登录
小明在学习了中心对称图形以后,想知道平行四边形是否为中心对称图形.于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上,在纸板上沿四边画出它的初始位置,并画出平行四边形纸片的对角线,用大头针钉住对角线的交点.将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转$180°$后,平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合.通过上述操作,小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形,对角线的交点就是对称中心.请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题:
(1)如图①,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O.过点O的直线$l$与边AB,CD分别相交于点M,N,四边形AMND的面积与平行四边形ABCD的面积之比为
(2)如图②,这个图形是由平行四边形ABCD与平行四边形ECGF组成的,点E在边CD上,且点B,C,G在同一条直线上.
①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两部分(简要写出画法);
②延长GF与边AD的延长线交于点K,延长FE与边AB交于点H,连接EB,EK,BK,如图③所示,当四边形AHED的面积为10,四边形CEFG的面积为2时,求$△ EBK$的面积.
(1)如图①,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O.过点O的直线$l$与边AB,CD分别相交于点M,N,四边形AMND的面积与平行四边形ABCD的面积之比为
1:2
.(2)如图②,这个图形是由平行四边形ABCD与平行四边形ECGF组成的,点E在边CD上,且点B,C,G在同一条直线上.
①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两部分(简要写出画法);
②延长GF与边AD的延长线交于点K,延长FE与边AB交于点H,连接EB,EK,BK,如图③所示,当四边形AHED的面积为10,四边形CEFG的面积为2时,求$△ EBK$的面积.
答案
(1)$1:2$
(2)①如图,直线$l$即为所求.
设平行四边形$ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,平行四边形$ECGF$的对角线$EG,CF$相交于点$Q$,过点$O,Q$的直线$l$将图形分成面积相等的两部分.
②$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore \quad AB// CD,AD// BC.$
$\because \quad$ 四边形$ECGF$为平行四边形,
$\therefore \quad EC// GF,EF// CG.$
$\therefore \quad AK// BG,AB// GK.$
$\therefore \quad$ 四边形$ABGK$为平行四边形.
同理可得,四边形$DEFK$、四边形$HBCE$均为平行四边形.
$\because \quad S_{四边形AHED}=10,S_{四边形CEFG}=2,$
$\therefore \quad S_{四边形ABGK}$
$=S_{四边形AHED}+S_{四边形CEFG}+S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK}$
$=10+2+S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK}$
$=12+S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK}.$
$\therefore \quad S_{△ BGK} =\frac{1}{2}S_{四边形ABGK}$
$=6+\frac{1}{2}(S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK}).$
$\because \quad S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S_{四边形BCEH},S_{△ EFK}=\frac{1}{2}S_{四边形DEFK},$
$\therefore \quad S_{△ EBK} =S_{△ BGK}-S_{△ BCE}-S_{△ EFK}-S_{四边形CEFG}$
$=6+\frac{1}{2}(S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK})-$
$\frac{1}{2}S_{四边形BCEH}-\frac{1}{2}S_{四边形DEFK}-2$
$=4.$
$\therefore \quad △ EBK$的面积为4.
解析
【分析】
(1) 平行四边形是中心对称图形，对角线交点O是它的对称中心，过对称中心的任意直线都能将平行四边形分成面积相等的两部分，因此四边形AMND的面积是平行四边形ABCD面积的一半，可直接得出比值。
(2) ① 过中心对称图形对称中心的直线平分该图形的面积，因此分别找到两个平行四边形的对称中心（即各自对角线的交点），过这两个交点作直线，就能将整个组合图形分成面积相等的两部分。
② 首先根据平行四边形对边平行的性质，判定图中ABGK、BCEH、DEFK均为平行四边形，再利用“平行四边形的对角线将其分为面积相等的两个三角形”的性质，通过割补法将△EBK的面积用已知的四边形面积表示，化简后消去未知的面积项即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ 平行四边形ABCD是中心对称图形，点O为其对称中心，
∴ 过点O的直线l将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴ $S_{四边形AMND}=\frac{1}{2}S_{平行四边形ABCD}$，
因此二者面积之比为$1:2$。
(2) ① 首先找到两个平行四边形的对称中心：连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，交点记为O；连接平行四边形ECGF的对角线EG、CF，交点记为Q。过O、Q两点作直线l，这条直线就可以把整个图形分成面积相等的两部分，如下图：
② 推导过程如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD,AD// BC$，
∵ 四边形ECGF是平行四边形，
∴ $EC// GF,EF// CG$，
∴ $AK// BG,AB// GK$，
∴ 四边形ABGK为平行四边形，
同理可证：四边形DEFK、四边形HBCE均为平行四边形。
已知$S_{四边形AHED}=10$，$S_{四边形CEFG}=2$，
∴ $S_{四边形ABGK}=S_{四边形AHED}+S_{四边形CEFG}+S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK}=10+2+S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK}=12+S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK}$，
∵ 平行四边形的对角线平分其面积，
∴ $S_{△ BGK}=\frac{1}{2}S_{四边形ABGK}=6+\frac{1}{2}(S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK})$，
又
∵ $S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S_{四边形BCEH}$，$S_{△ EFK}=\frac{1}{2}S_{四边形DEFK}$，
∴ $S_{△ EBK}=S_{△ BGK}-S_{△ BCE}-S_{△ EFK}-S_{四边形CEFG}$
$=6+\frac{1}{2}(S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK})-\frac{1}{2}S_{四边形BCEH}-\frac{1}{2}S_{四边形DEFK}-2$
$=4$。
【答案】
(1) $1:2$
(2) ① 如图，直线$l$即为所求。
画法：设平行四边形$ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,平行四边形$ECGF$的对角线$EG,CF$相交于点$Q$,过点$O,Q$的直线$l$将图形分成面积相等的两部分。
② $△ EBK$的面积为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
中心对称图形性质，平行四边形的性质，割补法求面积
【点评】
本题围绕平行四边形的中心对称性质展开，考查了图形面积分割、平行四边形的判定与性质、几何面积计算等内容。解题的核心是掌握“过中心对称图形对称中心的直线平分图形面积”这一结论，第(2)②问需要灵活运用割补法转化所求三角形的面积，能有效锻炼对几何图形的分析和转化能力。
【难度系数】
0.6
(1) 平行四边形是中心对称图形，对角线交点O是它的对称中心，过对称中心的任意直线都能将平行四边形分成面积相等的两部分，因此四边形AMND的面积是平行四边形ABCD面积的一半，可直接得出比值。
(2) ① 过中心对称图形对称中心的直线平分该图形的面积，因此分别找到两个平行四边形的对称中心（即各自对角线的交点），过这两个交点作直线，就能将整个组合图形分成面积相等的两部分。
② 首先根据平行四边形对边平行的性质，判定图中ABGK、BCEH、DEFK均为平行四边形，再利用“平行四边形的对角线将其分为面积相等的两个三角形”的性质，通过割补法将△EBK的面积用已知的四边形面积表示，化简后消去未知的面积项即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ 平行四边形ABCD是中心对称图形，点O为其对称中心，
∴ 过点O的直线l将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴ $S_{四边形AMND}=\frac{1}{2}S_{平行四边形ABCD}$，
因此二者面积之比为$1:2$。
(2) ① 首先找到两个平行四边形的对称中心：连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，交点记为O；连接平行四边形ECGF的对角线EG、CF，交点记为Q。过O、Q两点作直线l，这条直线就可以把整个图形分成面积相等的两部分，如下图：
② 推导过程如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD,AD// BC$，
∵ 四边形ECGF是平行四边形，
∴ $EC// GF,EF// CG$，
∴ $AK// BG,AB// GK$，
∴ 四边形ABGK为平行四边形，
同理可证：四边形DEFK、四边形HBCE均为平行四边形。
已知$S_{四边形AHED}=10$，$S_{四边形CEFG}=2$，
∴ $S_{四边形ABGK}=S_{四边形AHED}+S_{四边形CEFG}+S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK}=10+2+S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK}=12+S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK}$，
∵ 平行四边形的对角线平分其面积，
∴ $S_{△ BGK}=\frac{1}{2}S_{四边形ABGK}=6+\frac{1}{2}(S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK})$，
又
∵ $S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S_{四边形BCEH}$，$S_{△ EFK}=\frac{1}{2}S_{四边形DEFK}$，
∴ $S_{△ EBK}=S_{△ BGK}-S_{△ BCE}-S_{△ EFK}-S_{四边形CEFG}$
$=6+\frac{1}{2}(S_{四边形BCEH}+S_{四边形DEFK})-\frac{1}{2}S_{四边形BCEH}-\frac{1}{2}S_{四边形DEFK}-2$
$=4$。
【答案】
(1) $1:2$
(2) ① 如图，直线$l$即为所求。
画法：设平行四边形$ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,平行四边形$ECGF$的对角线$EG,CF$相交于点$Q$,过点$O,Q$的直线$l$将图形分成面积相等的两部分。
② $△ EBK$的面积为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
中心对称图形性质，平行四边形的性质，割补法求面积
【点评】
本题围绕平行四边形的中心对称性质展开，考查了图形面积分割、平行四边形的判定与性质、几何面积计算等内容。解题的核心是掌握“过中心对称图形对称中心的直线平分图形面积”这一结论，第(2)②问需要灵活运用割补法转化所求三角形的面积，能有效锻炼对几何图形的分析和转化能力。
【难度系数】
0.6
