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2. 如图，正比例函数 $ y_1 = k_1 x $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k_2}{x} $ 的图象相交于A,B两点，其中点A的横坐标为2，当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，x的取值范围是（
A.$ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 2 $
B.$ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
C.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ -2 $
D.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
B
）A.$ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 2 $
B.$ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $
C.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ -2 $
D.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先利用正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称的性质，得到两个交点A、B的横坐标，再采用数形结合的思路，分区间观察正比例函数图象是否在反比例函数图象下方，即可得到$y_1＜y_2$时x的取值范围。具体步骤：①先求B点横坐标；②分$x＜-2$、$-2＜x＜0$、$0＜x＜2$、$x＞2$四个区间分别比较两个函数的大小；③汇总符合条件的区间得到结果。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y_1=k_1x$和反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称
∴ 两个函数的交点A、B关于原点对称
已知点A的横坐标为2，因此点B的横坐标为$-2$
结合图象分区间分析：
1. 当$x＜-2$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，满足$y_1＜y_2$；
2. 当$-2＜x＜0$时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$，不符合要求；
3. 当$0＜x＜2$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，满足$y_1＜y_2$；
4. 当$x＞2$时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$，不符合要求；
综上，当$y_1＜y_2$时，x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜2$。
【答案】
B
【知识点】
正反比例函数交点性质；中心对称的性质；函数值大小比较
【点评】
本题考查数形结合思想在函数大小比较问题中的应用，解题的关键是利用函数的对称性快速得到另一个交点的横坐标，再分区间观察图象位置判断函数值大小，注意反比例函数自变量x不能为0，判断时要分开正负半轴分析。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称的性质，得到两个交点A、B的横坐标，再采用数形结合的思路，分区间观察正比例函数图象是否在反比例函数图象下方，即可得到$y_1＜y_2$时x的取值范围。具体步骤：①先求B点横坐标；②分$x＜-2$、$-2＜x＜0$、$0＜x＜2$、$x＞2$四个区间分别比较两个函数的大小；③汇总符合条件的区间得到结果。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y_1=k_1x$和反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称
∴ 两个函数的交点A、B关于原点对称
已知点A的横坐标为2，因此点B的横坐标为$-2$
结合图象分区间分析：
1. 当$x＜-2$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，满足$y_1＜y_2$；
2. 当$-2＜x＜0$时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$，不符合要求；
3. 当$0＜x＜2$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，满足$y_1＜y_2$；
4. 当$x＞2$时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$，不符合要求；
综上，当$y_1＜y_2$时，x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜2$。
【答案】
B
【知识点】
正反比例函数交点性质；中心对称的性质；函数值大小比较
【点评】
本题考查数形结合思想在函数大小比较问题中的应用，解题的关键是利用函数的对称性快速得到另一个交点的横坐标，再分区间观察图象位置判断函数值大小，注意反比例函数自变量x不能为0，判断时要分开正负半轴分析。
【难度系数】
0.7
3. 如图,一次函数$y=x+2$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交,其中一个交点的横坐标是1.
(1)求$k$的值.
(2)若将一次函数$y=x+2$的图象向下平移4个单位长度,平移后所得到的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于A,B两点(点A在点B的左侧),求此时线段AB的长.
(1)求$k$的值.
(2)若将一次函数$y=x+2$的图象向下平移4个单位长度,平移后所得到的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于A,B两点(点A在点B的左侧),求此时线段AB的长.
答案
3. (1)$k=3$ (2)$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 已知两个函数交点的横坐标，先将横坐标代入一次函数解析式求出交点的纵坐标，得到完整的交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
(2) 首先根据一次函数平移“上加下减”的规律求出平移后的一次函数解析式，再联立平移后的一次函数与反比例函数解析式，解方程组得到两个交点A、B的坐标，最后利用两点间距离公式计算线段AB的长度即可。
【解析】
(1) 把$x=1$代入一次函数$y=x+2$，得$y=1+2=3$，因此两个函数的一个交点坐标为$(1,3)$。
将$(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$。
(2) 一次函数$y=x+2$向下平移4个单位长度，根据平移规律“上加下减”，平移后的解析式为$y=x+2-4=x-2$。
联立平移后的一次函数与反比例函数解析式，得方程组：
$\begin{cases}y=x-2\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$
消去y得：$x-2=\frac{3}{x}$，两边同乘$x(x≠0)$整理得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
把$x=-1$代入$y=x-2$得$y=-3$；把$x=3$代入$y=x-2$得$y=1$。
因为点A在点B左侧，所以$A(-1,-3)$，$B(3,1)$。
根据两点间距离公式$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$，代入坐标得：
$AB=\sqrt{[3-(-1)]^2+[1-(-3)]^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
【答案】
(1)$k=3$；(2)$4\sqrt{2}$
【知识点】
1. 函数交点求解
2. 一次函数平移规律
3. 两点间距离计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心考查函数交点的求解方法、一次函数平移的规则，以及两点间距离的计算，整体逻辑清晰，步骤明确，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知两个函数交点的横坐标，先将横坐标代入一次函数解析式求出交点的纵坐标，得到完整的交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
(2) 首先根据一次函数平移“上加下减”的规律求出平移后的一次函数解析式，再联立平移后的一次函数与反比例函数解析式，解方程组得到两个交点A、B的坐标，最后利用两点间距离公式计算线段AB的长度即可。
【解析】
(1) 把$x=1$代入一次函数$y=x+2$，得$y=1+2=3$，因此两个函数的一个交点坐标为$(1,3)$。
将$(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$。
(2) 一次函数$y=x+2$向下平移4个单位长度，根据平移规律“上加下减”，平移后的解析式为$y=x+2-4=x-2$。
联立平移后的一次函数与反比例函数解析式，得方程组：
$\begin{cases}y=x-2\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$
消去y得：$x-2=\frac{3}{x}$，两边同乘$x(x≠0)$整理得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
把$x=-1$代入$y=x-2$得$y=-3$；把$x=3$代入$y=x-2$得$y=1$。
因为点A在点B左侧，所以$A(-1,-3)$，$B(3,1)$。
根据两点间距离公式$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$，代入坐标得：
$AB=\sqrt{[3-(-1)]^2+[1-(-3)]^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
【答案】
(1)$k=3$；(2)$4\sqrt{2}$
【知识点】
1. 函数交点求解
2. 一次函数平移规律
3. 两点间距离计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心考查函数交点的求解方法、一次函数平移的规则，以及两点间距离的计算，整体逻辑清晰，步骤明确，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 若函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是（
A.$m＞-3$
B.$m＜-3$
C.$m＞3$
D.$m＜3$
C
）A.$m＞-3$
B.$m＜-3$
C.$m＞3$
D.$m＜3$
答案
4. C
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象性质，解题时首先回忆反比例函数图象分布和比例系数的关系：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）中，$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限。本题中比例系数为$m-3$，结合图象在第一、三象限的条件列不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：
当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限；
当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
已知函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象在第一、三象限，因此比例系数满足：
$m-3＞0$
解不等式得：$m＞3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，核心考察反比例函数比例系数和图象分布的对应关系，熟练掌握相关性质就能快速解题，出错多是因为混淆了$k$的符号和对应象限的关系。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的图象性质，解题时首先回忆反比例函数图象分布和比例系数的关系：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）中，$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限。本题中比例系数为$m-3$，结合图象在第一、三象限的条件列不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：
当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限；
当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
已知函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象在第一、三象限，因此比例系数满足：
$m-3＞0$
解不等式得：$m＞3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，核心考察反比例函数比例系数和图象分布的对应关系，熟练掌握相关性质就能快速解题，出错多是因为混淆了$k$的符号和对应象限的关系。
【难度系数】
0.8
5. 反比例函数 $y=-\dfrac{k+3}{x}$ 的图象在每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $k$ 的取值范围是（
A.$k≤ -3$
B.$k≥ -3$
C.$k＜-3$
D.$k＞-3$
C
）A.$k≤ -3$
B.$k≥ -3$
C.$k＜-3$
D.$k＞-3$
答案
5. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）的增减性由比例系数$m$的符号决定。当$m＞0$时，每一个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，每一个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题首先确定给定反比例函数的比例系数，再结合题目给出的增减性列不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$）：
当$m＞0$时，图象在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
当$m＜0$时，图象在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知函数$y=-\dfrac{k+3}{x}=\dfrac{-(k+3)}{x}$满足在每一个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此其比例系数满足：
$-(k+3) ＞ 0$
解不等式：
两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$k+3 ＜ 0$，
移项得$k ＜ -3$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的增减性，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是明确反比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，要注意不要弄错题目中比例系数的符号，避免列错不等式。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）的增减性由比例系数$m$的符号决定。当$m＞0$时，每一个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，每一个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题首先确定给定反比例函数的比例系数，再结合题目给出的增减性列不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$）：
当$m＞0$时，图象在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
当$m＜0$时，图象在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知函数$y=-\dfrac{k+3}{x}=\dfrac{-(k+3)}{x}$满足在每一个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此其比例系数满足：
$-(k+3) ＞ 0$
解不等式：
两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$k+3 ＜ 0$，
移项得$k ＜ -3$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的增减性，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是明确反比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，要注意不要弄错题目中比例系数的符号，避免列错不等式。
【难度系数】
0.7
6. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=kx-k$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象大致是（
A
）答案
6. A
解析
【分析】
这是一次函数与反比例函数图象共存的判断类问题，解题采用分类讨论法：先分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别结合两类函数的图象与系数的关系，判断对应图象所在的象限，找到两种函数图象特征完全匹配的选项即可。
【解析】
分两种情况讨论$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的系数$k＞0$，图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＞0$，直线呈上升趋势，与$y$轴交点为$(0,-k)$，因$k＞0$则$-k＜0$，即与$y$轴交于负半轴，因此一次函数图象经过第一、三、四象限。
观察选项，C、D的反比例函数在第一、三象限，但C的一次函数呈下降趋势（斜率为负），D的一次函数与$y$轴交于正半轴，均不符合要求，排除C、D。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的系数$k＜0$，图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＜0$，直线呈下降趋势，与$y$轴交点为$(0,-k)$，因$k＜0$则$-k＞0$，即与$y$轴交于正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、四象限。
观察选项，A的反比例函数在第二、四象限，一次函数呈下降趋势且与$y$轴交于正半轴，符合要求；B的一次函数呈上升趋势（斜率为正），不符合要求，排除B。
综上只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题重点考查函数图象与系数的对应关系，通过分类讨论验证两种函数图象特征是否匹配即可解题，要注意两类函数的系数要求必须同时满足。
【难度系数】
0.7
这是一次函数与反比例函数图象共存的判断类问题，解题采用分类讨论法：先分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别结合两类函数的图象与系数的关系，判断对应图象所在的象限，找到两种函数图象特征完全匹配的选项即可。
【解析】
分两种情况讨论$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的系数$k＞0$，图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＞0$，直线呈上升趋势，与$y$轴交点为$(0,-k)$，因$k＞0$则$-k＜0$，即与$y$轴交于负半轴，因此一次函数图象经过第一、三、四象限。
观察选项，C、D的反比例函数在第一、三象限，但C的一次函数呈下降趋势（斜率为负），D的一次函数与$y$轴交于正半轴，均不符合要求，排除C、D。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的系数$k＜0$，图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＜0$，直线呈下降趋势，与$y$轴交点为$(0,-k)$，因$k＜0$则$-k＞0$，即与$y$轴交于正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、四象限。
观察选项，A的反比例函数在第二、四象限，一次函数呈下降趋势且与$y$轴交于正半轴，符合要求；B的一次函数呈上升趋势（斜率为正），不符合要求，排除B。
综上只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题重点考查函数图象与系数的对应关系，通过分类讨论验证两种函数图象特征是否匹配即可解题，要注意两类函数的系数要求必须同时满足。
【难度系数】
0.7
7.如图,一次函数$y=-x+1$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象交于$A(-1,m),B(n,-1)$两点.
(1)求反比例函数的解析式和$n$的值.
(2)直接写出关于$x$的不等式$-x+1＞\dfrac{k}{x}$的解集.
(1)求反比例函数的解析式和$n$的值.
(2)直接写出关于$x$的不等式$-x+1＞\dfrac{k}{x}$的解集.
答案
7. (1)$y=-\dfrac{2}{x}\quad n=2$
(2)$x＜-1$ 或 $0＜x＜2$
(2)$x＜-1$ 或 $0＜x＜2$
解析
【分析】
(1) 要确定反比例函数解析式，需要先求参数k的值：已知点A是两个函数的交点，先将A点的横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标m，得到A点完整坐标后，代入反比例函数即可求出k，得到反比例解析式；点B同样在一次函数图象上，将B点的纵坐标代入一次函数就能直接求出n的值。
(2) 不等式$-x+1＞\dfrac{k}{x}$的几何意义是同一x取值下，一次函数的图象位置高于反比例函数图象，结合两个交点的坐标，以及反比例函数图象分第二、四象限、x=0无意义的特点，分段判断图象的上下位置，即可得到不等式的解集。
【解析】
(1) ①求反比例函数解析式：
∵ 点$A(-1,m)$在一次函数$y=-x+1$的图象上
∴ 将$x=-1$代入$y=-x+1$，得$m=-(-1)+1=2$，即$A(-1,2)$
又
∵ 点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上
∴ 将$(-1,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{-1}$，解得$k=-2$
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{2}{x}$
②求n的值：
∵ 点$B(n,-1)$在一次函数$y=-x+1$的图象上
∴ 将$y=-1$代入$y=-x+1$，得$-1=-n+1$，解得$n=2$
(2) 两个函数交点为$A(-1,2)$、$B(2,-1)$，结合图象分段判断：
当$x＜-1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
当$-1＜x＜0$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足；
当$0＜x＜2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
当$x＞2$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足。
因此不等式的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{x}}$，$\boldsymbol{n=2}$
(2) $\boldsymbol{x＜-1}$ 或 $\boldsymbol{0＜x＜2}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；一次函数图象性质；函数与不等式的关系
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是利用函数图象上的点满足对应函数解析式求解参数，再通过图象的位置关系求解不等式，体现了数形结合的思想，解题时要注意反比例函数x≠0的限制，避免漏解或错解区间。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定反比例函数解析式，需要先求参数k的值：已知点A是两个函数的交点，先将A点的横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标m，得到A点完整坐标后，代入反比例函数即可求出k，得到反比例解析式；点B同样在一次函数图象上，将B点的纵坐标代入一次函数就能直接求出n的值。
(2) 不等式$-x+1＞\dfrac{k}{x}$的几何意义是同一x取值下，一次函数的图象位置高于反比例函数图象，结合两个交点的坐标，以及反比例函数图象分第二、四象限、x=0无意义的特点，分段判断图象的上下位置，即可得到不等式的解集。
【解析】
(1) ①求反比例函数解析式：
∵ 点$A(-1,m)$在一次函数$y=-x+1$的图象上
∴ 将$x=-1$代入$y=-x+1$，得$m=-(-1)+1=2$，即$A(-1,2)$
又
∵ 点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上
∴ 将$(-1,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{-1}$，解得$k=-2$
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{2}{x}$
②求n的值：
∵ 点$B(n,-1)$在一次函数$y=-x+1$的图象上
∴ 将$y=-1$代入$y=-x+1$，得$-1=-n+1$，解得$n=2$
(2) 两个函数交点为$A(-1,2)$、$B(2,-1)$，结合图象分段判断：
当$x＜-1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
当$-1＜x＜0$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足；
当$0＜x＜2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
当$x＞2$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，不满足。
因此不等式的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{x}}$，$\boldsymbol{n=2}$
(2) $\boldsymbol{x＜-1}$ 或 $\boldsymbol{0＜x＜2}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；一次函数图象性质；函数与不等式的关系
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是利用函数图象上的点满足对应函数解析式求解参数，再通过图象的位置关系求解不等式，体现了数形结合的思想，解题时要注意反比例函数x≠0的限制，避免漏解或错解区间。
【难度系数】
0.7
