3. (2024秋宜州区期末)方程$2x - 6 = 0$的解是（）

A.$x = 3$
B.$x = -3$
C.$x = 4$
D.$x = -4$

A

【分析】
这道题需要求解一元一次方程，可依据等式的性质逐步运算求出x的值，再匹配选项。具体思路：我们的目标是将方程变形为x=a的形式，首先利用等式的性质1消去方程左侧的常数项-6，再利用等式的性质2将x的系数化为1，就能得到方程的解。
【解析】
解：已知方程$2x - 6 = 0$
1. 根据等式的性质1，等式两边同时加6，可得：
$2x - 6 + 6 = 0 + 6$
化简得：$2x = 6$
2. 根据等式的性质2，等式两边同时除以2（2不为0，符合运算要求），可得：
$2x ÷ 2 = 6 ÷ 2$
解得：$x = 3$
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对等式性质的运用和简单一元一次方程的求解能力，计算量小，掌握基本运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9

4. (2024秋高新区期末)下列等式的性质中，与如图的情形具有相同意义的是（）


A.若$a=b$，则$a+c=b+c$
B.若$a=b$，则$ac=bc$
C.若$a=b$，则$a^2=b^2$
D.若$a=b$，则$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c≠0)$

A

【分析】
首先观察天平的状态变化：初始时天平平衡，说明左右托盘内的物体质量相等，对应数学中等式“a=b”的关系；随后左右两个托盘同时加入了1个相同的小正方形，天平仍然保持平衡，说明两边同时加上相同的量后，相等关系不变。对应等式的性质，逐一匹配选项即可得出答案。
【解析】
设左侧长方形质量为a，右侧圆形质量为b，添加的小正方形质量为c：
1. 初始天平平衡，可得$a=b$；
2. 两边同时添加1个相同的小正方形后天平仍平衡，可得$a+c = b+c$，这符合等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子），结果仍相等。
逐一核对选项：
A选项完全符合上述推导；B选项是等式两边同乘同一个数，C是等式两边同时平方，D是等式两边同除以不为0的同一个数，均与题图情形不符。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质1；天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的天平平衡场景考查等式的性质，将抽象的数学性质和直观的生活现象结合，解题的核心是找准天平平衡和等式成立的对应关系，判断出两边发生的变化是“同时加相同的量”即可快速解题。
【难度系数】
0.85

5. (1)由等式$5x=4x+7$得到$5x-$$=7$，依据是；
(2)由等式$-3x=18$得到$x=$，依据是；
(3)在等式$x=y$的两边，得$x-3=y-3$。

5.(1)$4x$ 等式的性质1 (2)$-6$ 等式的性质2 (3)减去3

【分析】
解决本题需要先熟练掌握等式的两条基本性质：①等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐个分析小题：
(1) 要使等式$5x=4x+7$的右侧仅保留7，需消去右侧的$4x$，根据等式的性质1，等式两边同时减去$4x$即可，因此第一空填$4x$，依据是等式的性质1；
(2) 要将$-3x=18$中$x$的系数化为1，根据等式的性质2，等式两边同时除以$-3$，计算得$x=-6$，依据是等式的性质2；
(3) 对比$x=y$和$x-3=y-3$，等式两边同时减去了3，因此填减去3。
【解析】
(1) 对等式$5x=4x+7$，根据等式的性质1，两边同时减去$4x$，可得$5x-4x=7$，故第一空填$4x$，依据为等式的性质1；
(2) 对等式$-3x=18$，根据等式的性质2，两边同时除以$-3$，得$x=18÷(-3)=-6$，故填$-6$，依据为等式的性质2；
(3) 等式$x=y$变形为$x-3=y-3$，是在等式两边同时减去3得到的，故填减去3。
【答案】
(1)$4x$，等式的性质1；(2)$-6$，等式的性质2；(3)减去3
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题属于等式性质的基础考察题，主要考查对等式两个性质的理解与直接应用，解题时需注意区分两个性质的适用场景，运用等式的性质2时要保证除数不为0。
【难度系数】
0.9

6. 下列方程的变形是否正确？如果正确，请写出各步骤的依据.
解方程：$-9x+3=6$.
解：$-9x+3-3=6-3$ ………………①
$-9x=3$ ………………②
$x=-\dfrac{1}{3}$ ………………③

解:①正确,依据:等式的性质1,等式的两边减3,结果仍相等.
②正确,依据:合并同类项.
③正确,依据:等式的性质2,等式两边除以$-9$,结果仍相等.

【分析】
解答本题需要逐步骤分析方程的变形操作，结合所学的等式性质、运算法则判断变形是否正确，再写出对应依据即可：首先看步骤①，操作是等式两边同时减去3，对应等式的性质1；步骤②是将等式两边的常数项分别计算合并，对应合并同类项法则；步骤③是等式两边同时除以-9得到x的值，对应等式的性质2，三步操作均符合规则，变形正确。
【解析】
我们对每一步变形逐一验证：
1. 步骤①：原方程两边同时减去3，根据等式的性质1，等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，因此该步变形正确。
2. 步骤②：对步骤①得到的式子左右两边的同类项进行合并，左边+3和-3抵消，剩余-9x，右边6减3计算得3，该步依据合并同类项法则，变形正确。
3. 步骤③：将-9x=3的两边同时除以-9，得到x=-1/3，根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，因此该步变形正确。
【答案】
①正确,依据:等式的性质1,等式的两边减3,结果仍相等.
②正确,依据:合并同类项.
③正确,依据:等式的性质2,等式两边除以$-9$,结果仍相等.
【知识点】
等式的性质、合并同类项、解方程变形依据
【点评】
本题是考察等式性质应用的基础题型，旨在让学生明确解方程每一步的理论依据，加深对等式性质的理解，只要熟练掌握等式的两个性质和合并同类项法则即可轻松作答。
【难度系数】
0.85

7. 如果等式$ax=b$成立，那么下列等式恒成立的是（）

A.$abx=ab$
B.$x=\frac{b}{a}$
C.$b-ax=a-b$
D.$b+ax=b+b$

D

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题时首先明确已知条件为$ax=b$成立，需注意字母$a$可能为0的特殊情况，不能直接两边除以$a$；判断选项时可通过两种思路：一是直接将$ax=b$代入各选项的左边化简，对比左右两边是否一定相等；二是利用等式的性质对已知等式变形，看能否得到选项中的等式，同时可通过举反例排除错误选项。
【解析】
已知等式$ax = b$成立，逐一分析选项：
选项A：左边$abx = b·(ax) = b· b = b^2$，右边为$ab$，仅当$b^2=ab$时成立，不是恒成立，例如$a=1,b=2,x=2$时，左边$1×2×2=4$，右边$1×2=2$，左右不相等，故A错误；
选项B：当$a=0$时，$\frac{b}{a}$无意义，且若$a=0$则$b=0$，此时$x$可取任意值，并非固定等于$\frac{b}{a}$，故B错误；
选项C：左边$b - ax = b - b = 0$，右边为$a - b$，仅当$a = b$时左右相等，不是恒成立，例如$a=2,b=4,x=2$时，右边$2-4=-2≠0$，故C错误；
选项D：将$ax = b$代入左边，得$b + ax = b + b$，与右边完全相等，也可根据等式性质，在$ax=b$两边同时加$b$，等式仍然成立，故D恒成立。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；含参等式判断
【点评】
本题易错点是忽略$a=0$的特殊情况误选B选项，解题时可通过代入特殊值、代入已知条件化简、等式性质变形三种方法验证等式是否恒成立，要注意恒成立要求对所有符合已知条件的取值都成立，只要存在一个反例就可排除该选项。
【难度系数】
0.7

8.“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它在数学运算、推理中有广泛的应用，如:已知$m+n=-2,mn=-3$,则$m+n-2mn=(-2)-2×(-3)=4$.用上述思想方法计算:已知$3m-4n=-3,mn=-1$,则$6(m-n)-2(n-mn)=\_\_\_\_\_\_.$

$-8$

【分析】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，解题思路如下：首先利用整式的运算法则将所求代数式去括号、合并同类项，再对变形后的式子提取公因式，整理成包含已知条件$3m-4n$和$mn$的形式，最后将已知的数值整体代入计算即可，无需单独求解$m$、$n$的值，能大大简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式进行化简：
$\begin{aligned}&6(m-n)-2(n-mn)\\=&6m-6n-2n+2mn \quad \mathrm{（去括号法则）}\\=&6m-8n+2mn \quad \mathrm{（合并同类项）}\\=&2(3m-4n)+2mn \quad \mathrm{（提取公因式，凑已知整体形式）}\end{aligned}$
将$3m-4n=-3$，$mn=-1$整体代入上式：
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=2×(-3) + 2×(-1)\\=&-6-2\\=&-8\end{aligned}$
【答案】
$-8$
【知识点】
整体代入法，整式化简，代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想的应用，解题的核心是将所求代数式变形为含有已知条件的结构，避免了单独求解未知数的繁琐运算，熟练掌握整式的去括号、合并同类项等运算法则是准确解题的前提。
【难度系数】
0.7

9. 对于任意有理数$a,b,c,d$,规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$,如$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1×4-2×3=-2$.若$\begin{vmatrix} x & -2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix}=-2$,试用等式的性质求$x$的值.

解:由题意,得$-4x-(-2)×3=-2$,
即$-4x+6=-2$,
等式的两边减去6,得$-4x=-8$,
等式的两边除以$-4$,得$x=2$.

【分析】
首先要理解题目给出的二阶行列式的新运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，第一步先把含$x$的行列式按照这个规则转化为关于$x$的一元一次方程；接下来利用等式的性质解方程：先用等式的性质1消去方程左边的常数项，再用等式的性质2将$x$的系数化为1，即可求出$x$的值，计算时要注意符号不要出错。
【解析】
解：根据新定义的运算规则可得：
$-4x - (-2)×3 = -2$
化简得：$-4x + 6 = -2$
等式两边同时减去6，得：$-4x = -8$
等式两边同时除以$-4$，得：$x = 2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
新定义运算，等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查等式性质的应用，解题核心是先根据新定义规则准确列出方程，再严格遵循等式的性质求解，计算时要注意负号的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

10.已知$\frac{1}{2}a + 2b = -5$，$4x - 3y = 1$，利用等式的性质求$2x - 4b - (a + \frac{3}{2}y) -5$的值。

解:原式$=2x-4b-a-\dfrac{3}{2}y-5=(2x-\dfrac{3}{2}y)-(a+4b)-5$,
由$4x-3y=1$,等式的两边同时除以2,
得$2x-\dfrac{3}{2}y=\dfrac{1}{2}$,
由$\dfrac{1}{2}a+2b=-5$,等式的两边同时乘2,
得$a+4b=-10$.
所以原式$=\dfrac{1}{2}-(-10)-5=\dfrac{11}{2}$.

【分析】
首先对要求值的代数式去括号，再分组整理成分别含x、y的项和含a、b的项两部分，观察这两部分和已知两个等式的关联；接下来利用等式的性质对已知的两个等式变形，得到分组后对应两个整体的值；最后把两个整体的值代入化简后的代数式计算，就能得到最终结果。
【解析】
先化简待求式：
原式$=2x-4b-a-\dfrac{3}{2}y-5$
将式子分组，把含$x、y$的项、含$a、b$的项分别合并，得：
$=(2x-\dfrac{3}{2}y)-(a+4b)-5$
1. 求$2x-\dfrac{3}{2}y$的值：已知$4x-3y=1$，根据等式的性质，等式两边同时除以2，得$2x-\dfrac{3}{2}y=\dfrac{1}{2}$
2. 求$a+4b$的值：已知$\dfrac{1}{2}a + 2b = -5$，根据等式的性质，等式两边同时乘2，得$a+4b=-10$
将上述两个结果代入化简后的式子计算：
原式$=\dfrac{1}{2}-(-10)-5=\dfrac{1}{2}+10-5=\dfrac{11}{2}$
【答案】
$\dfrac{11}{2}$
【知识点】
等式的性质；整式的化简；整体代入求值
【点评】
本题不需要单独求解每个未知数的值，核心是通过对代数式的合理变形，建立待求式和已知等式之间的关联，运用整体代入的思想简化计算过程，解题的关键是熟练掌握去括号法则和等式的性质，准确对式子进行变形。
【难度系数】
0.7