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1. ★☆★…依次观察这三个图形，并判断照此规律从左向右的第四个图形是 （
D
）答案
1. D
解析
【分析】
本题是结合旋转的图形规律探究题，解题思路如下：首先明确五角星的5个尖角绕中心均匀分布，相邻尖角的中心夹角为$360°÷5=72°$；接下来对比前三个图形的阴影尖角位置，可发现规律：三个阴影尖角中，每次仅有1个尖角按顺时针方向旋转72°（即移动到下一个相邻尖角位置），另外2个位置不变；最后根据该规律推导第四个图形的阴影位置，匹配对应选项即可。
【解析】
将五角星的5个尖角按顺时针顺序依次标记为：上、右上、右下、左下、左上，相邻尖角绕五角星中心的夹角为$72°$。
观察前三个已知图形的阴影位置：
1. 第1个图形阴影：左上、右上、右下；
2. 第2个图形阴影：上、右上、右下，对比可知原左上的阴影顺时针旋转$72°$移动到上的位置，其余阴影保持不变；
3. 第3个图形阴影：上、右上、左下，对比可知原右下的阴影顺时针旋转$72°$移动到左下的位置，其余阴影保持不变；
按照此规律推导第四个图形的阴影位置，符合要求的只有选项D。
【答案】
D
【知识点】
图形的旋转，规律探究
【点评】
本题结合旋转的性质考查图形规律探索，需要通过观察对比相邻图形的变化确定旋转规律，侧重考查对旋转特征的理解和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
本题是结合旋转的图形规律探究题，解题思路如下：首先明确五角星的5个尖角绕中心均匀分布，相邻尖角的中心夹角为$360°÷5=72°$；接下来对比前三个图形的阴影尖角位置，可发现规律：三个阴影尖角中，每次仅有1个尖角按顺时针方向旋转72°（即移动到下一个相邻尖角位置），另外2个位置不变；最后根据该规律推导第四个图形的阴影位置，匹配对应选项即可。
【解析】
将五角星的5个尖角按顺时针顺序依次标记为：上、右上、右下、左下、左上，相邻尖角绕五角星中心的夹角为$72°$。
观察前三个已知图形的阴影位置：
1. 第1个图形阴影：左上、右上、右下；
2. 第2个图形阴影：上、右上、右下，对比可知原左上的阴影顺时针旋转$72°$移动到上的位置，其余阴影保持不变；
3. 第3个图形阴影：上、右上、左下，对比可知原右下的阴影顺时针旋转$72°$移动到左下的位置，其余阴影保持不变；
按照此规律推导第四个图形的阴影位置，符合要求的只有选项D。
【答案】
D
【知识点】
图形的旋转，规律探究
【点评】
本题结合旋转的性质考查图形规律探索，需要通过观察对比相邻图形的变化确定旋转规律，侧重考查对旋转特征的理解和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示的图案，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图案重合，则这个角度可能为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确旋转对称图形的性质：绕自身中心旋转某一角度后能与原图重合的图形是旋转对称图形，这个最小的旋转角度等于360°除以图形中等效重复单元的数量，只要旋转角度是该最小角度的正整数倍，都能让图案与原图重合。接下来我们只需要观察图案，数出均匀分布在中心周围的全等重复单元的数量，就可以计算出最小旋转角，再对应选项判断即可。
【解析】
观察题中图案可知，该图案共有6个完全相同的基本单元均匀围绕中心分布。
根据旋转对称图形最小旋转角的计算方法：
最小旋转角 = 360°÷重复单元数 = 360°÷6 = 60°
即当旋转角度为60°或60°的整数倍时，图案可与原图案重合，选项中只有60°符合要求。
【答案】
C
【知识点】
旋转对称图形、旋转的性质
【点评】
本题是旋转相关的基础题型，解题核心是准确识别图形的重复单元数量，掌握旋转对称的基本概念就能快速求解，出错点多是数错重复单元的数量，做题时要注意仔细观察图案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确旋转对称图形的性质：绕自身中心旋转某一角度后能与原图重合的图形是旋转对称图形，这个最小的旋转角度等于360°除以图形中等效重复单元的数量，只要旋转角度是该最小角度的正整数倍，都能让图案与原图重合。接下来我们只需要观察图案，数出均匀分布在中心周围的全等重复单元的数量，就可以计算出最小旋转角，再对应选项判断即可。
【解析】
观察题中图案可知，该图案共有6个完全相同的基本单元均匀围绕中心分布。
根据旋转对称图形最小旋转角的计算方法：
最小旋转角 = 360°÷重复单元数 = 360°÷6 = 60°
即当旋转角度为60°或60°的整数倍时，图案可与原图案重合，选项中只有60°符合要求。
【答案】
C
【知识点】
旋转对称图形、旋转的性质
【点评】
本题是旋转相关的基础题型，解题核心是准确识别图形的重复单元数量，掌握旋转对称的基本概念就能快速求解，出错点多是数错重复单元的数量，做题时要注意仔细观察图案。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $∠ ABC=30°$, $AC=1\ \mathrm{cm}$, 将 $Rt△ ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $Rt△ AB'C'$, 使点 $C'$ 落在边 $AB$ 上, 连接 $BB'$, 则 $BB'$ 的长是 (
A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$1\ \mathrm{cm}$
C.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
A
)A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$1\ \mathrm{cm}$
C.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先根据直角三角形30°角的性质求出斜边AB的长度；再结合旋转的性质得到AB'=AB，且旋转角∠BAB'=∠BAC=60°；最后根据等边三角形的判定得出△ABB'为等边三角形，即可得到BB'的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=30°$，$AC=1\ \mathrm{cm}$，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$AB=2AC=2×1=2\ \mathrm{cm}$。
2. 由旋转的性质可知：$AB'=AB$，$∠ B'AC'=∠ BAC$。
先计算$∠ BAC$：$∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-30°=60°$，因此旋转角$∠ B'AB=∠ BAC=60°$。
3. 因为$AB'=AB$，且$∠ B'AB=60°$，所以$△ ABB'$是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），因此$BB'=AB=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质；旋转的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是旋转性质与特殊三角形性质的综合应用题，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，推导出等边三角形即可求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先根据直角三角形30°角的性质求出斜边AB的长度；再结合旋转的性质得到AB'=AB，且旋转角∠BAB'=∠BAC=60°；最后根据等边三角形的判定得出△ABB'为等边三角形，即可得到BB'的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=30°$，$AC=1\ \mathrm{cm}$，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$AB=2AC=2×1=2\ \mathrm{cm}$。
2. 由旋转的性质可知：$AB'=AB$，$∠ B'AC'=∠ BAC$。
先计算$∠ BAC$：$∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-30°=60°$，因此旋转角$∠ B'AB=∠ BAC=60°$。
3. 因为$AB'=AB$，且$∠ B'AB=60°$，所以$△ ABB'$是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），因此$BB'=AB=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质；旋转的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是旋转性质与特殊三角形性质的综合应用题，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，推导出等边三角形即可求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在正方形网格中，每个小方格的边长均为1个单位长度，$△ ABC$的顶点均在格点上。将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$，画出旋转后的$△ A'B'C'$。
答案
4. 如图，$△ A'B'C'$即为所求。
解析
【分析】
解决旋转作图类问题，首先要明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。本题旋转中心为点C，旋转方向是顺时针，旋转角为90°。首先旋转中心的对应点是它本身，即C'与C重合；接下来只需确定另外两个顶点A、B旋转后的对应点即可：利用正方形网格的直角特征，结合旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角），数格点找到A、B顺时针旋转90°后的对应点A'、B'；最后顺次连接三个对应点就能得到旋转后的三角形。
【解析】
1. 确定旋转三要素：旋转中心为点C，顺时针旋转90°，因此点C的对应点C'与点C重合。
2. 找对应点：根据旋转的性质，分别将线段CA、CB绕点C顺时针旋转90°，通过数网格格点的方式，确定点A的对应点A'，点B的对应点B'的位置。
3. 连线：顺次连接C'、A'、B'，所得图形即为旋转后的△A'B'C'。
【答案】
如图，△A'B'C'即为所求。
【知识点】
旋转的性质、旋转作图
【点评】
本题属于基础作图题，核心考查旋转作图的基本方法，需要准确把握旋转三要素，能结合网格特征快速定位对应点的位置，是巩固旋转相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
解决旋转作图类问题，首先要明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。本题旋转中心为点C，旋转方向是顺时针，旋转角为90°。首先旋转中心的对应点是它本身，即C'与C重合；接下来只需确定另外两个顶点A、B旋转后的对应点即可：利用正方形网格的直角特征，结合旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角），数格点找到A、B顺时针旋转90°后的对应点A'、B'；最后顺次连接三个对应点就能得到旋转后的三角形。
【解析】
1. 确定旋转三要素：旋转中心为点C，顺时针旋转90°，因此点C的对应点C'与点C重合。
2. 找对应点：根据旋转的性质，分别将线段CA、CB绕点C顺时针旋转90°，通过数网格格点的方式，确定点A的对应点A'，点B的对应点B'的位置。
3. 连线：顺次连接C'、A'、B'，所得图形即为旋转后的△A'B'C'。
【答案】
如图，△A'B'C'即为所求。
【知识点】
旋转的性质、旋转作图
【点评】
本题属于基础作图题，核心考查旋转作图的基本方法，需要准确把握旋转三要素，能结合网格特征快速定位对应点的位置，是巩固旋转相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在△AOB中,AO=AB,点A的坐标为(3,4),点B在x轴上,将△AOB绕点B顺时针旋转后得到△A'O'B,点A的对应点A'在x轴上,则点O'的坐标为
$(\frac{48}{5},\frac{24}{5})$
.答案
5. $(\frac{48}{5},\frac{24}{5})$
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形三线合一的性质求出点B的坐标，再通过勾股定理计算腰长AO、AB的长度；接着根据旋转的性质得到旋转后对应边相等、对应三角形面积相等，过O'作x轴的垂线构造直角三角形，先利用三角形面积公式求出O'的纵坐标，再用勾股定理求出水平线段BD的长度，最终结合点B的坐标计算得到O'的横坐标即可。
【解析】
1. 过点A作$AC ⊥ x$轴于点C，已知$A(3,4)$，则$OC=3$，$AC=4$。
$\because AO=AB$，$AC ⊥ OB$，由等腰三角形三线合一的性质可得C是OB中点，
$\therefore OB=2OC=6$，即点B坐标为$(6,0)$。
2. 在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{OC^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故$AB=AO=5$。
3. 由旋转的性质可知：$BO'=BO=6$，$BA'=BA=5$，$S_{△ A'BO'}=S_{△ ABO}$。
先计算原三角形面积：$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × OB × AC=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$，因此$S_{△ A'BO'}=12$。
4. 过点$O'$作$O'D ⊥ x$轴于点D，根据三角形面积公式：
$S_{△ A'BO'}=\frac{1}{2} × BA' × O'D$，代入得$\frac{1}{2} × 5 × O'D=12$，解得$O'D=\frac{24}{5}$，即$O'$的纵坐标为$\frac{24}{5}$。
5. 在$Rt△ BO'D$中，$BO'=6$，$O'D=\frac{24}{5}$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BO'^2 - O'D^2}=\sqrt{6^2 - (\frac{24}{5})^2}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$。
因此$O'$的横坐标为$OB+BD=6+\frac{18}{5}=\frac{48}{5}$。
【答案】
$(\frac{48}{5},\frac{24}{5})$
【知识点】
等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转类的典型题型，综合考查了几何图形的性质应用，解题的核心是抓住旋转前后图形的对应边、面积不变的特点，通过作垂线构造直角三角形求解，对学生的几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用等腰三角形三线合一的性质求出点B的坐标，再通过勾股定理计算腰长AO、AB的长度；接着根据旋转的性质得到旋转后对应边相等、对应三角形面积相等，过O'作x轴的垂线构造直角三角形，先利用三角形面积公式求出O'的纵坐标，再用勾股定理求出水平线段BD的长度，最终结合点B的坐标计算得到O'的横坐标即可。
【解析】
1. 过点A作$AC ⊥ x$轴于点C，已知$A(3,4)$，则$OC=3$，$AC=4$。
$\because AO=AB$，$AC ⊥ OB$，由等腰三角形三线合一的性质可得C是OB中点，
$\therefore OB=2OC=6$，即点B坐标为$(6,0)$。
2. 在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{OC^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故$AB=AO=5$。
3. 由旋转的性质可知：$BO'=BO=6$，$BA'=BA=5$，$S_{△ A'BO'}=S_{△ ABO}$。
先计算原三角形面积：$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × OB × AC=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$，因此$S_{△ A'BO'}=12$。
4. 过点$O'$作$O'D ⊥ x$轴于点D，根据三角形面积公式：
$S_{△ A'BO'}=\frac{1}{2} × BA' × O'D$，代入得$\frac{1}{2} × 5 × O'D=12$，解得$O'D=\frac{24}{5}$，即$O'$的纵坐标为$\frac{24}{5}$。
5. 在$Rt△ BO'D$中，$BO'=6$，$O'D=\frac{24}{5}$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BO'^2 - O'D^2}=\sqrt{6^2 - (\frac{24}{5})^2}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$。
因此$O'$的横坐标为$OB+BD=6+\frac{18}{5}=\frac{48}{5}$。
【答案】
$(\frac{48}{5},\frac{24}{5})$
【知识点】
等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转类的典型题型，综合考查了几何图形的性质应用，解题的核心是抓住旋转前后图形的对应边、面积不变的特点，通过作垂线构造直角三角形求解，对学生的几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC＞BC$,将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$△ DEC$,使得点$B$的对应点$E$落在边$AB$上(点$E$不与点$B$重合).
(1)求作$△ DEC$(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)试判断线段$AB$,$CD$的位置关系,并证明.
(1)求作$△ DEC$(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)试判断线段$AB$,$CD$的位置关系,并证明.
答案
6. (1)如图，$△ DEC$即为所求。
(2)$CD// AB$.
证明:
∵ $AC=AB$,
∴ $∠ B=∠ ACB$.
∵ $CB=CE$,
∴ $∠ B=∠ CEB$.
∵ $∠ A+2∠ B=180°,∠ ECB+2∠ B=180°$,
∴ $∠ A=∠ ECB$.
∵ $∠ ACB=∠ DCE$,
∴ $∠ ACB-∠ ACE = ∠ DCE-∠ ACE$,即$∠ ECB=∠ ACD$.
∴ $∠ ACD=∠ A$.
∴ $CD// AB$.
解析
【分析】
(1) 作旋转后的图形需抓住旋转三要素：旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角等于CB旋转到CE的夹角。首先以C为圆心、CB长为半径画弧，和AB交于点E得到点B的对应点；再以C为顶点、CE为一边作∠DCE=∠ACB，在该角的边上截取CD=CA得到点A的对应点D，最后连接DE即可得到△DEC。
(2) 判断AB和CD的位置关系，先观察图形猜想两线平行，要证平行需证内错角∠A=∠ACD。可结合等腰三角形底角相等的性质、旋转前后对应边和对应角相等的性质，通过角的等量代换推导两角相等，即可证明平行。
【解析】
(1) 按照旋转作图要求，确定对应点E、D后连接DE，保留作图痕迹即可得到所求△DEC。
(2) 证明如下：
∵ $AC=AB$,
∴ $∠ B=∠ ACB$。
∵ 旋转后对应边相等，
∴ $CB=CE$,
∴ $∠ B=∠ CEB$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A+2∠ B=180°,∠ ECB+2∠ B=180°$,
∴ $∠ A=∠ ECB$。
∵ 旋转后对应角相等，
∴ $∠ ACB=∠ DCE$,
∴ $∠ ACB-∠ ACE = ∠ DCE-∠ ACE$,即$∠ ECB=∠ ACD$。
∴ $∠ ACD=∠ A$,
∴ $CD// AB$。
【答案】
(1)如图，$△ DEC$即为所求。
(2)$CD// AB$.
证明:
∵ $AC=AB$,
∴ $∠ B=∠ ACB$.
∵ $CB=CE$,
∴ $∠ B=∠ CEB$.
∵ $∠ A+2∠ B=180°,∠ ECB+2∠ B=180°$,
∴ $∠ A=∠ ECB$.
∵ $∠ ACB=∠ DCE$,
∴ $∠ ACB-∠ ACE = ∠ DCE-∠ ACE$,即$∠ ECB=∠ ACD$.
∴ $∠ ACD=∠ A$.
∴ $CD// AB$.
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题综合考查旋转作图和几何性质的应用，作图时要紧扣旋转三要素确定对应点，证明过程需要熟练运用等腰三角形的角的关系，通过等量代换得到平行线判定的条件，是对几何基础能力的综合考查。
【难度系数】
0.7
(1) 作旋转后的图形需抓住旋转三要素：旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角等于CB旋转到CE的夹角。首先以C为圆心、CB长为半径画弧，和AB交于点E得到点B的对应点；再以C为顶点、CE为一边作∠DCE=∠ACB，在该角的边上截取CD=CA得到点A的对应点D，最后连接DE即可得到△DEC。
(2) 判断AB和CD的位置关系，先观察图形猜想两线平行，要证平行需证内错角∠A=∠ACD。可结合等腰三角形底角相等的性质、旋转前后对应边和对应角相等的性质，通过角的等量代换推导两角相等，即可证明平行。
【解析】
(1) 按照旋转作图要求，确定对应点E、D后连接DE，保留作图痕迹即可得到所求△DEC。
(2) 证明如下：
∵ $AC=AB$,
∴ $∠ B=∠ ACB$。
∵ 旋转后对应边相等，
∴ $CB=CE$,
∴ $∠ B=∠ CEB$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A+2∠ B=180°,∠ ECB+2∠ B=180°$,
∴ $∠ A=∠ ECB$。
∵ 旋转后对应角相等，
∴ $∠ ACB=∠ DCE$,
∴ $∠ ACB-∠ ACE = ∠ DCE-∠ ACE$,即$∠ ECB=∠ ACD$。
∴ $∠ ACD=∠ A$,
∴ $CD// AB$。
【答案】
(1)如图，$△ DEC$即为所求。
(2)$CD// AB$.
证明:
∵ $AC=AB$,
∴ $∠ B=∠ ACB$.
∵ $CB=CE$,
∴ $∠ B=∠ CEB$.
∵ $∠ A+2∠ B=180°,∠ ECB+2∠ B=180°$,
∴ $∠ A=∠ ECB$.
∵ $∠ ACB=∠ DCE$,
∴ $∠ ACB-∠ ACE = ∠ DCE-∠ ACE$,即$∠ ECB=∠ ACD$.
∴ $∠ ACD=∠ A$.
∴ $CD// AB$.
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题综合考查旋转作图和几何性质的应用，作图时要紧扣旋转三要素确定对应点，证明过程需要熟练运用等腰三角形的角的关系，通过等量代换得到平行线判定的条件，是对几何基础能力的综合考查。
【难度系数】
0.7
