【例1】根据等式的性质填空，并说明依据.
(1)若$x+3=4$,则$x=4+\_\_\_\_\_\_$;
______
(2)若$2x=10-3x$,则$2x+\_\_\_\_\_\_=10$;
______
(3)若$0.2x=0$,则$x=\_\_\_\_\_\_$;
______
(4)若$-2x=6$,则$x=\_\_\_\_\_\_$.
______
规律总结 解决此类问题时,应分析对比变形前、后式子的区别,进行加、减变形根据的是等式的性质1,进行乘、除变形根据的是等式的性质2.

(1)$-3$ 根据等式的性质1,等式两边同时加上$-3$(或减去3),结果仍相等；
(2)$3x$ 根据等式的性质1,等式两边同时加上$3x$,结果仍相等；
(3)$0$ 根据等式的性质2,等式两边同时乘5或同时除以0.2,结果仍相等；
(4)$-3$ 根据等式的性质2,等式两边同时乘$-\dfrac{1}{2}$或同时除以$-2$,结果仍相等.

【分析】
解决本题首先要牢记等式的两个基本性质：等式性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时逐题对比变形前后等式左右两边的差异，判断变形类型是加减变形还是乘除变形，对应选择等式性质1或2完成填空，再写出对应的依据即可。
【解析】
(1) 观察等式左边，要从$x+3$得到$x$，需要在左边加上$-3$（或减去3），根据等式的性质1，等式两边同时进行相同的加减操作结果仍相等，因此右边也要加上$-3$，可得横线填$-3$，依据为等式的性质1。
(2) 观察等式右边，要从$10-3x$得到$10$，需要在右边加上$3x$，根据等式的性质1，左边也要同时加上$3x$，此时左边变为$2x+3x$，右边为10，可得横线填$3x$，依据为等式的性质1。
(3) 观察等式左边，要从$0.2x$得到$x$，需要两边同时除以$0.2$（或乘5），根据等式的性质2，右边$0$除以$0.2$仍为$0$，可得$x=0$，依据为等式的性质2。
(4) 观察等式左边，要从$-2x$得到$x$，需要两边同时除以$-2$（或乘$-\frac{1}{2}$），根据等式的性质2，右边$6÷(-2)=-3$，可得$x=-3$，依据为等式的性质2。
【答案】
(1)$-3$ 根据等式的性质1,等式两边同时加上$-3$(或减去3),结果仍相等；
(2)$3x$ 根据等式的性质1,等式两边同时加上$3x$,结果仍相等；
(3)$0$ 根据等式的性质2,等式两边同时乘5或同时除以0.2,结果仍相等；
(4)$-3$ 根据等式的性质2,等式两边同时乘$-\dfrac{1}{2}$或同时除以$-2$,结果仍相等.
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是对比变形前后等式的变化，准确判断变形类型对应选取合适的等式性质，需注意运用等式性质2时，除以的数不能为0。
【难度系数】
0.8

【变式】(2024秋灞桥区期末)下列等式的变形中,错误的是 ()

A.若 $a - 1 = b - 1$，则 $a = b$
B.若 $a = b$，则 $-2a = -2b$
C.若 $x = -y$，则 $x + y = 0$
D.若 $-5x = 4$，则 $x = -\dfrac{5}{4}$

D

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题时需结合等式的两条基本性质，逐一验证四个选项的变形是否符合要求，最终选出变形错误的选项。首先明确等式的基本性质：1. 等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$a - 1 = b - 1$，根据等式性质1，两边同时加1，可得$a - 1 + 1 = b - 1 + 1$，化简得$a = b$，变形正确，不符合题意；
B选项：已知$a = b$，根据等式性质2，两边同时乘$-2$，可得$-2a = -2b$，变形正确，不符合题意；
C选项：已知$x = -y$，根据等式性质1，两边同时加$y$，可得$x + y = -y + y$，化简得$x + y = 0$，变形正确，不符合题意；
D选项：已知$-5x = 4$，根据等式性质2，两边同时除以$-5$（$-5≠0$，满足除法要求），可得$x = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$，选项中给出的$x = -\frac{5}{4}$是错误的，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对等式基本性质的掌握，解题时要注意运用等式性质2做除法变形时，除数不能为0，同时系数化为1时不要混淆分子和分母的位置，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

【例2】利用等式的性质解下列方程：
(1)$3x - 2 = 7$；
(2)$1 - \frac{3}{4}x = 4$。

解:(1)等式两边加上2,得$3x=7+2$,即$3x=9$.等式两边除以3,得$x=3$.
(2)等式两边减去1,得$-\dfrac{3}{4}x=3$.等式两边除以$-\dfrac{3}{4}$,得$x=-4$.

【分析】
我们的解题目标是利用等式的性质将方程逐步转化为$x=a$（$a$为常数）的形式。思路分为两步：第一步使用等式的性质1（等式两边加或减同一个数，等式仍然成立），消去方程左边不含未知数的常数项；第二步使用等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立），将未知数的系数化为1，即可得到方程的解，计算过程中要注意符号变化。
【解析】
(1) 等式两边加上2，得$3x=7+2$，即$3x=9$。等式两边除以3，得$x=3$。
(2) 等式两边减去1，得$-\dfrac{3}{4}x=3$。等式两边除以$-\dfrac{3}{4}$，得$x=-4$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=-4$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题时每一步变形都要符合等式性质的要求，计算时要注意系数为负数时的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

【变式】利用等式的性质解下列方程：
(1)$5x - 3 = 7$；
(2)$\frac{1}{2}x - 2 = 2x + 7$。

解:(1)$5x-3=7$,
两边同时加上3得:$5x=10$,
两边同时除以5得:$x=2$；
(2)$\dfrac{1}{2}x-2=2x+7$,
两边同时加上$(-2x+2)$,得$-\dfrac{3}{2}x=9$,
两边同时除以$-\dfrac{3}{2}$,得$x=-6$.

【分析】
利用等式的性质解方程的核心是对等式两边进行相同的运算，逐步将方程化简为“x=a”的形式。对于方程（1），首先利用等式的性质1，两边同时加3消去左边的常数项-3，得到仅含x项的等式，再利用等式的性质2，两边同时除以x的系数5，即可求出x的值；对于方程（2），先利用等式的性质1，两边同时加上(-2x+2)，将含x的项移到等式左边、常数项移到等式右边，再利用等式的性质2，两边同时除以x的系数$-\dfrac{3}{2}$，即可求出x的值。
【解析】
(1) 解方程$5x - 3 = 7$：
根据等式的性质1，两边同时加上3得：$5x = 10$，
根据等式的性质2，两边同时除以5得：$x = 2$；
(2) 解方程$\dfrac{1}{2}x - 2 = 2x + 7$：
根据等式的性质1，两边同时加上$(-2x+2)$得：$-\dfrac{3}{2}x = 9$，
根据等式的性质2，两边同时除以$-\dfrac{3}{2}$得：$x = -6$。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=-6$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是运用等式性质解方程的基础题型，解题关键是熟练掌握等式的两条性质，注意等式两边必须同时进行相同的运算，运算过程中要注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

1. (2024秋观山湖区期末)根据等式的基本性质，如果$a=b$，则下列变形正确的是（）

A.$a-\dfrac{1}{3}=b+\dfrac{1}{3}$
B.$3a=-3b$
C.$a-1=b-1$
D.$\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{3}$

C

【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，解题思路是先明确等式的两条核心性质：1. 等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一核对每个选项的变形是否符合上述性质，即可选出正确答案。
【解析】
我们结合等式的基本性质逐个判断选项：
选项A：等式左边减$\frac{1}{3}$，右边加$\frac{1}{3}$，两边不是同时加减同一个数，不符合等式性质1，变形错误；
选项B：等式左边乘3，右边乘$-3$，两边乘的数不相同，不符合等式性质2，变形错误；
选项C：等式两边同时减去1，符合等式性质1，变形正确；
选项D：等式左边除以4，右边除以3，两边除以的数不相同，不符合等式性质2，变形错误。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题关键是牢记等式变形时两边必须同时进行相同的操作，避免出现两边加减、乘除的数不一致的错误。
【难度系数】
0.9

2. (2024秋罗定市期末)下列运用等式性质进行的变形,不正确的是 ()

A.如果 $3+x=y+3$,那么 $x=y$
B.如果 $x=y$,那么 $x-3=3-y$
C.如果 $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{3}$,那么 $x=y$
D.如果 $3x=6y$,那么 $x=2y$

B

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一分析每个选项的变形是否符合上述性质，找出不符合的选项即为答案。
【解析】
根据等式的性质逐个判断选项：
A. 对等式$3+x=y+3$，两边同时减去3，可得$3+x-3=y+3-3$，化简得$x=y$，变形正确，不符合题意；
B. 若$x=y$，根据等式性质1，两边同时减3应得到$x-3=y-3$，而非$x-3=3-y$，变形不符合等式性质，错误，符合题意；
C. 对等式$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{3}$，两边同时乘3，可得$\dfrac{x}{3}×3=\dfrac{y}{3}×3$，化简得$x=y$，变形正确，不符合题意；
D. 对等式$3x=6y$，两边同时除以3（3≠0），可得$\dfrac{3x}{3}=\dfrac{6y}{3}$，化简得$x=2y$，变形正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确掌握等式的性质，注意变形时等式两边需同时进行相同的运算，避免出现运算不对称的错误。
【难度系数】
0.8