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15. 代数式 $ xy $ 表示实际问题中的数量或数量关系，请举一例说明：
略
。答案
解：苹果每千克的售价为x元，购买y千克苹果的总费用为xy元。
（答案不唯一，合理即可）
（答案不唯一，合理即可）
解析
【分析】
本题是开放类试题，核心是给代数式$xy$赋予实际意义，首先要明确$xy$表示$x$和y两个量相乘的关系，我们只需要结合生活中“两个量相乘得到总量”的常见数量关系，把x、y分别对应两个相乘的基础量，就能举出符合要求的例子。
【解析】
我们可以借助“单价×购买数量=总费用”的基础数量关系举例：如果苹果每千克售价为x元，那么购买y千克苹果的总费用就是单价乘数量，即$xy$元。也可以结合其他乘法类数量关系举例，比如长方形长为x、宽为y，面积就是$xy$；汽车行驶速度为x千米/时，行驶y小时的路程就是$xy$，只要逻辑合理均正确。
【答案】
苹果每千克的售价为x元，购买y千克苹果的总费用为xy元（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
代数式的意义，用字母表示数
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对代数式乘法运算的理解，需要结合实际生活中的数量关系作答，灵活度较高，只要符合两个量相乘的逻辑即可得分。
【难度系数】
0.9
本题是开放类试题，核心是给代数式$xy$赋予实际意义，首先要明确$xy$表示$x$和y两个量相乘的关系，我们只需要结合生活中“两个量相乘得到总量”的常见数量关系，把x、y分别对应两个相乘的基础量，就能举出符合要求的例子。
【解析】
我们可以借助“单价×购买数量=总费用”的基础数量关系举例：如果苹果每千克售价为x元，那么购买y千克苹果的总费用就是单价乘数量，即$xy$元。也可以结合其他乘法类数量关系举例，比如长方形长为x、宽为y，面积就是$xy$；汽车行驶速度为x千米/时，行驶y小时的路程就是$xy$，只要逻辑合理均正确。
【答案】
苹果每千克的售价为x元，购买y千克苹果的总费用为xy元（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
代数式的意义，用字母表示数
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对代数式乘法运算的理解，需要结合实际生活中的数量关系作答，灵活度较高，只要符合两个量相乘的逻辑即可得分。
【难度系数】
0.9
16. 观察下列数字：-5,7,-9,11,….
按此规律,第n个数字为
按此规律,第n个数字为
$(-1)^n × (3 + 2n)$
.答案
16.$(-1)^n × (3 + 2n)$
解析
【分析】
解决这类数字规律题，我们可以分两步观察：第一步先看符号规律，本题数字负、正交替出现，第奇数个为负，第偶数个为正，可通过乘方表示符号变化；第二步看数字的绝对值规律，先列出每个位置对应的绝对值，找和序号n的数量关系，最后把符号和绝对值的表达式结合即可得到第n个数字的通式。
【解析】
1. 分析符号规律：
第1个数字符号为负，第2个为正，第3个为负，……，第n个的符号满足：当n为奇数时符号为负，n为偶数时符号为正，因此符号部分可表示为$(-1)^n$（$(-1)^n$当n为奇数时结果为-1，n为偶数时结果为1，刚好符合符号交替的要求）。
2. 分析绝对值规律：
第1个数字的绝对值是$5=2×1+3$，
第2个数字的绝对值是$7=2×2+3$，
第3个数字的绝对值是$9=2×3+3$，
第4个数字的绝对值是$11=2×4+3$，
……
因此第n个数字的绝对值可表示为$3+2n$。
3. 合并符号和绝对值：
第n个数字就是符号部分乘绝对值部分，即$(-1)^n × (3 + 2n)$。
【答案】
$(-1)^n × (3 + 2n)$
【知识点】
数字规律探究，乘方的符号性质，列代数式
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题的关键是拆分观察：分别确定符号的变化规律和绝对值部分的变化规律，再将两部分组合得到最终的通式，解题时注意不要混淆符号的交替规律即可。
【难度系数】
0.7
解决这类数字规律题，我们可以分两步观察：第一步先看符号规律，本题数字负、正交替出现，第奇数个为负，第偶数个为正，可通过乘方表示符号变化；第二步看数字的绝对值规律，先列出每个位置对应的绝对值，找和序号n的数量关系，最后把符号和绝对值的表达式结合即可得到第n个数字的通式。
【解析】
1. 分析符号规律：
第1个数字符号为负，第2个为正，第3个为负，……，第n个的符号满足：当n为奇数时符号为负，n为偶数时符号为正，因此符号部分可表示为$(-1)^n$（$(-1)^n$当n为奇数时结果为-1，n为偶数时结果为1，刚好符合符号交替的要求）。
2. 分析绝对值规律：
第1个数字的绝对值是$5=2×1+3$，
第2个数字的绝对值是$7=2×2+3$，
第3个数字的绝对值是$9=2×3+3$，
第4个数字的绝对值是$11=2×4+3$，
……
因此第n个数字的绝对值可表示为$3+2n$。
3. 合并符号和绝对值：
第n个数字就是符号部分乘绝对值部分，即$(-1)^n × (3 + 2n)$。
【答案】
$(-1)^n × (3 + 2n)$
【知识点】
数字规律探究，乘方的符号性质，列代数式
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题的关键是拆分观察：分别确定符号的变化规律和绝对值部分的变化规律，再将两部分组合得到最终的通式，解题时注意不要混淆符号的交替规律即可。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共36分)
17. (12分)求下列代数式的值：
(1)$(x - 1)^2 - 2x$，其中$x = 3$；
(2)$\frac{(a - b)^2}{a^2 - b^2} + 2ab$，其中$a = -6, b = 2$。
17. (12分)求下列代数式的值：
(1)$(x - 1)^2 - 2x$，其中$x = 3$；
(2)$\frac{(a - b)^2}{a^2 - b^2} + 2ab$，其中$a = -6, b = 2$。
答案
17.(1) - 2 (2) - 22
解析
【分析】
本题考查代数式化简求值，解题核心思路是先化简代数式再代入数值计算，减少计算量、降低出错率：
(1) 先利用完全平方公式将原式展开，合并同类项得到最简整式，再将$x=3$代入最简式计算即可；
(2) 先利用平方差公式将分母因式分解，对分式部分约分得到最简形式，再将$a=-6$、$b=2$代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}(x-1)^2 - 2x&=x^2 - 2x + 1 - 2x\\&=x^2 - 4x + 1\end{aligned}$
将$x=3$代入化简后的式子：
原式$=3^2 - 4×3 +1=9 -12 +1=-2$
(2) 先化简原式，由平方差公式得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
$\begin{aligned}\frac{(a-b)^2}{a^2 - b^2} + 2ab&=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} + 2ab\\&=\frac{a-b}{a+b} + 2ab \quad (a≠ b)\end{aligned}$
将$a=-6$，$b=2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{-6 - 2}{-6 + 2} + 2×(-6)×2=\frac{-8}{-4} + (-24)=2 -24=-22$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-22}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、代数式化简求值
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查代数式求值的常用技巧：先化简再代入计算，既可以简化计算步骤，也能减少直接代入大数运算的出错概率，需熟练掌握基础乘法公式的应用。
【难度系数】
0.8
本题考查代数式化简求值，解题核心思路是先化简代数式再代入数值计算，减少计算量、降低出错率：
(1) 先利用完全平方公式将原式展开，合并同类项得到最简整式，再将$x=3$代入最简式计算即可；
(2) 先利用平方差公式将分母因式分解，对分式部分约分得到最简形式，再将$a=-6$、$b=2$代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}(x-1)^2 - 2x&=x^2 - 2x + 1 - 2x\\&=x^2 - 4x + 1\end{aligned}$
将$x=3$代入化简后的式子：
原式$=3^2 - 4×3 +1=9 -12 +1=-2$
(2) 先化简原式，由平方差公式得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
$\begin{aligned}\frac{(a-b)^2}{a^2 - b^2} + 2ab&=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} + 2ab\\&=\frac{a-b}{a+b} + 2ab \quad (a≠ b)\end{aligned}$
将$a=-6$，$b=2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{-6 - 2}{-6 + 2} + 2×(-6)×2=\frac{-8}{-4} + (-24)=2 -24=-22$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-22}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、代数式化简求值
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查代数式求值的常用技巧：先化简再代入计算，既可以简化计算步骤，也能减少直接代入大数运算的出错概率，需熟练掌握基础乘法公式的应用。
【难度系数】
0.8
18.（8分）小王给汽车加了50 L汽油，如果耗油50 L，汽车行驶的路程为s（单位：km），平均耗油量为b（单位：L/km）。
请回答下列问题：
（1）行驶的路程s是怎样随着耗油量b的变化而变化的？
（2）s与b成什么比例关系？
请回答下列问题：
（1）行驶的路程s是怎样随着耗油量b的变化而变化的？
（2）s与b成什么比例关系？
答案
18.(1)$s$随$b$的增大而减小. (2)反比例关系.
解析
【分析】
首先根据题意明确总耗油量、平均耗油量、行驶路程三者的数量关系：总耗油量=平均耗油量×行驶路程，已知总耗油量为50L，由此可以推导出s和b的关系式。再结合关系式分析s随b的变化规律，最后根据反比例关系的定义判断二者的比例类型。
【解析】
解：根据题意可得，总耗油量为50L，因此存在等量关系：$b × s = 50$，变形可得$s=\frac{50}{b}$（$b＞0$）。
(1) 由于$b$是正数，当$b$增大时，$\frac{50}{b}$的值会减小，因此$s$随$b$的增大而减小。
(2) 观察$s$和$b$的关系，二者的乘积为定值50，符合反比例关系的定义，因此$s$与$b$成反比例关系。
【答案】
(1)$s$随$b$的增大而减小. (2)反比例关系.
【知识点】
反比例关系判定，变量变化规律，实际问题数量关系
【点评】
本题侧重考查对变量变化规律和比例关系的理解，需要先结合生活场景梳理出变量间的等量关系，再对照正反比例的定义判断即可，解题时要注意区分反比例（乘积一定）和正比例（比值一定）的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
首先根据题意明确总耗油量、平均耗油量、行驶路程三者的数量关系：总耗油量=平均耗油量×行驶路程，已知总耗油量为50L，由此可以推导出s和b的关系式。再结合关系式分析s随b的变化规律，最后根据反比例关系的定义判断二者的比例类型。
【解析】
解：根据题意可得，总耗油量为50L，因此存在等量关系：$b × s = 50$，变形可得$s=\frac{50}{b}$（$b＞0$）。
(1) 由于$b$是正数，当$b$增大时，$\frac{50}{b}$的值会减小，因此$s$随$b$的增大而减小。
(2) 观察$s$和$b$的关系，二者的乘积为定值50，符合反比例关系的定义，因此$s$与$b$成反比例关系。
【答案】
(1)$s$随$b$的增大而减小. (2)反比例关系.
【知识点】
反比例关系判定，变量变化规律，实际问题数量关系
【点评】
本题侧重考查对变量变化规律和比例关系的理解，需要先结合生活场景梳理出变量间的等量关系，再对照正反比例的定义判断即可，解题时要注意区分反比例（乘积一定）和正比例（比值一定）的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
19.（8分）七年级一班的3位老师决定带领本班的m名学生利用假期去某地旅游.甲旅行社的收费标准为教师全价,学生七折优惠;乙旅行社教师与学生一律八折优惠.这两家旅行社的全价都是600元.
（1）用代数式表示甲、乙两家旅行社所需费用各多少元.
（2）当m = 50时,请计算哪家旅行社花费少.
（1）用代数式表示甲、乙两家旅行社所需费用各多少元.
（2）当m = 50时,请计算哪家旅行社花费少.
答案
19.(1)甲、乙旅行社所需费用分别为$(420m + 1\ 800)$元和$480(m + 3)$元. (2)甲旅行社花费少.
解析
【分析】
（1）计算两家旅行社的费用时，先分别梳理两家的收费规则：甲旅行社的费用由教师总费用和学生总费用两部分组成，教师按全价收费，先算出3位教师的总费用，再算出打七折后每名学生的费用，乘学生人数m得到学生总费用，两者相加就是甲的总费用；乙旅行社所有人员统一打八折，先算总人数（3位教师加m名学生），再算出打八折后每人的费用，乘总人数就能得到乙的总费用。（2）要判断哪家花费少，只需把m=50分别代入第（1）问得到的两个代数式，算出具体费用后比较大小即可。
【解析】
（1）计算甲旅行社费用：
3位教师的总费用：$3×600=1800$（元）
打七折后每名学生的费用：$600×0.7=420$（元）
m名学生的总费用：$420m$（元）
因此甲旅行社总费用：$(420m + 1800)$元
计算乙旅行社费用：
总人数：$(m+3)$人
打八折后每人的费用：$600×0.8=480$（元）
因此乙旅行社总费用：$480(m+3)$元
（2）当$m=50$时：
甲旅行社费用：$420×50 + 1800 = 21000 + 1800 = 22800$（元）
乙旅行社费用：$480×(50+3) = 480×53 = 25440$（元）
因为$22800 ＜ 25440$，所以甲旅行社花费更少。
【答案】
(1)甲旅行社所需费用为$(420m + 1800)$元，乙旅行社所需费用为$480(m + 3)$元；(2)甲旅行社花费少。
【知识点】
列代数式；代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题是生活中的方案选择类应用题，解题核心是准确理解不同收费方案的计算逻辑，正确列出对应代数式，再代入数值计算比较即可，侧重考查基础的列式能力和计算能力。
【难度系数】
0.8
（1）计算两家旅行社的费用时，先分别梳理两家的收费规则：甲旅行社的费用由教师总费用和学生总费用两部分组成，教师按全价收费，先算出3位教师的总费用，再算出打七折后每名学生的费用，乘学生人数m得到学生总费用，两者相加就是甲的总费用；乙旅行社所有人员统一打八折，先算总人数（3位教师加m名学生），再算出打八折后每人的费用，乘总人数就能得到乙的总费用。（2）要判断哪家花费少，只需把m=50分别代入第（1）问得到的两个代数式，算出具体费用后比较大小即可。
【解析】
（1）计算甲旅行社费用：
3位教师的总费用：$3×600=1800$（元）
打七折后每名学生的费用：$600×0.7=420$（元）
m名学生的总费用：$420m$（元）
因此甲旅行社总费用：$(420m + 1800)$元
计算乙旅行社费用：
总人数：$(m+3)$人
打八折后每人的费用：$600×0.8=480$（元）
因此乙旅行社总费用：$480(m+3)$元
（2）当$m=50$时：
甲旅行社费用：$420×50 + 1800 = 21000 + 1800 = 22800$（元）
乙旅行社费用：$480×(50+3) = 480×53 = 25440$（元）
因为$22800 ＜ 25440$，所以甲旅行社花费更少。
【答案】
(1)甲旅行社所需费用为$(420m + 1800)$元，乙旅行社所需费用为$480(m + 3)$元；(2)甲旅行社花费少。
【知识点】
列代数式；代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题是生活中的方案选择类应用题，解题核心是准确理解不同收费方案的计算逻辑，正确列出对应代数式，再代入数值计算比较即可，侧重考查基础的列式能力和计算能力。
【难度系数】
0.8
20.(8分)长方形窗户上的装饰物如图所示,它是由半径均为b的两个四分之一圆组成.
(1)用代数式表示能射进阳光部分的面积S;
(2)如果a=2 m,b=0.8 m,求S的值(π取3.14,结果保留两位小数).
(1)用代数式表示能射进阳光部分的面积S;
(2)如果a=2 m,b=0.8 m,求S的值(π取3.14,结果保留两位小数).
答案
20.(1)$2ab - \dfrac{1}{2}π b^2$ (2)$2.20\ \mathrm{m^2}$
解析
【分析】
要计算能射进阳光部分的面积，可采用“总面积减去遮挡部分面积”的思路：首先明确窗户是长方形，先算出长方形的总面积；再分析装饰物的构成，两个半径为b的四分之一圆可拼成一个半圆，算出装饰物的面积；最后用长方形面积减去装饰物面积，即可得到阳光部分的面积。第二问只需把已知数值代入第一问得到的代数式，按运算规则计算，最后按要求保留小数位数即可。
【解析】
(1) 首先计算整个长方形窗户的面积：
长方形的长为$2b$，高为$a$，面积$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = 2b × a = 2ab$。
再计算装饰物的面积：
装饰物由2个半径为$b$的四分之一圆组成，2个四分之一圆的面积和等于$\frac{1}{2}$个圆的面积，因此$S_{\mathrm{装饰物}} = 2 × \frac{1}{4}π b^2 = \frac{1}{2}π b^2$。
能射进阳光部分的面积为长方形面积减去装饰物面积，即：
$S = S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{装饰物}} = 2ab - \frac{1}{2}π b^2$。
(2) 把$a=2\ \mathrm{m}$，$b=0.8\ \mathrm{m}$，$π=3.14$代入$S=2ab - \frac{1}{2}π b^2$得：
$\begin{aligned}S&=2×2×0.8 - \frac{1}{2}×3.14×0.8^2\\&=3.2 - 0.5×3.14×0.64\\&=3.2 - 1.0048\\&=2.1952\\&\approx2.20\ (\mathrm{m^2})\end{aligned}$
【答案】
(1)$S=2ab - \dfrac{1}{2}π b^2$；(2)$2.20\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
列代数式，代数式求值，圆的面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的基础题，解题的核心是将不规则的装饰物面积转化为规则的半圆面积计算，再结合长方形面积公式求解，计算时要注意运算的准确性和结果保留位数的要求。
【难度系数】
0.8
要计算能射进阳光部分的面积，可采用“总面积减去遮挡部分面积”的思路：首先明确窗户是长方形，先算出长方形的总面积；再分析装饰物的构成，两个半径为b的四分之一圆可拼成一个半圆，算出装饰物的面积；最后用长方形面积减去装饰物面积，即可得到阳光部分的面积。第二问只需把已知数值代入第一问得到的代数式，按运算规则计算，最后按要求保留小数位数即可。
【解析】
(1) 首先计算整个长方形窗户的面积：
长方形的长为$2b$，高为$a$，面积$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = 2b × a = 2ab$。
再计算装饰物的面积：
装饰物由2个半径为$b$的四分之一圆组成，2个四分之一圆的面积和等于$\frac{1}{2}$个圆的面积，因此$S_{\mathrm{装饰物}} = 2 × \frac{1}{4}π b^2 = \frac{1}{2}π b^2$。
能射进阳光部分的面积为长方形面积减去装饰物面积，即：
$S = S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{装饰物}} = 2ab - \frac{1}{2}π b^2$。
(2) 把$a=2\ \mathrm{m}$，$b=0.8\ \mathrm{m}$，$π=3.14$代入$S=2ab - \frac{1}{2}π b^2$得：
$\begin{aligned}S&=2×2×0.8 - \frac{1}{2}×3.14×0.8^2\\&=3.2 - 0.5×3.14×0.64\\&=3.2 - 1.0048\\&=2.1952\\&\approx2.20\ (\mathrm{m^2})\end{aligned}$
【答案】
(1)$S=2ab - \dfrac{1}{2}π b^2$；(2)$2.20\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
列代数式，代数式求值，圆的面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的基础题，解题的核心是将不规则的装饰物面积转化为规则的半圆面积计算，再结合长方形面积公式求解，计算时要注意运算的准确性和结果保留位数的要求。
【难度系数】
0.8
