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【例3】如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB＝130°.
(1)求∠COE的度数.
(2)如果∠COD＝20°，求∠BOE的度数.
解：
【规律方法】
求角的度数时常用到的两种思想方法
(1)数形结合思想：借助图形寻找角与角之间的和差关系.
(2)方程思想：先找出能够沟通题目中所有数量关系的关键量，将其设为未知数，再用未知数表示所涉及的量，列出方程，求出未知量.
(1)求∠COE的度数.
(2)如果∠COD＝20°，求∠BOE的度数.
解：
【规律方法】
求角的度数时常用到的两种思想方法
(1)数形结合思想：借助图形寻找角与角之间的和差关系.
(2)方程思想：先找出能够沟通题目中所有数量关系的关键量，将其设为未知数，再用未知数表示所涉及的量，列出方程，求出未知量.
答案
解:(1)$∠COE=65°$.
(2)$∠BOE=45°$.
(2)$∠BOE=45°$.
解析
【分析】
解题时先结合角平分线的定义分析角的倍分关系，再通过角的和差转化求解：
(1) 首先观察图形，∠COE可拆为∠COD与∠DOE的和，根据OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，可得∠COD是∠AOD的一半，∠DOE是∠BOD的一半，两者相加后恰好是∠AOB的一半，代入∠AOB的度数即可求解。
(2) 利用第一问求出的∠COE的度数，减去已知的∠COD的度数，先得到∠DOE的度数，再根据OE是∠BOD的平分线，可得∠BOE与∠DOE相等，即可求出∠BOE的度数。
【解析】
(1)
∵ OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线
∴ $∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOD$，$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD$
∴ $∠ COE=∠ COD+∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOD+\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOD+∠ BOD)$
又
∵ $∠ AOD+∠ BOD=∠ AOB=130°$
∴ $∠ COE=\frac{1}{2}×130°=65°$
(2) 由(1)可知$∠ COE=65°$，已知$∠ COD=20°$
∴ $∠ DOE=∠ COE-∠ COD=65°-20°=45°$
∵ OE是∠BOD的平分线
∴ $∠ BOE=∠ DOE=45°$
【答案】
(1) $∠ COE=65°$
(2) $∠ BOE=45°$
【知识点】
角平分线的定义、角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题核心是灵活运用角平分线的性质，结合图形拆解角的和差关系，将未知角转化为已知角的倍分关系进行计算，是角的计算部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先结合角平分线的定义分析角的倍分关系，再通过角的和差转化求解：
(1) 首先观察图形，∠COE可拆为∠COD与∠DOE的和，根据OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，可得∠COD是∠AOD的一半，∠DOE是∠BOD的一半，两者相加后恰好是∠AOB的一半，代入∠AOB的度数即可求解。
(2) 利用第一问求出的∠COE的度数，减去已知的∠COD的度数，先得到∠DOE的度数，再根据OE是∠BOD的平分线，可得∠BOE与∠DOE相等，即可求出∠BOE的度数。
【解析】
(1)
∵ OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线
∴ $∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOD$，$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD$
∴ $∠ COE=∠ COD+∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOD+\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOD+∠ BOD)$
又
∵ $∠ AOD+∠ BOD=∠ AOB=130°$
∴ $∠ COE=\frac{1}{2}×130°=65°$
(2) 由(1)可知$∠ COE=65°$，已知$∠ COD=20°$
∴ $∠ DOE=∠ COE-∠ COD=65°-20°=45°$
∵ OE是∠BOD的平分线
∴ $∠ BOE=∠ DOE=45°$
【答案】
(1) $∠ COE=65°$
(2) $∠ BOE=45°$
【知识点】
角平分线的定义、角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题核心是灵活运用角平分线的性质，结合图形拆解角的和差关系，将未知角转化为已知角的倍分关系进行计算，是角的计算部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
3.如图，已知$∠ AOD=60°$，$∠ BOC$是直角，$OC$平分$∠ AOD$，求$∠ BOD$的度数.
答案
3.解:$∠BOD=60°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：第一步，根据角平分线的定义，结合已知OC平分∠AOD且∠AOD=60°，可先求出∠COD的度数；第二步，已知∠BOC是直角即90°，观察图形可知∠BOD等于∠BOC减去∠COD的差，代入对应角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ OC平分∠AOD，∠AOD=60°
∴ $∠ COD = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 60° = 30°$
∵ ∠BOC是直角
∴ $∠ BOC = 90°$
∴ $∠ BOD = ∠ BOC - ∠ COD = 90° - 30° = 60°$
【答案】
$∠ BOD=60°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；直角的定义
【点评】
本题属于角的运算基础题，解题核心是理清图中各角的位置关系，结合已知的角平分线、直角条件逐步推导所求角的度数，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手：第一步，根据角平分线的定义，结合已知OC平分∠AOD且∠AOD=60°，可先求出∠COD的度数；第二步，已知∠BOC是直角即90°，观察图形可知∠BOD等于∠BOC减去∠COD的差，代入对应角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ OC平分∠AOD，∠AOD=60°
∴ $∠ COD = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 60° = 30°$
∵ ∠BOC是直角
∴ $∠ BOC = 90°$
∴ $∠ BOD = ∠ BOC - ∠ COD = 90° - 30° = 60°$
【答案】
$∠ BOD=60°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；直角的定义
【点评】
本题属于角的运算基础题，解题核心是理清图中各角的位置关系，结合已知的角平分线、直角条件逐步推导所求角的度数，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
1.如图,用三角尺比较∠AOB与∠COD的大小,下面结论正确的是 (
A.∠AOB＞∠COD
B.∠AOB
B
)A.∠AOB＞∠COD
B.∠AOB
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查用三角尺比较角的大小，用到叠合法的解题思路。我们可以把三角尺的内角作为中间参照量，比较时先让三角尺的顶点和两个角的顶点O重合，再把三角尺的同一条边分别和两个角的其中一条边重合，通过观察两个角的另一条边相对于三角尺边的位置，分别判断两个角和三角尺参照角的大小关系，就能推出∠AOB和∠COD的大小。
【解析】
用三角尺比较角的大小采用叠合法，操作如下：
1. 选取三角尺的一个固定锐角，将三角尺的顶点与点O重合，三角尺的一条边与OB重合，观察可知OA落在三角尺该锐角的内部，因此∠AOB小于三角尺的这个锐角；
2. 仍用同一个三角尺，把顶点与点O重合，三角尺的同一条边与OD重合，观察可知OC落在三角尺该锐角的外部，因此∠COD大于三角尺的这个锐角；
结合以上结论可推出∠AOB＜∠COD，故正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
角的大小比较、叠合法比较角
【点评】
本题属于角的大小比较的基础题型，重点考查叠合法比较角大小的操作要点，要求学生能借助已知大小的角（三角尺内角）作为中间量，判断两个未知角的大小关系。
【难度系数】
0.9
这道题考查用三角尺比较角的大小，用到叠合法的解题思路。我们可以把三角尺的内角作为中间参照量，比较时先让三角尺的顶点和两个角的顶点O重合，再把三角尺的同一条边分别和两个角的其中一条边重合，通过观察两个角的另一条边相对于三角尺边的位置，分别判断两个角和三角尺参照角的大小关系，就能推出∠AOB和∠COD的大小。
【解析】
用三角尺比较角的大小采用叠合法，操作如下：
1. 选取三角尺的一个固定锐角，将三角尺的顶点与点O重合，三角尺的一条边与OB重合，观察可知OA落在三角尺该锐角的内部，因此∠AOB小于三角尺的这个锐角；
2. 仍用同一个三角尺，把顶点与点O重合，三角尺的同一条边与OD重合，观察可知OC落在三角尺该锐角的外部，因此∠COD大于三角尺的这个锐角；
结合以上结论可推出∠AOB＜∠COD，故正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
角的大小比较、叠合法比较角
【点评】
本题属于角的大小比较的基础题型，重点考查叠合法比较角大小的操作要点，要求学生能借助已知大小的角（三角尺内角）作为中间量，判断两个未知角的大小关系。
【难度系数】
0.9
2.如图，$∠ BOC = 40°$，OD平分$∠ AOC$，$∠ AOD=25°$，那么$∠ AOB$等于(
A.$65°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$90°$
D
)A.$65°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$90°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件“OD平分∠AOC”入手，回忆角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个大小相等的角，因此可以先通过∠AOD的度数求出∠AOC的度数；再观察图形中角的组成，可知∠AOB是由∠AOC和∠BOC组成的，利用角的和差关系，将两个角的度数相加即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵ OD平分∠AOC，∠AOD=25°
∴ ∠AOC = 2∠AOD = 2×25° = 50°
又
∵ ∠BOC=40°
∴ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 50° + 40° = 90°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题侧重考查对角的基本性质的应用，解题关键是准确识别角的和差关系，熟练运用角平分线的性质进行计算，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件“OD平分∠AOC”入手，回忆角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个大小相等的角，因此可以先通过∠AOD的度数求出∠AOC的度数；再观察图形中角的组成，可知∠AOB是由∠AOC和∠BOC组成的，利用角的和差关系，将两个角的度数相加即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵ OD平分∠AOC，∠AOD=25°
∴ ∠AOC = 2∠AOD = 2×25° = 50°
又
∵ ∠BOC=40°
∴ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 50° + 40° = 90°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题侧重考查对角的基本性质的应用，解题关键是准确识别角的和差关系，熟练运用角平分线的性质进行计算，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
