1. 在方程组$\begin{cases}2x - 3y = 1, \\2x + 5y = -2\end{cases}$中，$x$的系数的特点是________，所以可以直接将两个方程相________，消去未知数________，进而求出方程组的解；在方程组$\begin{cases}5x + 4y = 8, \\7x - 4y = 6\end{cases}$中，$y$的系数的特点是________，所以可以直接将两个方程相________，消去未知数________，进而求出方程组的解，这两个解方程组的方法是________消元法。

相同 减 $x$ 互为相反数 加 $y$ 加减

【分析】
要解决这道题，首先回忆加减消元法的核心规则：解二元一次方程组时，若两个方程中同一个未知数的系数相同，将两个方程相减即可消去该未知数；若同一个未知数的系数互为相反数，将两个方程相加即可消去该未知数，这种消元方法叫加减消元法。我们分别观察两个方程组中指定未知数的系数特点，对应规则填空即可。
【解析】
首先分析第一个方程组$\begin{cases}2x - 3y = 1, \\2x + 5y = -2\end{cases}$：
两个方程中$x$的系数都是2，特点为相同，将两个方程相减时，$2x-2x=0$，可直接消去未知数$x$。
再分析第二个方程组$\begin{cases}5x + 4y = 8, \\7x - 4y = 6\end{cases}$：
两个方程中$y$的系数分别是$+4$和$-4$，特点为互为相反数，将两个方程相加时，$4y+(-4y)=0$，可直接消去未知数$y$。
上述通过两式相加或相减消去未知数的解方程组方法就是加减消元法。
【答案】
相同 减 $x$ 互为相反数 加 $y$ 加减
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组求解
【点评】
本题考查加减消元法的基础原理，属于基础概念题，熟练掌握加减消元法中系数特征对应的消元操作是解题的关键。
【难度系数】
0.9

2.用加减消元法解方程组$\begin{cases} x+y=-3, ① \\ 3x+y=6, ② \end{cases}$
由②－①消去未知数$y$，所得到的一元一次方程是 （）

A.$2x=9$
B.$2x=3$
C.$4x=9$
D.$4x=3$

A

【分析】
本题考查加减消元法的基本运用，解题思路如下：首先明确加减消元的运算规则：两个方程相减时，需用方程的左边减左边、右边减右边，消去系数相同的未知数。本题中两个方程y的系数均为1，用②-①可直接消去y，计算时注意去括号的符号规则，避免常数项运算出错。
【解析】
按照加减消元法的操作要求，将方程②减去方程①：
左边相减：$(3x+y)-(x+y)=3x+y-x-y=2x$
右边相减：$6-(-3)=6+3=9$
联立可得消去y后的一元一次方程为$2x=9$。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法，整式的加减运算
【点评】
本题是加减消元法的基础考查题，核心是掌握加减消元的运算规则，计算时需注意负号的处理，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8

3. 用加减消元法解方程组：
(1)(2024·乐山)$\begin{cases}x+y=4,①\\2x-y=5.②\end{cases}$
(2)(2024·苏州)$\begin{cases}2x+y=7,①\\2x-3y=3.②\end{cases}$

(1)①+②,得3x=9.解得x=3.将x=3代入②,得y=1.$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=3,\\y=1. \end{cases}$
(2)①−②,得4y=4.解得y=1.将y=1代入①,得x=3.$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=3,\\y=1. \end{cases}$

【分析】
使用加减消元法解二元一次方程组的核心是消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解：
1. 第(1)题观察两个方程，y的系数分别为1和-1，互为相反数，因此将两个方程相加即可消去y，得到只含x的一元一次方程，求解x后代入原方程即可求出y的值；
2. 第(2)题观察两个方程，x的系数均为2，大小相等，因此用①式减去②式即可消去x，得到只含y的一元一次方程，求解y后代入原方程即可求出x的值。
【解析】
(1) ①+②，得$3x=9$，解得$x=3$。
将$x=3$代入②，得$2×3 - y=5$，解得$y=1$。
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=3,\\y=1. \end{cases}$
(2) ①−②，得$4y=4$，解得$y=1$。
将$y=1$代入①，得$2x + 1=7$，解得$x=3$。
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=3,\\y=1. \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=3,\\y=1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=3,\\y=1. \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，一元一次方程解法
【点评】
本题是加减消元法的基础应用题型，核心考查对未知数系数特征的判断能力，当同一未知数系数互为相反数时相加消元、系数相等时相减消元，掌握该消元逻辑是解二元一次方程组的重要基础。
【难度系数】
0.9

4. 用加减消元法解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 3, ①\\4x + y = 15 ②\end{cases}$时，消去y最简便的方法是（ ）

A.①×4−②×3
B.①×4+②×3
C.②×2−①
D.②×2+①

D

【分析】
本题目标是用加减消元法消去y，核心思路是让两个方程中y的系数绝对值相等：若系数互为相反数则两式相加，若系数相等则两式相减。首先观察两个方程y的系数：方程①中y的系数是-2，方程②中y的系数是1，要让y的系数绝对值相等，只需将方程②乘2，此时②中y的系数变为2，和①中y的系数-2互为相反数，将两式相加即可直接消去y，再逐一排除错误选项即可。
【解析】
要消去y，需使两个方程中y的系数绝对值相等：
1. 观察y的系数：①中y的系数为-2，②中y的系数为1，因此将②×2，得：$\boxed{8x + 2y = 30}$ ③，此时③中y的系数为2，与①中y的系数-2互为相反数；
2. 将①+③，可得：$(3x - 2y) + (8x + 2y) = 3 + 30$，合并同类项后y项直接抵消，得到$11x=33$，成功消去y。
上述操作等价于$\boldsymbol{②×2+①}$，对应选项D。
其他选项验证：A、B的操作是消去x的方法，不符合消去y的要求；C选项②×2−①得到的方程仍含y项，无法消去y，均错误。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查加减消元法的消元技巧，消元时优先选择系数绝对值更小的未知数，将其系数化为绝对值相等的数，可使计算更简便。
【难度系数】
0.8

5. 用加减消元法解方程组：
(1)$\begin{cases} x+y=16, ① \\ 5x+3y=72. ② \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 3x+2y=8, ① \\ 4x-5y=3. ② \end{cases}$

(1)②−①×3,得2x=24.解得x=12.将x=12代入①,得12+y=16.解得y=4.$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=12,\\y=4. \end{cases}$
(2)①×5+②×2,得23x=46.解得x=2.将x=2代入①,得6+2y=8.解得y=1.$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\y=1. \end{cases}$

【分析】
加减消元法的核心是通过对两个方程进行适当变形，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程相减或相加，消去该未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。
对于(1)，观察到两个方程中y的系数为1和3，可将方程①乘3，让两个方程y的系数均为3，再用方程②减去变形后的方程，即可消去y，先求x的值，再代入原方程求y的值。
对于(2)，观察到两个方程中y的系数为2和-5，2和5的最小公倍数为10，可将方程①乘5、方程②乘2，让y的系数变为10和-10（互为相反数），再将两个变形后的方程相加，即可消去y，先求x的值，再代入原方程求y的值。
【解析】
(1) 给方程①两边同时乘3，得$3x+3y=48$ ③
用方程②减去③，得：
$\begin{aligned}5x+3y-(3x+3y)&=72-48\\2x&=24\end{aligned}$
解得$x=12$。
将$x=12$代入方程①，得$12+y=16$，解得$y=4$。
(2) 给方程①两边同时乘5，得$15x+10y=40$ ③
给方程②两边同时乘2，得$8x-10y=6$ ④
将③和④相加，得：
$\begin{aligned}15x+10y+8x-10y&=40+6\\23x&=46\end{aligned}$
解得$x=2$。
将$x=2$代入方程①，得$3×2+2y=8$，即$6+2y=8$，解得$y=1$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=12\\y=4 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=2\\y=1 \end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是加减消元法的基础应用题型，解题关键是观察未知数的系数特点，选择合适的变形方式消元，将二元方程转化为一元一次方程求解，是二元一次方程组求解的常规基础题。
【难度系数】
0.8

6. 在解二元一次方程组$\begin{cases}x-2y=2,① \\4x-2y=5 ②\end{cases}$时，下列方法中无法消元的是（ ）

A.①−②
B.由①变形得$x=2+2y$③，将③代入②
C.①×4+②
D.由②变形得$2y=4x-5$③，将③代入①

C

【分析】
本题核心是判断各选项的操作能否实现消元（即消去两个未知数中的一个，将二元方程转化为一元方程），消元方法分为代入消元法和加减消元法两类。解题时只需逐一验证每个选项的操作是否能消去$x$或$y$，即可选出无法消元的选项。
【解析】
消元的目的是消去一个未知数，使方程仅剩一个未知数，据此逐一分析选项：
A. ①−②：$(x-2y)-(4x-2y)=2-5$，化简得$-3x=-3$，消去了$y$，可实现消元，不符合题意；
B. 将$x=2+2y$代入②：$4(2+2y)-2y=5$，化简后仅含$y$一个未知数，消去了$x$，可实现消元，不符合题意；
C. ①×4得$4x-8y=8$，再加②：$(4x-8y)+(4x-2y)=8+5$，化简得$8x-10y=13$，仍含两个未知数，无法消元，符合题意；
D. 将$2y=4x-5$代入①：$x-(4x-5)=2$，化简后仅含$x$一个未知数，消去了$y$，可实现消元，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组消元；加减消元法；代入消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组消元方法的基本应用，只要掌握加减消元、代入消元的原理，逐一验证选项即可求解，是对消元基础概念的考查。
【难度系数】
0.8

7.在解关于x，y的方程组$\begin{cases}(m+1)x - ny = 8, ① \\ nx + my = 11 ②\end{cases}$时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则$m-n=$（ ）

A.4
B.$-\dfrac{8}{3}$
C.$-\dfrac{6}{7}$
D.$\dfrac{8}{7}$

D

【分析】
本题考查加减消元法的应用，解题思路如下：首先明确加减消元法消去某个未知数的核心原理：两个方程变形相加后，该未知数的系数和为0。根据题目给出的两个消元条件，分别列出关于m、n的方程，组成二元一次方程组，求解得到m、n的值后，代入计算m-n即可。
【解析】
根据题意：
1. 用①×2+②消去未知数x，说明变形后x的系数之和为0：
$2(m+1) + n = 0$ ③
2. 用①+②×5消去未知数y，说明变形后y的系数之和为0：
$-n + 5m = 0$ ④
联立③④得到方程组：
$\begin{cases}2(m+1) + n = 0 \\5m - n = 0\end{cases}$
由④得：$n=5m$，将其代入③：
$2(m+1) + 5m = 0$
展开得：$2m + 2 + 5m = 0$
合并同类项得：$7m = -2$
解得：$m=-\dfrac{2}{7}$
将$m=-\dfrac{2}{7}$代入$n=5m$，得：
$n=5×(-\dfrac{2}{7})=-\dfrac{10}{7}$
则$m-n=-\dfrac{2}{7} - (-\dfrac{10}{7})=\dfrac{8}{7}$
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组求解
【点评】
本题重点考查加减消元法的核心原理，解题关键是根据消元要求得到对应未知数的系数和为0，进而列方程求解参数，熟练掌握消元规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7