 一辆卡车装满货物后，高4 m，宽3 m，这辆卡车能通过横截面积如图（上方为半圆）的隧道吗？为什么？
答案
21. 解 如图，设半圆O的半径为R，则$R=2.5\ \mathrm{m}$. 作弦$EF// AD$，且$EF=3$，$OH⊥ EF$于点H，连接OF. 因为$OH⊥ EF$，所以$HF=\frac{1}{2}EF=1.5\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，
$OH=\sqrt{OF^2-HF^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=2\ (\mathrm{m})$.
因为$2.2+2=4.2＞4$，所以能通过.
解析
【分析】
要判断卡车能否通过隧道，需计算隧道对应卡车宽度3m位置的总高度，再和卡车高度4m比较即可。首先明确隧道结构：下部是高2.2m、宽5m的矩形，上部是直径为5m的半圆。我们可以在半圆中作长度等于卡车宽度、且平行于半圆直径的弦，求出这条弦到直径的距离，再加上下部矩形的高度，得到该宽度处隧道的总高度，即可判断是否满足通行要求。
【解析】
解：由图可知上方半圆的直径$AD=5\ \mathrm{m}$，因此半圆半径$OF=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m}$。
作弦$EF// AD$，且$EF=3\ \mathrm{m}$（对应卡车宽度），过圆心$O$作$OH⊥ EF$于点$H$，连接$OF$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$HF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，由勾股定理可得：
$OH=\sqrt{OF^2-HF^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=\sqrt{6.25-2.25}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$。
则隧道宽度为3m处的总高度为$2.2+2=4.2\ \mathrm{m}$。
因为$4.2\ \mathrm{m}＞4\ \mathrm{m}$，所以卡车能通过该隧道。
【答案】
能通过，理由如下：设半圆O的半径为R，则$R=2.5\ \mathrm{m}$. 作弦$EF// AD$，且$EF=3$，$OH⊥ EF$于点H，连接OF. 因为$OH⊥ EF$，所以$HF=\frac{1}{2}EF=1.5\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，
$OH=\sqrt{OF^2-HF^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=2\ (\mathrm{m})$.
因为$2.2+2=4.2＞4$，所以能通过.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是结合生活实际的几何应用题，核心是将实际通行问题转化为圆内弦高的计算问题，考查学生构建数学模型的能力，以及对垂径定理、勾股定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断卡车能否通过隧道，需计算隧道对应卡车宽度3m位置的总高度，再和卡车高度4m比较即可。首先明确隧道结构：下部是高2.2m、宽5m的矩形，上部是直径为5m的半圆。我们可以在半圆中作长度等于卡车宽度、且平行于半圆直径的弦，求出这条弦到直径的距离，再加上下部矩形的高度，得到该宽度处隧道的总高度，即可判断是否满足通行要求。
【解析】
解：由图可知上方半圆的直径$AD=5\ \mathrm{m}$，因此半圆半径$OF=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m}$。
作弦$EF// AD$，且$EF=3\ \mathrm{m}$（对应卡车宽度），过圆心$O$作$OH⊥ EF$于点$H$，连接$OF$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$HF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，由勾股定理可得：
$OH=\sqrt{OF^2-HF^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=\sqrt{6.25-2.25}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$。
则隧道宽度为3m处的总高度为$2.2+2=4.2\ \mathrm{m}$。
因为$4.2\ \mathrm{m}＞4\ \mathrm{m}$，所以卡车能通过该隧道。
【答案】
能通过，理由如下：设半圆O的半径为R，则$R=2.5\ \mathrm{m}$. 作弦$EF// AD$，且$EF=3$，$OH⊥ EF$于点H，连接OF. 因为$OH⊥ EF$，所以$HF=\frac{1}{2}EF=1.5\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，
$OH=\sqrt{OF^2-HF^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=2\ (\mathrm{m})$.
因为$2.2+2=4.2＞4$，所以能通过.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是结合生活实际的几何应用题，核心是将实际通行问题转化为圆内弦高的计算问题，考查学生构建数学模型的能力，以及对垂径定理、勾股定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
