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10.已知整式$P=x^2+x$，$Q=x^2 - x +1$，若一个次数不高于二次的整式可以表示为$aP + bQ$（其中$a,b$为常数），则可以进行如下分类：
①若$a≠0,b=0$，则称该整式为$P$类整式；
②若$a≠0,b≠0$，则称该整式为$PQ$类整式。
（1）模仿上面的分类方式，请给出$Q$类整式的定义：若
（2）说明整式$x^2 -3x +2$为“$PQ$类整式”。
（3）请写一个“$PQ$类整式”。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
①若$a≠0,b=0$，则称该整式为$P$类整式；
②若$a≠0,b≠0$，则称该整式为$PQ$类整式。
（1）模仿上面的分类方式，请给出$Q$类整式的定义：若
$a=0,b≠0$
，则称该整式为“$Q$类整式”。（2）说明整式$x^2 -3x +2$为“$PQ$类整式”。
（3）请写一个“$PQ$类整式”。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
10.解:(1)$a=0,b≠0$
(2)因为$-P+2Q=-(x^2 +x)+2(x^2 -x +1)$
$=-x^2 -x +2x^2 -2x +2$
$=x^2 -3x +2$,
所以$x^2 +3x +2=-P+2Q$,
所以$x^2 -3x +2$是“$PQ$类整式”。
(3)$7x^2 -x +4=3(x^2 +x)+4(x^2 -x +1)$,
“$PQ$类整式”可以为$7x^2 -x +4$(答案不唯一)。
(2)因为$-P+2Q=-(x^2 +x)+2(x^2 -x +1)$
$=-x^2 -x +2x^2 -2x +2$
$=x^2 -3x +2$,
所以$x^2 +3x +2=-P+2Q$,
所以$x^2 -3x +2$是“$PQ$类整式”。
(3)$7x^2 -x +4=3(x^2 +x)+4(x^2 -x +1)$,
“$PQ$类整式”可以为$7x^2 -x +4$(答案不唯一)。
解析
【分析】
（1）观察已知的P类、PQ类整式的定义规律：P类整式仅含aP项（$a≠0,b=0$），PQ类整式同时含aP和bQ项（$a≠0,b≠0$），因此Q类整式应仅含bQ项，类比可得对应条件。
（2）要证明整式是PQ类整式，核心是找到不为0的常数a、b，使得该整式等于$aP+bQ$。可先将$aP+bQ$展开合并同类项，再与目标整式的各项系数对应相等，求解a、b后验证均不为0即可。
（3）写PQ类整式只需任选两个不为0的a、b值，代入$aP+bQ$化简计算即可得到符合要求的结果。
【解析】
(1) 类比定义，Q类整式仅由bQ构成，因此条件为$a=0,b≠0$。
(2) 我们可以通过凑配验证：
$-P+2Q=-(x^2 +x)+2(x^2 -x +1)$
$=-x^2 -x +2x^2 -2x +2$
$=x^2 -3x +2$
此时$a=-1≠0$，$b=2≠0$，符合PQ类整式的定义，因此$x^2 -3x +2$是PQ类整式。
(3) 选取$a=3,b=4$代入计算：
$3P+4Q=3(x^2+x)+4(x^2 -x +1)$
$=3x^2+3x+4x^2-4x+4$
$=7x^2 -x +4$
此时$a≠0,b≠0$，因此$7x^2 -x +4$是PQ类整式（答案不唯一）。
【答案】
(1) $a=0,b≠0$
(2) 整式$x^2 -3x +2$为“PQ类整式”，证明见解析；
(3) $7x^2 -x +4$（答案不唯一）
【知识点】
新定义运算，整式的加减，去括号法则
【点评】
本题以整式分类的新定义为载体，考查对新定义的理解能力和整式加减运算的应用能力，解题关键是抓住各类整式的定义特征，通过系数对应或凑配得到符合要求的a、b值，整体难度较低，开放性较强。
【难度系数】
0.8
（1）观察已知的P类、PQ类整式的定义规律：P类整式仅含aP项（$a≠0,b=0$），PQ类整式同时含aP和bQ项（$a≠0,b≠0$），因此Q类整式应仅含bQ项，类比可得对应条件。
（2）要证明整式是PQ类整式，核心是找到不为0的常数a、b，使得该整式等于$aP+bQ$。可先将$aP+bQ$展开合并同类项，再与目标整式的各项系数对应相等，求解a、b后验证均不为0即可。
（3）写PQ类整式只需任选两个不为0的a、b值，代入$aP+bQ$化简计算即可得到符合要求的结果。
【解析】
(1) 类比定义，Q类整式仅由bQ构成，因此条件为$a=0,b≠0$。
(2) 我们可以通过凑配验证：
$-P+2Q=-(x^2 +x)+2(x^2 -x +1)$
$=-x^2 -x +2x^2 -2x +2$
$=x^2 -3x +2$
此时$a=-1≠0$，$b=2≠0$，符合PQ类整式的定义，因此$x^2 -3x +2$是PQ类整式。
(3) 选取$a=3,b=4$代入计算：
$3P+4Q=3(x^2+x)+4(x^2 -x +1)$
$=3x^2+3x+4x^2-4x+4$
$=7x^2 -x +4$
此时$a≠0,b≠0$，因此$7x^2 -x +4$是PQ类整式（答案不唯一）。
【答案】
(1) $a=0,b≠0$
(2) 整式$x^2 -3x +2$为“PQ类整式”，证明见解析；
(3) $7x^2 -x +4$（答案不唯一）
【知识点】
新定义运算，整式的加减，去括号法则
【点评】
本题以整式分类的新定义为载体，考查对新定义的理解能力和整式加减运算的应用能力，解题关键是抓住各类整式的定义特征，通过系数对应或凑配得到符合要求的a、b值，整体难度较低，开放性较强。
【难度系数】
0.8
课前预习
序号
基础知识
1
整式的加减
整式加减的基本思路：一般情况下，几个整式相加减，如果有括号先
2
整式的化简求值
在进行整式的化简求值时，要先
困惑疑问：
序号
基础知识
1
整式的加减
整式加减的基本思路：一般情况下，几个整式相加减，如果有括号先
去括号
，再合并同类项
。2
整式的化简求值
在进行整式的化简求值时，要先化简
，再代数求值
。困惑疑问：
答案
1. 去括号 合并同类项
2. 化简 代数求值
2. 化简 代数求值
解析
【分析】
解决这类基础概念题，我们可以回忆整式加减相关的运算规则：①对于整式的加减运算，括号会阻碍同类项的合并，因此要先处理括号，再合并同类的项；②对于整式化简求值，如果直接代入数值计算，往往会遇到复杂的多步运算，容易出错，因此要先简化整式，再代入数值计算。
【解析】
1. 整式加减运算的基本顺序：几个整式相加减时，若式子中存在括号，首先要进行去括号操作，去除括号后，再将式子中所含的同类项进行合并，即可完成整式加减运算。
2. 整式化简求值的步骤：为了简化计算、降低运算出错率，进行这类题目时首先要对整式进行化简（即通过去括号、合并同类项得到最简整式），再将对应字母的取值代入化简后的式子计算最终结果。
【答案】
1. 去括号 合并同类项
2. 化简 代数求值
【知识点】
整式加减运算法则；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减相关的基础概念题，考查的是最基础的运算步骤，熟练掌握这些基础规则是后续解决复杂整式运算题的前提。
【难度系数】
0.9
解决这类基础概念题，我们可以回忆整式加减相关的运算规则：①对于整式的加减运算，括号会阻碍同类项的合并，因此要先处理括号，再合并同类的项；②对于整式化简求值，如果直接代入数值计算，往往会遇到复杂的多步运算，容易出错，因此要先简化整式，再代入数值计算。
【解析】
1. 整式加减运算的基本顺序：几个整式相加减时，若式子中存在括号，首先要进行去括号操作，去除括号后，再将式子中所含的同类项进行合并，即可完成整式加减运算。
2. 整式化简求值的步骤：为了简化计算、降低运算出错率，进行这类题目时首先要对整式进行化简（即通过去括号、合并同类项得到最简整式），再将对应字母的取值代入化简后的式子计算最终结果。
【答案】
1. 去括号 合并同类项
2. 化简 代数求值
【知识点】
整式加减运算法则；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减相关的基础概念题，考查的是最基础的运算步骤，熟练掌握这些基础规则是后续解决复杂整式运算题的前提。
【难度系数】
0.9
思考 1. 整式加减计算的基本思路是什么？
答案
1. 见“课前预习”。
解析
【分析】
思考这个问题时，我们可以先回忆整式加减涉及的核心运算规则：首先整式加减的算式通常会包含括号，处理括号是运算的第一步；去掉括号后，式子中会存在多个单项式，其中满足所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项可以合并，合并后就能得到最简的整式结果，顺着这个逻辑就能梳理出整式加减的基本思路。
【解析】
整式加减计算的基本思路分为两大核心步骤：
1. 去括号：如果运算式中含有括号，先根据去括号法则去掉所有括号。括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去括号后括号内所有项都要变号；如果括号前有数字系数，要将该系数乘遍括号内的每一项，不能漏乘。
2. 合并同类项：去括号完成后，先找出式子中所有的同类项，再按照合并同类项法则计算：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，直到式子中没有可合并的同类项，得到最简整式即可。
【答案】
整式加减计算的基本思路是先去括号，再合并同类项。
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式加减法则
【点评】
本题考查整式加减的基础运算逻辑，是整式运算的入门核心知识点，熟练掌握该思路是后续开展代数式化简、求值等运算的重要前提。
【难度系数】
0.9
思考这个问题时，我们可以先回忆整式加减涉及的核心运算规则：首先整式加减的算式通常会包含括号，处理括号是运算的第一步；去掉括号后，式子中会存在多个单项式，其中满足所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项可以合并，合并后就能得到最简的整式结果，顺着这个逻辑就能梳理出整式加减的基本思路。
【解析】
整式加减计算的基本思路分为两大核心步骤：
1. 去括号：如果运算式中含有括号，先根据去括号法则去掉所有括号。括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去括号后括号内所有项都要变号；如果括号前有数字系数，要将该系数乘遍括号内的每一项，不能漏乘。
2. 合并同类项：去括号完成后，先找出式子中所有的同类项，再按照合并同类项法则计算：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，直到式子中没有可合并的同类项，得到最简整式即可。
【答案】
整式加减计算的基本思路是先去括号，再合并同类项。
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式加减法则
【点评】
本题考查整式加减的基础运算逻辑，是整式运算的入门核心知识点，熟练掌握该思路是后续开展代数式化简、求值等运算的重要前提。
【难度系数】
0.9
1. 计算:
(1)$2(3a - b)+(5b - 6c)=$
(2)$3ab^2-(5ba^2+ab^2)=$
(3)$-3(7xy + 5y)-2(7y - 2xy)=$
(1)$2(3a - b)+(5b - 6c)=$
$6a+3b-6c$
;(2)$3ab^2-(5ba^2+ab^2)=$
$2ab^2-5a^2b$
;(3)$-3(7xy + 5y)-2(7y - 2xy)=$
$-17xy-29y$
。答案
1.(1)$6a+3b-6c$ (2)$2ab^2-5a^2b$ (3)$-17xy-29y$
解析
【分析】
本题考查整式的加减运算，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的步骤：①去括号：括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去括号后括号内各项均要变号；若括号前有数字系数，需将系数乘到括号内的每一项，不可漏乘。②合并同类项：同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，同类项需满足所含字母相同、相同字母的指数也相同的要求。
【解析】
(1) 先去括号：
$2(3a - b)+(5b - 6c) = 6a - 2b + 5b - 6c$
再合并同类项：
$-2b + 5b = 3b$，可得运算结果。
(2) 先去括号：
$3ab^2-(5ba^2+ab^2) = 3ab^2 - 5a^2b - ab^2$（$ba^2$与$a^2b$是同类项）
再合并同类项：
$3ab^2 - ab^2 = 2ab^2$，可得运算结果。
(3) 先去括号：
$-3(7xy + 5y)-2(7y - 2xy) = -21xy - 15y - 14y + 4xy$
再合并同类项：
$-21xy + 4xy = -17xy$，$-15y - 14y = -29y$，可得运算结果。
【答案】
(1)$6a+3b-6c$ (2)$2ab^2-5a^2b$ (3)$-17xy-29y$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式加减运算
【点评】
本题属于整式加减的基础常规题型，重点考查去括号的符号规则、系数分配以及同类项的识别与合并，易错点是去括号时漏乘系数或符号出错，熟练掌握运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
本题考查整式的加减运算，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的步骤：①去括号：括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去括号后括号内各项均要变号；若括号前有数字系数，需将系数乘到括号内的每一项，不可漏乘。②合并同类项：同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，同类项需满足所含字母相同、相同字母的指数也相同的要求。
【解析】
(1) 先去括号：
$2(3a - b)+(5b - 6c) = 6a - 2b + 5b - 6c$
再合并同类项：
$-2b + 5b = 3b$，可得运算结果。
(2) 先去括号：
$3ab^2-(5ba^2+ab^2) = 3ab^2 - 5a^2b - ab^2$（$ba^2$与$a^2b$是同类项）
再合并同类项：
$3ab^2 - ab^2 = 2ab^2$，可得运算结果。
(3) 先去括号：
$-3(7xy + 5y)-2(7y - 2xy) = -21xy - 15y - 14y + 4xy$
再合并同类项：
$-21xy + 4xy = -17xy$，$-15y - 14y = -29y$，可得运算结果。
【答案】
(1)$6a+3b-6c$ (2)$2ab^2-5a^2b$ (3)$-17xy-29y$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式加减运算
【点评】
本题属于整式加减的基础常规题型，重点考查去括号的符号规则、系数分配以及同类项的识别与合并，易错点是去括号时漏乘系数或符号出错，熟练掌握运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
