1. (2024秋永年区期末)在①$2-5$；②$1+7x=-8y+3$；③$x=6$；④$3x=2x-9$；⑤$2x＞7$中，方程共有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确方程的判定标准：方程必须同时满足两个条件，一是属于等式（含有等号），二是含有未知数。解题时只需逐个判断给出的5个式子是否同时满足这两个条件，统计符合条件的式子数量即可得到答案。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，我们逐个分析每个式子：
①$2-5$：没有等号，是普通的减法算式，既不是等式也没有未知数，不属于方程；
②$1+7x=-8y+3$：含有等号是等式，同时含有未知数$x$、$y$，满足方程的条件，属于方程；
③$x=6$：含有等号是等式，含有未知数$x$，满足方程的条件，属于方程；
④$3x=2x-9$：含有等号是等式，含有未知数$x$，满足方程的条件，属于方程；
⑤$2x＞7$：含有不等号，是不等式，不属于等式，因此不属于方程。
综上，是方程的有②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义、等式的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对方程定义的准确掌握，判断时要牢记“含有未知数”和“是等式”两个条件缺一不可，避免将单独的算式、不等式错判为方程，也不要误认为只有含多个未知数的等式才是方程，类似$x=6$的单未知数等式也是方程。
【难度系数】
0.8

2. (2024秋埇桥区期末)下列方程中是一元一次方程的是 ()

A.$x+y=6$
B.$x^2+2x=5$
C.$x+\dfrac{1}{x}=0$
D.$\dfrac{x}{2}-1=x$

D

【分析】
要判断哪个是一元一次方程，首先需明确一元一次方程的三个判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式（即分母中不含未知数）。解题时只需按照这三个标准逐个排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。
对各选项逐一分析：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程；
B选项：未知数x的最高次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
C选项：分母中含有未知数x，属于分式方程，不符合“两边都是整式”的要求，不是一元一次方程；
D选项：只含有未知数x，x的次数为1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的全部定义要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的判定、整式方程的概念
【点评】
本题是一元一次方程相关的基础题型，核心考查对一元一次方程定义的理解和应用，解题时要注意三个判定标准缺一不可，尤其要注意区分整式方程和分式方程，避免误选分母含未知数的选项。
【难度系数】
0.8

3. (2024秋姑苏区校级期末)下列方程的解是
$x=2$的是（）

A.$4x+8=0$
B.$-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}=0$
C.$\dfrac{2}{3}x=2$
D.$1-3x=5$

B

【分析】
要判断哪个方程的解为$x=2$，核心是依据方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题可采用两种方法：一是将$x=2$逐一代入四个选项的方程，计算左边的值对比是否和右边相等，相等的即为正确选项；二是分别求解四个选项的一元一次方程，看哪个的解是$x=2$。其中代入验证法操作简单、计算量小，更适合本题。
【解析】
将$x=2$分别代入各选项的方程验证：
A选项：左边$=4×2+8=16$，右边$=0$，左边$≠$右边，$x=2$不是该方程的解，排除A；
B选项：左边$=-\dfrac{1}{3}×2+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}=0$，右边$=0$，左边$=$右边，$x=2$是该方程的解；
C选项：左边$=\dfrac{2}{3}×2=\dfrac{4}{3}$，右边$=2$，左边$≠$右边，$x=2$不是该方程的解，排除C；
D选项：左边$=1-3×2=-5$，右边$=5$，左边$≠$右边，$x=2$不是该方程的解，排除D。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程验证
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对方程的解的概念的理解与应用，代入验证法是解决这类题的常用技巧，熟练掌握即可快速得分。
【难度系数】
0.9

4. 2023年9月23日杭州第19届亚运会顺利召开，我国取得了历史性突破，共获得383枚奖牌，其中铜牌有71枚，金牌数量是银牌数量的2倍少21枚，设银牌的数量为x枚，则所列方程正确的是（）

A.$2x - 21 = 383 - 71$
B.$2x + 21 = 383 - 71$
C.$2x + 21 + x = 383 - 71$
D.$2x - 21 + x = 383 - 71$

D

【分析】
解题时首先要找准题目中的等量关系：总奖牌数=金牌数+银牌数+铜牌数，先求出金牌和银牌的总数量为总奖牌数减去铜牌数；再根据金牌和银牌的数量关系表示出金牌数，最后根据“金牌数+银牌数=金银牌总数量”列出方程即可。
【解析】
第一步：计算金牌和银牌的总数量
已知总奖牌共383枚，铜牌有71枚，因此金牌和银牌的总数量为 $ 383 - 71 $ 枚。
第二步：表示金牌的数量
设银牌的数量为$ x $枚，题目说明金牌数量是银牌数量的2倍少21枚，因此金牌数量为 $ 2x - 21 $ 枚。
第三步：根据等量关系列方程
金银牌总数量=金牌数量+银牌数量，代入对应量可得：
$ 2x - 21 + x = 383 - 71 $
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
列一元一次方程；和差倍分问题
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题核心是准确梳理各数量之间的关系，找到正确的等量关系式，代入对应量即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

5.检验下列各数是不是方程$5x - 2 = 7 + 2x$的解，并写出检验过程.
(1)$x=2$；
(2)$x=3$.

(1)把 $x=2$ 代入方程,左边$=8$,右边$=11$,左边$≠$右边,即 $x=2$ 不是方程 $5x-2=7+2x$ 的解.
(2)把 $x=3$ 代入方程,左边$=13$,右边$=13$,左边$=$右边,即 $x=3$ 是方程 $5x-2=7+2x$ 的解.

【分析】
检验一个数是否为方程的解，采用代入验证法即可，具体思路分为三步：第一步将给定的未知数的值分别代入方程的左侧和右侧；第二步分别计算左右两侧的结果；第三步对比两侧结果，若结果相等则该数是方程的解，若不相等则不是方程的解，我们按该思路依次检验两个x的取值即可。
【解析】
(1) 检验$x=2$：
将$x=2$分别代入方程$5x - 2 = 7 + 2x$的左右两边：
左边$=5×2-2=10-2=8$，
右边$=7+2×2=7+4=11$，
因为$8≠11$，即左边≠右边，所以$x=2$不是该方程的解。
(2) 检验$x=3$：
将$x=3$分别代入方程$5x - 2 = 7 + 2x$的左右两边：
左边$=5×3-2=15-2=13$，
右边$=7+2×3=7+6=13$，
因为$13=13$，即左边=右边，所以$x=3$是该方程的解。
【答案】
(1)把 $x=2$ 代入方程,左边$=8$,右边$=11$,左边$≠$右边,即 $x=2$ 不是方程 $5x-2=7+2x$ 的解.
(2)把 $x=3$ 代入方程,左边$=13$,右边$=13$,左边$=$右边,即 $x=3$ 是方程 $5x-2=7+2x$ 的解.
【知识点】
方程的解的检验，代入求值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查方程解的验证方法，只要严格按照“代入、计算、比较、判断”的步骤操作，注意计算不出错就能顺利解答。
【难度系数】
0.9

6. 根据条件列出方程：
(1)$x$的5倍比$x$的2倍大12；
(2)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上1；
(3)$x$的20%与15的差的一半等于$－2$.

(1)$5x-2x=12$.
(2)设该数为 $x$,则 $5x-4=6x+1$.
(3)$\dfrac{1}{2}(20\%x-15)=-2$.

【分析】
列方程的核心是先找准题目中的等量关系，再把文字表述的数量转化为对应的代数式，最后根据等量关系列出等式。具体思考路径：(1)先分别表示出x的5倍和x的2倍，根据“前者比后者大12”即两者的差为12列方程；(2)先把未知的某数设为x，分别表示出“它的5倍减4”和“它的6倍加1”，根据两者相等列方程；(3)先表示x的20%，再求它与15的差，最后取差的一半，根据结果等于-2列方程，注意运算顺序要加括号避免出错。
【解析】
(1) 先写出x的5倍的代数式为$5x$，x的2倍的代数式为$2x$；根据“5倍比2倍大12”，即$5x$减去$2x$的结果是12，可列方程。
(2) 先设未知的某数为$x$，再写出该数的5倍减去4的代数式为$5x-4$，该数的6倍加上1的代数式为$6x+1$；根据两个代数式相等，可列方程。
(3) 先写出x的20%的代数式为$20\%x$，它与15的差的代数式为$20\%x-15$；差的一半即给上述差整体乘$\frac{1}{2}$，根据结果等于$-2$，可列方程。
【答案】
(1)$5x-2x=12$.
(2)设该数为 $x$,则 $5x-4=6x+1$.
(3)$\dfrac{1}{2}(20\%x-15)=-2$.
【知识点】
列一元一次方程，文字转代数式，找等量关系
【点评】
本题属于列方程的基础题型，解题关键是准确翻译文字中的数量关系，注意运算的先后顺序，涉及“差的一半”“和的几倍”这类表述时要记得给整体加括号，避免出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.9

7.下表表示字母$x$取某些值时代数式$3-\frac{x-1}{2}$的相应的值.

(1)完成表格；
(2)根据上表，确定方程$3-\frac{x-1}{2}=3$的解.

(1)4.5 4 3 2.5 2
(2)方程 $3-\dfrac{x-1}{2}=3$ 的解是 $x=1$.

【分析】
(1)要完成表格，只需将表格中给出的x的取值逐一代入代数式$3-\frac{x-1}{2}$，按照有理数混合运算的规则计算出结果即可；(2)方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需在表格中找到代数式$3-\frac{x-1}{2}$的值为3时对应的x值，就是所求方程的解。
【解析】
(1)分别将$x=-2、-1、1、2、3$代入代数式计算：
当$x=-2$时，$3-\frac{x-1}{2}=3-\frac{-2-1}{2}=3+\frac{3}{2}=4.5$；
当$x=-1$时，$3-\frac{x-1}{2}=3-\frac{-1-1}{2}=3+1=4$；
当$x=1$时，$3-\frac{x-1}{2}=3-\frac{1-1}{2}=3-0=3$；
当$x=2$时，$3-\frac{x-1}{2}=3-\frac{2-1}{2}=3-\frac{1}{2}=2.5$；
当$x=3$时，$3-\frac{x-1}{2}=3-\frac{3-1}{2}=3-1=2$。
(2)观察表格可知，当$x=1$时，代数式$3-\frac{x-1}{2}$的值为3，此时方程$3-\frac{x-1}{2}=3$左右两边相等，符合方程解的定义。
【答案】
(1)$4.5$，$4$，$3$，$2.5$，$2$
(2)方程 $3-\dfrac{x-1}{2}=3$ 的解是 $x=1$
【知识点】
代数式求值；方程的解
【点评】
本题属于基础题，重点考查代数式代入求值的运算能力和对方程解的概念的理解，计算时注意符号处理，避免因运算失误丢分。
【难度系数】
0.8

8. 一快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地.若快递员开车每分钟行驶1.2 km，就早到10 min；若快递员开车每分钟行驶0.8 km，就要迟到5 min.试求出规定时间及快递员所行驶的总路程.
然然和涵涵列出的方程如下：
然然：$1.2(x-10)=0.8(x+5)$
涵涵：$\frac{x}{1.2}+10=\frac{x}{0.8}-5$
然然所列方程中的$x$表示；
涵涵所列方程中的$x$表示.

然然所列方程中的$x$表示规定时间；涵涵所列方程中的$x$表示快递员所行驶的总路程。

【分析】
要判断两个方程中未知数$x$的意义，需结合行程问题的基本等量关系分析方程的结构：行程问题核心关系为$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$、$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷ \mathrm{速度}$。先看然然的方程，等号两边都是“速度×时间”的形式，等量关系为两种行驶情况的总路程相等，由此可推导$x$的意义；再看涵涵的方程，等号两边都是“行驶时间±差值”的形式，等量关系为两种行驶情况对应的规定时间相等，由此可推导$x$的意义。
【解析】
1. 分析然然所列方程：$1.2(x-10)=0.8(x+5)$
方程左右两侧均为“速度×时间”的形式，代表两种行驶速度下的总路程，等量关系是总路程不变。
已知速度为1.2km/min时早到10min，即实际行驶时间 = 规定时间 - 10min；速度为0.8km/min时迟到5min，即实际行驶时间 = 规定时间 + 5min，因此括号内的$x$表示规定时间。
2. 分析涵涵所列方程：$\frac{x}{1.2}+10=\frac{x}{0.8}-5$
方程左右两侧均为“行驶时间±时间差值”的形式，代表两种行驶速度下对应的规定时间，等量关系是规定时间不变。
$\frac{x}{1.2}$是速度为1.2km/min时的行驶时间，加早到的10min就是规定时间；$\frac{x}{0.8}$是速度为0.8km/min时的行驶时间，减迟到的5min就是规定时间，因此分子$x$表示快递员所行驶的总路程。
【答案】
规定时间；快递员所行驶的总路程
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题基本关系
【点评】
本题通过判断方程中未知数的实际意义，考查对行程问题等量关系的理解，只要明确路程、速度、时间三者的对应关系，结合方程的等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8